广义加权二乘极小点的存在唯一性

刘学飞

（重庆三峡学院数学与计算机科学学院,重庆万州 404100）

在一维、二维、三维、向量空间上有关质心及二乘极小点的讨论已经非常深入，如文[1]；但在更广泛的空间上，关于质心及二乘极小点的讨论还有待深入.本文在线性内积空间上给出广义质心及加权二乘极小点的定义，得到了与质心相关的一个恒等式，讨论了加权二乘极小点的存在及唯一性.

1 预备知识

设(Ω,*)是线性内积空间，二元代数“*”： ∀ x,y ∈Ω ,x * y =＜ x,y＞表示x与y的内积.“*”具有内积的性质

1）x * y = y *x

2）(kx) * y = k(y *x)

3）(x1+ x2)*y =x1*y +x2*y

4） x*x≥ 0,当且仅当x=0，等号成立，记 x*x=x2（其中k∈数域P : 实数域或子域）

定义2 ||x-y||叫做x与y的距离.

显然上述定理满足距离的三个性质.

2 主要结论

定义3 设 x1,x2,… ,xN∈Ω，在每一个质点

为质点系 x1,x2,… ,xN的质心.

定理 1 （广义质心恒等式）(Ω,*)是数域 P上的线性内积空间， x1,x2,… ,xN∈Ω,x0是质心，则∀y∈Ω，有

证明：由内积空间的性质及定义1，2，3有

当Ω= R3时，上述结论就化归文[1]的主要结论.

推论1 设 x1,x2,… ,xN∈Ω，x0由（1）式定义，当mi∈R，且 ∑ mi＞0，则∀y∈Ω，有

定义4 设 x1,x2,… ,xN∈Ω，∀mi∈R，且∑ mi＞0，若∃x0∈Ω，使∀y∈Ω有

则称x0为质点系 x1,x2,… ,xN关于权m1, m2,… ,mN的加权二乘极小点.

定理2 (Ω,*)是数域P上的线性内积空间，∀x1,x2,… ,xN∈Ω ， ∀m1,m2,…,mN∈R ， 且∑ mi＞0， 则 质 点 系 x1,x2,…,xN关 于 权m1, m2,… ,mN的加权二乘极小点存在且唯一.

证明 存在性有定义4及推论1立即可得.下证唯一 性 ： 设 y0是 x1,x2,… ,xN关于权m1, m2,… ,mN的加权二乘极小点，按定义4，有

注：如果在定义4中，若把 ∑ mi＞0，改为∑ mi＜0，同样可以定义加权二乘极大点的概念,并讨论其存在唯一性.

∑mi||xi-x ||2=C 的点x的轨迹是

当K＞0，点x的轨迹是线性内积空间广义的球面域；当K=0，则轨迹退化为单点集{x0}；当K＜ 0，其轨迹为虚球面域；这里x0按（1）式定义.

证明：根据定理1很容易证明.

例1 Gi(αi,βi,γi)是三维空间R3(i = 1,2,… ,

则

有

其中

其中

各种具体内积线性空间中，类似的例子还很多，此处就不再一一枚举了.

[1]续铁权.与质心相关的一个恒等式[J].数学通报，1998（11）：38-40.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高教出版社，2003.

[3]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第三版）[M].北京：高教出版社，1989.