离散型随机变量的概率密度函数及其应用①

王 涛 马程远

(1.华北科技学院基础部,北京东燕郊 101601;2.廊坊市第一中学,河北廊坊 065000)

离散型随机变量的概率密度函数及其应用①

王 涛②马程远

(1.华北科技学院基础部,北京东燕郊 101601;2.廊坊市第一中学,河北廊坊 065000)

利用单位脉冲函数定义了离散型随机变量的概率密度,给出离散型随机变量与其独立的连续型随机变量和分布的计算公式,且证明其和分布不可能为正态分布。

单位脉冲函数;随机变量;概率密度;正态分布

单位脉冲函数又称D irac函数,简单记成δ(t)·δ(t)是一个广义函数,在广义函数论中, δ(t)为某基本函数空间上的线性连续泛函,满足下面两个条件

单位脉冲函数有以下基本性质：

①设f(t)是定义在(-∞,+∞)上的有界函数,且在t=t0处连续,则

我们用δ(t)函数来定义离散型随机变量的概率密度

这样定义的离散型随机变量的概率密度,既和离散型随机变量的分布律不会产生矛盾,又能和连续型随机变量的概率密度统一起来.在计算离散型随机变量和连续型随机变量的和的分布及乘积的期望等问题时,将变得方便许多。

因此,假设错误,命题得证.

注：当离散型随机变量X为单点分布,Y为正态随机变量,且X与Y相互独立时,则有随机变量Z=X+Y是正态随机变量.

(2)我们再用反证法来证明定理2

假设随机变量Z=X+Y是正态随机变量,概率密度为fz(t),则

两边同时对任意正态随机变量的密度函数g(t)作卷积得

又(1)知fX(t)＊g(t)不是正态随机变量的概率密度,而fZ(t)＊g(t)是正态随机变量的概率密度,由引理4知[fX(t)＊g(t)]＊fY(t)不是正态随机变量的概率密度.

故假设错误,定理2得证.

设Y是连续型随机变量,若存在与其独立的离散型随机变量X,使得Z=X+Y与Y是同型分布,称随机变量Y有广义再生性.由结论2知,正态随机变量不具有广义再生性.可以验证均匀分布有广义再生性,例如Y服从(0,1)上均匀分布; X服从两点分布,分布律为p{X=0}=p{X=1} =0.5,则Z=X+Y服从(0,2)上的均匀分布.

[1] 严士健,王隽骧,刘秀芳.概率论基础[M].北京：科学出版社,1999,178.

[2] 张元林.积分变换[M](第四版).北京：高等教育出版社,2003,142：41-42.

[3] 王梓坤.概率论基础及其应用.[M]北京：北京师范大学出版社,1996,136.

[4] 杨丰凯.离散型随机变量与连续型随机变量之和的分布.吉林师范大学学报[J],2005, 11：95-96.

The Probability density of discrete random variable and its Application

WANG Tao1,MA Chengyuan2

(1.Department ofBasic Courses,North China Institute Of Science And Technology,Yanjiao Beijing-East 101601;2.The firstmiddle school ofLang Fang,Langfang Hebei 065000)

We define the Probability densityof discrete random variablewithDirac function,give away to calculate the distribution of sum of a discrete random variable and a continuous random variable,when they are independent,and proof its not nor mal distribution.

Dirac function;Random variable;Probability density;Normal distribution

0174

A

1672-7169(2010)01-0088-02

2009-10-21

王涛(1972-),男,河北迁安人,首都师范大学在读硕士,华北科技学院基础部讲师,研究方向：随机图。