基于可拓的Vague相似度计算

崔春生

(北京理工大学管理与经济学院,北京 100081)

基于可拓的Vague相似度计算

崔春生

(北京理工大学管理与经济学院,北京 100081)

在Vague的各种理论和应用中,相似度占据着不可低估的重要作用。笔者针对目前相似度的不同研究方法,通过引入点与区间“距”的概念,借助可拓关联函数构建了一种新的相似度度量公式,进而为Vague的研究提供了一种新的思路。最后通过实例验证了该方法的可行性。

Vague集;相似度;可拓;关联函数

Vague集来源于Fuzzy集,在Fuzzy集基础上,通过引入真隶属度和假隶属度,给出以区间形式表示的隶属程度——该区间能够同时给出支持证据和反对证据的程度,并且能够表示中立的程度,从而提出Vague集的概念[1]。GAU等在1993年提出的Vague集[1]等同于A TANASSOV提出的直觉模糊集[2]是ZADEH模糊集[3]的一种推广形式。这使得Vague集在处理不确定性信息时比传统的模糊集有更强的表示能力。目前,Vague集已在国内外成功地运用于决策分析、专家系统、模糊控制及故障诊断等领域,并取得较传统模糊集理论更好的效果。

Vague集(值)之间的相似度度量是Vague集理论在模糊决策、模式识别、模糊推理、机器学习、社会选择等方面应用的理论基础,近年来一直是学者们关注的热点。目前,Vague集(值)相似度度量的主要依据是Vague值的真、假隶属函数、核函数、未知度函数这4个指标,利用Vague值在这4个指标上的差异,给出度量公式[4]。从现有度量公式的表现形式及主要特点来看,主要有3种思路。

第1种是基于Vague值的记分函数,有代表性的研究见文献[5]—文献[7]。第2种是基于距离测度的相似度度量方法,有代表性的研究见文献[8]、文献[9]。第3种思路建立在未知度的再分配基础上,见文献[10]、文献[11]。此外,还有一些具有启发性的方法。2004年夏少云等[12]、2005年石玉强等[13]提出相似度度量的最小区间法:通过确定Vague值x,y的精确相似度所在的值域,得到它们的最小相似区间。2004年黄国顺等[14]提出了基于包含度的Vague集相似度度量方法。由于计算较为复杂,这些方法应用起来不够简便。

1 Vague集基本知识

1.1 Vague集定义

设U是一个论域,其中任何一个元素用x表示。U上的一个实数值Vague集A是由真隶属函数tA和假隶属函数fA描述[1]:

对于x∈U,tA(x)是从支持x∈A的证据所导出的x∈A的肯定隶属度的下界,fA(x)是从反对x∈A的证据所导出的x∈A的否定隶属度的下界,并且tA(x)+fA(x)≤1,如图1所示。x关于A的隶属度可由[0,1]上的子区间[tA(x),1-fA(x)]表示,或者称[tA(x),1-fA(x)]是x在Vague集A中的Vague值。

称πA(x)=1-tA(x)-fA(x)为x关于A的未知度,也称为犹豫度或踌躇度。πA(x)是x相对于A的未知信息的度量,πA(x)的值越大,说明x相对于A的未知信息越多。当tA=1-fA时,πA(x)=0,即tA(x)+fA(x)=1时, Vague值x退化为普通模糊值。

一般地,Vague集A可记为〈x,tA(x),1-fA(x)〉。当U是连续集时,Vague集A可记为

当U是离散集时,Vague集A可记为

图1 Vague集示意图Fig.1 Illustration of Vague sets

论域U中的实数值Vague集全体记为RVVS(U)。

例如,假定X=[1,2,…,10]。Vague集的小数定义为

1.2 Vague值相似度基本性质

2个Vague值x,y的相似度sim(x,y)表示x与y的相似程度,x与y的共性越多,sim(x,y)越大;区别越大,sim(x,y)越小。sim(x,y)满足以下几个准则:

准则1 (规范性)0≤sim(x,y)≤1;

准则2 (对称性)sim(x,y)=sim(y,x);

准则3 sim(x,y)=sim(¯x,¯y);

准则4[4]sim(x,y)=1⇔{x,y}={[0,0],[1,1]};

准则5 (单调性)若x≤y≤z,则sim(x,z)≤m in{sim(x,y),sim(y,z)}。

2 基于关联函数的Vague相似度

2.1 关联函数的定义

在Vague集上可以定义关联函数的概念。通过关联函数值[15],可以定量地描述U中任一元素u属于肯定域、否定域或未知域3个域中的哪一个,即使同属于1个域中的2个元素,也可以由关联函数值的大小区分出不同的层次。

定义真域下界为X0=〈0,tX〉,真域上界为X=〈0,1-fX〉,选择一点ax∈(1-fX,1],则ax到Vague值 x=〈tX,1-fX〉的关联函数定义为这里〈〉可为开区间,闭区间、半开半闭区间。

