微分方程模型在种群问题中的应用

代丽丽，王 煜

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

全球生态环境的日益恶化越来越引起人们对种群生长和种群对其生存空间依赖性的重视.许多生态学者和数学工作者对这方面的问题进行了深入研究，并得到了一些有意义的研究成果.众所周知，人类生存环境的改善能造福人类，但也会产生一些负面的影响，这其中就包括对人类生存环境的破坏.人类及其它生物种群生存环境的生态平衡与社会的可持续发展关系重大，如何使人类在享受大自然，利用大自然的同时，又能保护大自然，这是人们一直关心的问题.并由此而产生了生物学的研究分支.生物数学是生命科学与数学之间的边缘学科，它是应用数学理论与计算机技术研究生命科学中数量性质、空间结构形式，分析复杂的生物系统的内在特性，揭示在大量生物实验数据中所隐含的生物信息.

回顾生物数学发展的近百年历史，我们清楚的看到，对生物数学的研究越来越受到人们的重视，且在各个分支上的理论研究也在不断地成熟与完善.就不同时期的生物种群数学模型而言，早在1798年，英国的经济学家和人口学家Malthus就提出了描述种群发展过程的动态数学模型，也称为Malthus模型[1].

1838年，比利时社会学家P.F.Verhulst改进了Malthus模型，考虑到环境容量又提出了Logistic模型[2]

其中常数λ和K分别称作种群的内在增长率和环境容量.

容易看到，由于这两个模型都没有考虑到年龄分布等因素，因而对于寿命较长，世代重叠的物种(例如人口)会产生较大的偏差，而其种群的年龄结构往往也是人们十分关心的信息.为此，又建立了与年龄相关的时变种群数学模型.

1 与年龄相关的线性种群数学模型

F.R.Sharpe和A.J.Lotka在1911年以及A.G.M-kendrick在1926年提出与年龄相关的连续模型，并由H.Von Foerster进行改进，得到了下面的数学模型(P1)[3].

2 与年龄相关的非线性种群数学模型

从种群发展过程的实际出发，我们不容忽视种群拥挤和生存环境对种群发展过程的影响，这就导致人们又建立了如下的与年龄相关的非线性种群数学模型(P2)[4]:

对于系统(P2)，人们从不同的侧面对它进行了研究，得到了很多重要而有意义的研究结果.

1985年，G.F.Webb[5]总结了前人有关解的存在性、稳定性等工作，并用半群的方法进一步对系统(P3)在定常情形的解的存在性和稳定性做了研究，得出了系统解的稳定性结果.

1999年，陈任昭和李健全[6]对非线性时变种群系统(P3)的一般情形解的存在唯一性给出了证明，把定常情形的结果推广到时变情形.

3 与年龄相关的线性种群系统的边界控制问题

对于种群系统(P1)的边界控制问题，1999年，曹春玲，陈任昭[7]讨论了与年龄相关的时变种群系统(P3):

的边界控制问题，证明了最优控制的存在性，得到了控制为最优的必要条件，给出了由积分-偏微分方程和变分不等式组成的最优性组.

2000年，徐文兵，陈任昭[8]讨论了时变种群系统(P4)：

具最终状态观测的最优边界控制问题，证明了系统解的存在唯一性，得到了最优边界控制的存在性及控制为最优的必要条件.

4 具年龄分布和加权的种群数学模型

考虑到不同年龄的种群个体对种群发展过程的实际影响，人们又相继研究了半线性种群系统和加权种群系统的最优控制问题.1999年，Barbu V.和Iannelli M.[9]讨论了生育率和死亡率均依赖于种群加权总规模S(t)的半线性种群模型(P5)：

并针对于性能指标泛函为

的情形，证明了系统(P5)最优控制的存在性.

2006年，何泽荣，朱广田[10]针对于生育率和死亡率均依赖于个体年龄的情形，提出了加权总规模的数学模型(P6):

其中Q=(0，A)×(0，T)，固定常数A，T分别表示个体最高寿命和控制周期.状态变量p(a，t)表示t时刻年龄为a的个体数量，控制函数u代表收获努力度.S(t)表示t时刻种群的加权总量，ω为权函数.β，μ表示出生率和死亡率，它们都与S有关，意味着不同年龄的个体对种群的演化具有不同的影响.P0为初始年龄分布.借助不动点原理确立了系统的适定性，应用极大化序列法和紧性证明了最优收获控制的存在性，利用法锥和共轭系统技巧导出了最优性条件，推广了一些文献的工作.

2007年，叶山西，赵春[11]研究了具年龄分布和加权的非线性种群系统(P7):

的最优分布控制问题，应用Ekeland's变分原理证明了最优分布控制的存在性，并用法锥和共轭系统技巧导出了最优性条件.

参考文献：

[1]Malthus T R.An Essay on the principle of population as it Affects the Future Improement of Society，with Rwmarks on the Speculations of M Condorct and other writer[M].London:J Johnson，798.

[2]Verhulst P F.Notice Sur la Loi Que Population Unit Son Accroissement[J].Correspones Mathematiques et physiques，1838，10:113-121.

[3]Foerster H Von.Some Remarks on Changing Population in the Kinetics of Celluar Proliferation[M].New York:Grune and Stratton，1959.

[4]Gurtin M E，MaCamy R C and Hoppensteadt F.Nonlinear Age-dependent Population Dynamics.Arch[J].Rat.Mech.Anal，1974，54:281-300.

[5]Webb G F.Theory of Nonlinear Age-dependent Population Dynamics[J].Pure and Applied Mathematics，New York:Dekker，1985.

[6]陈任昭，李健全.非线性时变种群系统解的存在唯一性[J].数学物理学报，2003，23A(2):1-17.

[7]曹春玲，陈任昭.时变种群系统的最优边界控制[J].东北师范大学学报，1999(4).

[8]Barbu V and Iannelli M.Optimal Control of Population Dynamics[J].J.Opti.Theo.Appl，1999，102(1):1-14.

[9]徐文兵，陈任昭.时变种群系统最终状态观测及边界控制[J].东北师范大学学报，2000，32(1).

[10]何泽荣，朱广田.基于年龄与分布和加权总规模的种群系统的最优收获控制[J].数学进展，2006，35(3):315-324.

[11]叶山西，赵春.一类具有年龄分布和加权的种群系统的最优控制[J].应用数学，2007，20(3).