一类变分不等式问题解的存在性

向以华

（重庆三峡学院数学与计算机科学学院，重庆万州 404100）

近年来，经典的变分不等式和相扑问题被推广于大量的来源于力学、物理学、非线性规划、经济与运输平衡、弹性接触问题.[1-2]本文利用不动点理论找出这类变分不等式问题解的存在性.并给出了一个特殊的结果.

1 预备知识

设V是一个实的Hilbert空间，K⊂V是一个非空的闭凸集，假设 A: V → V 强单调和Lipschitz连续， j: K → R 凸下半连续.考虑下述变分不等式，找u∈K使得

并且解u是Lipschitz连续地依赖于f.

定义1.1 设V是一个赋范空间.一个子集合K⊂V称为是凸的，如果

集合K⊂V称为是闭的，如果｛vn｝⊂K且vn→ v ，集合K称为弱闭的，如果｛vn｝⊂K且vn→v可推出v∈K,

定义 1.3 设K⊂V是一个凸集.一个函数f: K→ R 称为是凸的，如果

函数 f称为是严格凸的，如果上式对u≠v,λ∈（0,1）时严格不等号成立.

引理 1.1 设是一个赋范空间.假设是固有的，凸下半连续的则存在一个连续线性泛函lj∈V′和一个常数cj∈ R 满足

2 主要结果

定理 2.1 设V是一个实的Hilbert空间，K⊂ V是一个非空的闭凸集，假设 A:V → V强单调和Lipschitz连续， j: K → R凸下半连续.则对任意f∈V,变分不等式

存在唯一解，并且解u是Lipschitz连续地依赖于f.

证明.先证解的唯一性.假设（2.1）有两个解u1,u2∈ K.则成立

得 -（A（u1）-A（u2）,u1-u2）≥0.

由A的强单调性，我们推出 u1= u2.

再证解的存在性.

将问题转化为等价的不动点问题.对任意的θ ＞0，问题（2.1）等价于

对任意的w∈K，考虑问题

这个变分不等式等价于极小值问题

其中

利用结论：泛函 j（ .）有一个有界的仿射泛函作为下界，即

其中lj是V上的一个连续线性形，cj∈ R（见引理1.1），因此根据A,j,f上的假设条件，看到E严格凸，下半连续，且由性质

应用定理知道问题（2 .4 ），从而问题（2 .3）存在唯一解 w=Pθ（u）.

显然投影算子 Pθ.的一个不动点是问题（2.2）的一个解，可以看出对充分小的θ ＞0,Pθ是压缩投影算子，由Banach不动点定理，投影算子Pθ存在一个不动点.

对任意 u1,u2∈K,记 w1=Pθ（u1）,w2=Pθ（u2）.

则

于是得到

因此

而

于是对 θ∈（0,2 c0M2）,投影算子Pθ是Hilbert空间V上的一个压缩投影算子.

最后 f1,f2∈ V,记u1,u2为变分不等式（2.1）相应的解.则

两个不等式相加，得

故

即解u依赖于f的Lipschitz连续性.

考虑定理（2.1）的一种特殊情况，f （v）≡ 0, v ∈ K,则（2.1）简化为

作为定理2.1的一个推论有：

定理 2.2 设V是一个实的Hilbert空间，K⊂ V是一个非空的闭凸集，假设 A:V → V强单调和Lipschitz连续，则对任意f∈V,变分不等式（2.5）存在唯一解u∈K,这个解是Lipschitz连续地依赖于f.

定理2.2是研究线性椭圆型边值问题唯一可解性的 Lax- Milg ram 引理的一个推广.

[1]张石生.变分不等式和相扑问题理论及其应用[M].上海：上海科技文献出版社，1991.

[2]Noor M A.Optimization,1994,30:323-330.

[3]Banach空间中的广义随机混合似变分不等式问题[J].四川大学学报（自然科学版），1999（5）：829-833.