对物理教材中两个概念的讨论

樊丽俭 冯振宇

(长安大学理学院陕西,西安 710064)

对物理教材中两个概念的讨论

樊丽俭 冯振宇

(长安大学理学院陕西,西安 710064)

通过对某些教材中涉及有关功与势能计算的表述之讨论,指出教材的编写须严谨而深刻.

教材;功;势能

在我国大学现行的物理教学实践中,一般来说,都会选定一本公开出版发行的物理教材作为该门课的教科书.《新华词典》对教材与教科书有如下解释[1]:

教材根据各种教学要求而编写或选定的教科书、讲义、讲授提纲、参考资料等的统称.

教科书根据各门学科教学要求编写的供教学使用的正式课本.……是教师讲授和学生学习的基本依据.

本文所讨论的物理教材实际上就是上述的教科书.由上述解释可见,教科书对于一门课程的教学是如此重要,因为它是教学的“基本依据”.如果这个“基本依据”的某些内容在讲述上不够严谨,或者在解释某些结论时没有触及问题的本质,可想而知这会对教学特别是对初学者造成多么大的影响,本文将通过两个例子来说明这个问题.

1 关于力矩的功

一个物体受力的作用而引起的运动状态的变化,不仅决定于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过的路程有关.功就表示了力在一段路程上的积累效应.因此当提到功这个物理量时,严格地说应该称为力做的功.

作用于定轴转动刚体上的一个大小不变的力做的功,等于该力对于转轴的矩乘以刚体转过的角位移.不少教材[2～22]在介绍作用于定轴转动刚体上的力做的功其计算公式时,都用了“力矩的功”这样一个提法,这显然是不妥当的.尽管文献[2]和[8]在给出计算公式后专门用一段话作了说明,指出这里所说的力矩的功本质上仍然是力做的功,但作为供学生和教师使用的正式教科书,这种处理方法是不够严谨的.首先,教材与专著的区别之一是教材中所涉及的内容应该是成熟的并被严格规范了的理论与实践成果,对于经典力学的内容尤其如此.因此,在物理教材的编写中,更应注重其用词用语的科学性、严谨性和规范性.尽管“力矩的功”这样的说法经常出现在一些工程技术人员的口头表达中,但作为教材,是不宜把这种不严格的口头语言写入教材的.其次,不少教材在用了“力矩的功”这样一个提法后,在叙述或解释所得到的计算公式时还用了“作用于刚体上的力矩”这样的说法,甚至还出现了“力矩做功”、“力矩可以使刚体转动,在此过程中,力矩对刚体做了功”、“刚体在外力矩作用下发生角位移时,力矩也要对刚体做功”以及“力矩的功与力的功一样,也是过程量,反映了力矩在空间上的累积效应”等这样一些不够严谨的表述,这样做会给初学者带来概念上的混乱.因为力矩不是一个作用量,它只是力使物体产生转动效应的度量,作用于物体的只能是力和力偶这两个独立的力学要素.如果在教材中用了上述不规范的提法,就会使初学者混淆力矩和力偶在概念上的区别,误导学生产生力矩是作用量的错误认识.

鉴于上述讨论,笔者在此提出如下两点建议:

第一,大多数物理教科书在涉及动能定理这一章中介绍功的计算时常常只介绍重力、弹性力、万有引力以及摩擦力做功的计算,而把介绍作用于定轴转动刚体上力的功这个内容放在了刚体转动这一章里,但恰恰是这样的内容编排最容易引起初学者在概念上的误解.从这个意义上说,现行物理教科书这样的内容编排是弊大于利的.因为如果把这个内容放在刚体转动这一章里讲,再加上教材使用了不规范的提法,作为初学者,即使学生可以对此进行正确的计算,但从概念上说,其计算结果往往会误导学生产生这是力矩做功的错误概念.因此建议把这个内容放到动能定理这一章中,将其与重力等其他各类力的做功一起讨论,并强调这是作用于定轴转动刚体上的力做的功,而不是力矩的功,但这个功的大小等于该力对转轴的矩与刚体角位移的乘积.这样做不仅可以有效地避免学生产生错误的理解,而且可以进一步把质点系内力、刚体的内力以及约束反力的功的计算纳入讨论范畴,从而进一步强化力做功的概念.