其中,D(ax,X0,X)=ρ(ax,X0)-ρ(ax,X)=(1-fX)-tX,实质上就是未知度。该值越大,说明踌躇度越大,不确定性越高,隐含着真的可信度逐渐增加。

ρ(ax,X)的引入,可以将点与区间的位置关系用定量的形式精确刻画。当点在区间内时,经典数学中认为点与区间的距离都为0,而在关联函数中,利用距的概念,就可以根据距的值的不同描述出点在区间内的不同的位置。距的概念对点与区间位置关系的描述,使人们从“类内即为同”发展到“类内也有程度区别”的定量描述。

D(ax,X0,X)描述了2区间之间的关系,形象地刻画了点ax与区间套X0和X的位置关系。关联函数k(ax)用于计算点和区间套的关联程度。描述了真隶属度下界在真隶属度上界中的比例。

同理,得到ay到Vague值y=〈tY,1-fY〉的关联函数定义为

2.2 a值的确定

a值的确定需要从相似性的几个准则出发,根据以上的定义,相似性的定义满足准则1,2,4,5,为了满足准则3,通过a值的确定来实现。

2.3 算例

设Vague值x=[0.4,0.8],y=[0.5,0.8],z=[0.5,0.7],若采用文献[16]给出的记分函数的方法得到:sim(x,y)=sim(x,z)=0.95,很显然违反人们的直觉,但是通过以上方法可以得到:sim(x,y)= 0.631 7,sim(x,z)=0.666 7。

因此采用这种方法得到的相似度相对于原来的方法,更加符合人们的感性认识。

3 结 论

文中选择了统一的定位标准点a作为关联函数计算的基础,探讨了2个Vague值相对于同一标准的关联函数,因此,2个Vague关联函数的计算具备一致性;借助相似度准则,确定了a的取值,保证了相似度函数的可靠性;点与区间距概念的引入,使得2个Vague值相似度的计算有了新的度量标准,从而为相似度的计算搭建了一条新的桥梁。

[1] GAU W L,BUEHRER D J.Vague sets[J].IEEE Trans SMC,1993,23(2):610-614.

[2] A TANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[3] ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Inform and Control,1965(8):338-356.

[4] 王伟平.基于Vague集的语言型多准则决策的研究[D].北京:北京理工大学,2008.

[5] CHEN SM.Measuresof similarity between Vague sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,74(2):217-223.

[6] CHEN SM.Similarity measures between Vague sets and betw een elements[J].IEEE Transactions on System s M an and Cybernetics, 1997,27(1):153-157.

[7] HONGD H,KIM C A.Note on similarity measures between Vague sets and between elements[J].Information Sciences,1999,115:83-96.

[8] SZM IDT E,KACPRZYK J.Distances between intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,114(3):505-518.

[9] L IDeng-feng,CHENG Chun-tian.New similarity measures of intuitionistic fuzzy sets and application to pattern recognitions[J].Pattern Recognition Letters,2002,23(1):221-225.

[10] L IANG Zhi-zhen,SHIPeng-fei.Similarity measureson intuitionistic fuzzy sets[J].Pattern Recoguition Letters,2003,24(15):2 687-2 693.

[11] 周 珍,吴祈宗,刘福祥,等.一种新的基于核函数的Vague集间的相似度量[J].北京理工大学学报(Journal of Beijing Institute Technelogy),2006,26(7):655-658.

[12] 夏少云,查建中,李志辉.Vague集之间相似度量的分析与研究[J].北方交通大学学报(Journal of Beijing Jiaotong University),2004,28 (1):95-99.

[13] 石玉强,王鸿绪.计算Vague集之间的相似度的一种新方法[J].计算机工程与应用(Computer Engineering and App lications),2005,41 (27):178-180.

[14] 黄国顺,刘云生.基于包含度的Vague集相似度量[J].小型微型计算机系统(Journal of Chinese Computer Systems),2006,27(5):873-877.

[15] 蔡 文,杨春燕,何 斌.可拓逻辑初步[M].北京:科学出版社,2003.

[16] 李 凡,徐章艳.Vague集之间的相似度量[J].软件学报(Journal of Software),2001,12(6):922-927.

Similarity measure of Vague value based on extension

CU IChun-sheng
(School of Management and Economics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)

Similarity is very impo rtant in both theory and app licationsof vague sets.Different from the current similarity measures in the field,a new measuremethod was introduced only to p rovide a new idea in the field.In this paper,the concep t of "distance"was first used and a new similarity measure method was given based on the extension depentment function.

Vague sets;similarity measure;extension;depentment function

TP18

A

1008-1542(2010)02-0108-04

2009-12-22;责任编辑:张 军

河北省教育厅计划基金资助项目(2007205)

崔春生(1974-),男,青海西宁人,讲师,博士研究生,主要从事决策理论与方法方面的研究。