“一个看似简单的问题”不简单——对《趣味物理学》中一个问题的分析

吴承瑶

(杭州外国语学校 浙江 杭州 310023)

笔者执教高中的时候，正在研究一个有关液体压强的问题．忽然，来一位学生把别莱利曼的《趣味物理学(续编)》递给我，让我看文中第6.8节“一个看似简单的问题”．该学生怀疑它的正确性．追忆往事，撰成此文．

1 问题的提出

文献[1]中原题：您的面前是盛满30杯水的茶饮．把一个茶杯放在它的水龙头下面，打开水龙头，看着您手中的秒表，看用多长时间就能把杯子注满．假如所用的时间是30 s．请问：打开水龙头，茶饮里的水要多少时间才能放尽？

别莱利曼给出结论：

(1)流完这个茶饮里的水的时间，并不是您意想的900 s，而是1 800 s．

大家知道，茶饮里的水将要流完时，水流出的速度十分缓慢．用高等数学来解这道题，得到，容器中的水全部流出所需的时间，比同样体积的水在原来液面高度不变的条件下全部流出所需的时间增加一倍．

2 问题的探究和反思

别莱利曼是位享誉世界的科普作家、趣味科学的奠基人．凭感觉别莱利曼不会错，但看到学生这么有勇气挑战权威，笔者答应好好思考，课后一起研究．

约好来到有两块大黑板的实验室，一同还来了其他好几位同学，共同见证挑战权威的成功与否．

大家熟知是托里拆利揭示的公式

其中v为出水速度、g为重力加速度、x为孔洞到水面的高度．

我们用高等数学来处理一个动态过程(在笔者和同学的共同努力下作了如下板演)．

设从时刻t到t+Δt之间流出的水的体积为dV,

则

其中a为出水口截面面积.

若在这段时间内,水位下降dx,并设茶饮水面面积为S，则有关系式

dV=Sdx

由于水往外流，所以x减小，得

整理得

所以

根据初始条件t=0时x=H(H为初始高度)，得

则

(1)

由已知得

(2)

所以当x=0时，总时间

水流尽的总时间为1 784.87 s，确实接近1 800 s，可以说首战告捷．做到这里，学生高兴之极．

另外一个同学看了上面的解答说，我确定别莱利曼的第2个结论也有问题．于是一同继续讨论．

所以接下去注满一杯所需时间为

则这一杯注满的时间和第一杯的时间比为

至此，大家长叹一声，原来别莱利曼也有粗心的时候．大家惊讶无比，继而沉浸在解题的快乐之中，挑战成功．

还有一位同学发现惟独别莱利曼的“容器中的水全部流出所需的时间，比同样体积的水在原来液面高度不变的条件下全部流出所需的时间增加一倍”的论断是正确的．

在原来的液面高度下，出水速度

则所需时间为

笔者意识到如果俄罗斯的茶饮制作很特别，也许就是别莱利曼的答案．查阅了相关资料，果然俄罗斯的茶炊的外形多样，有球形、桶形、花瓶状、小酒杯形、罐形,以及一些呈不规则形状的茶炊；同学已经证明了如果是桶形，别莱利曼的结论不成立．也许茶炊特殊的形状，决定了出水的速度从而可以保证别莱利曼的结论正确．有同学建议由于制造的差别，我们把满足别莱利曼的结论的茶饮姑且称为“别莱利曼茶饮”，师生相视一笑．

学生这种具有不惧权威的挑战精神和严谨的科学精神，也是对教师和专业科普人员的鞭策，时刻提醒我们，在给学生精神食粮的同时更要注重营养价值．

1 (俄)雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼著.谷羽，赵秋长译.趣味物理学(续编).武汉:湖北少年儿童出版社,2009.102

2 http://baike.baidu.com/view/1055041.htm?func=retitle(俄罗斯茶饮文化)