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巧用圆讨论力的合成和分解问题

2011-01-24程柱建

物理通报 2011年1期
关键词:定则分力画圆

程柱建

(如皋中学 江苏 如皋 226500)

力的合成与分解遵循平行四边形定则或三角形定则,有时巧用圆可以有效地讨论有关力的合成和分解的解数、极值、大小和方向等问题.

1 求解数

【例1】如图1,已知合力F和一个分力F1的方向以及另一个分力F2的大小(F2的大小可根据解题需要自取),问F可以分解为几组分力?

分析:以合力F的箭头为圆心,以分力F2的大小为半径画圆.由于分力F1的方向确定,所以这个圆会与F1的作用线不相交、相切或相交三种情况,如图2.根据三角形定则,F1、F2的交点指向合力,箭头的有向线段表示分力F2.当F2F时有一组解;当Fsinθ

图1 图2

【例2】已知合力F和两个不平行分力F1、F2的大小.三力的大小的关系满足

|F1-F2|

问F可以分解为几组分力?

图3

分析:如图3,以F的始端、末端为圆心,分别以F1、F2的大小为半径画圆,两圆有两个交点,这时,F分解为F1、F2有两组解.由于两分力没有被限制在纸平面内,现以F为转动轴旋转,得到两分力的方向有无数组解.

2 找极值

【例3】 (1)已知合力F和一个分力F1的方向,求另一个分力F2的最小值.

(2)已知合力F的方向和一个分力F1,求另一个分力F2的最小值.

分析:(1)此题情境同例1中圆与F1相切的情况,这时两分力垂直,F2的最小值等于Fsinθ.

(2)如图4所示,以分力F1的箭头为圆心画与F作用线相切的圆,即F2与F垂直时F2最小,最小值为F1sinθ.

图4 图5

【例4】一个物体受到两个共点力F1、F2的作用,两个力间的夹角可以变化,其中F1=100 N,F2=200 N.当两个力的合力F与F2之间的夹角最大时,合力F为多大?

分析:如图5所示,以F2的箭头为圆心,F1的大小为半径画圆.根据三角形定则,连接F2始端、F1末端的有向线段表示合力F.旋转F1,改变F1和F2的夹角,动态地观察合力F与F2之间的夹角变化情况.当F与圆相切时,F与F2之间的夹角最大.此时

3 比大小

【例5】两个分力F1、F2的大小不变,当夹角从零增大到180°的过程中,求合力F大小的变化.

分析:如图6,保持F2不变,以F2的箭头为圆心,以F1的大小为半径画圆,随着两分力夹角的增大,能清楚地看到合力F大小的变化情况,即θ增大,F减小.

图6

【例6】若两个力F1、F2的夹角为α(90°<α<180°),且α保持不变,则

A.一个力增大,合力一定增大

B.两个力都增大,合力一定增大

C.两个力都增大,合力可能减小

D.两个力都增大,合力的大小可能不变

分析:为了方便比较,以两力作用点O为圆心,以原合力F的大小为半径画圆,从图7(a)、(b)、(c)中可以看出:当F1增大到F1′,F2增大到F2′时,合力F的大小可能减小、不变或增大,同理可知一个力增大时合力的变化也存在以上三种可能.

选项C、D正确.

图7

4 看方向

【例7】橡皮条的一端固定在A点,另一端同时作用两个力,使橡皮条伸长到O位置,这时两个力F1、F2与OA夹角分别为α、β,如图8所示(F1与F2间的夹角为锐角).现保持F2大小不变,β角减小一些,并仍保持橡皮条伸长到O位置.下列说法中可能发生的是

图8

A.α减小,F1增大 B.α不变,F1增大

C.α增大,F1增大 D.α增大,F1减小

分析: 根据三力的平衡条件,F1、F2的合力F沿OA延长线的方向,利用平行四边形定则可以画出F.三个力中,F2大小不变,合力F的大小、方向不变(因为要保持橡皮条伸长到O位置).

如图9,以O点为圆心,以F2的大小为半径画圆,初始F2的箭头与圆交于B点,过B点作初始F1的平行线,与圆交于C点,C点是F1方向变化的临界点.当F2的箭头沿圆弧BC左移时,α角比初始值小;F2指向C点时,α角等于初始值;F2的箭头沿圆弧从C点左移时,α角比初始值大.连接F2箭头和F箭头的有向线段表示F1,可以看出在β角减小的过程中F1一直增大.

选项A、B、C正确.

图9

总之,在力大小不变,方向不确定时,利用圆与平行四边形定则或三角形定则,往往可以便捷地讨论力的合成与分解问题.本文对圆的使用技巧也可以迁移到其他矢量的合成与分解的应用中;如“小船过河”问题中,当v船

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