第二,几乎所有的物理教材都不讨论力偶做功的内容,但在一些问题中又涉及力偶做功的计算,笔者认为这是一个需要解决的涉及基本概念的重要问题.力偶是由两个等值、反向、平行的力所组成的力系.但从理论上讲,力偶一经定义,它就与力在地位上是对应与平等的,它就成为了一个独立于力之外的另一个可以作用于刚体的力学要素.同理,尽管从初始计算上讲是通过计算组成力偶的两个力做的功来推导力偶做功计算公式(其结论是:力偶做功的大小等于度量该力偶作用效果的力偶矩和刚体转过的角位移的乘积),因为这个推导必须从力偶的原始定义出发,但力偶做功的计算公式一经推出,就应该与力做功的计算公式在地位上是对应和平等的.因此,只讨论力的功,而不讨论力偶的功,这在理论上是矛盾的,在逻辑上是有瑕疵的.因为这就相当于否定了力偶是独立于力之外的另一个作用于刚体上的力学要素这个基本概念,甚至从某种意义上说,是否定了在力学中引入或定义力偶这个概念的必要性和重要性,否定了力偶这个概念存在的意义.因此,在教材中是否讨论力偶做功并不是一个简单的内容增删问题,而是涉及力学自身在理论体系与概念构建上是否严谨、科学的问题.基于上述讨论,建议在教材编写与课堂教学中添加力偶做功的内容.

2 关于势能的计算

这里所说的势能计算,主要是指在一个物体系统中既有重力势能又有弹性力势能的情况下,如何选择势能零点而使势能计算方便、简洁的问题.这对初学者来说是一个难点.最典型的例子就是一个单自由度的弹簧振子在运动过程中任意位置时的势能计算,如图1(a)所示,物块质量为 m,弹簧的弹性系数为k,l为弹簧的原长,δst为静平衡时弹簧的静伸长.为了说明问题方便,将其势能计算过程详细罗列如下.取静平衡位置为坐标原点及重力势能和弹性力势能的零点,则物块在任意位置时的势能为

图1

考虑到静平衡时受力如图1(b)所示,此时 Fks的大小为

由物块平衡可得

代入式(1)得

由此可以得出结论:当选择静平衡位置为势能零点时,则系统在任意位置时的势能就等于弹簧相当于以静平衡位置为原长到该位置的变形(伸长或压缩)所产生的弹性力的势能.

有了上述结论,在计算类似问题的势能时就会带来很大的方便,但是,如何解释得到这个结论的原因,上述结论能否推广、怎样推广,现行教材对此问题的讨论是有缺失的.

现行教材一般不明示得到上述结论的过程及原因,更不讨论上述结论的推广条件,而是在遇到具体问题时直接应用上述结论,这就给初学者在这个问题上带来了很大的困惑与困难.实际上从式(1)、(3)可以看出,之所以可以得到式(4)这样一个简单的结果,其原因主要是物块的重力与弹簧的静伸长所产生的弹性力在位移 x上做的功大小相等,正负相抵所致.但是,能否从大小相等,正负功相抵这样一个表象或原因出发去挖掘问题更本质的内涵,进而可以对问题从概念上有更深层次的理解,在计算上不必通过功的繁琐计算就可以得出最终简洁的结果并给出其推广条件呢?笔者认为是完全可以做到的,也是必要的.

为此,先分析物块在任意位置 x处的受力,如图1(c)所示,此时 Fk的大小为

由式(3)及图1(b)可知,重力 mg和弹簧静伸长的弹性力Fks构成了一个平衡力系,由力学中的加减平衡力系公理可知,对于任意一个刚体,对其加上或减去一个平衡力系不影响原力系对刚体的作用效果,据此对图1(c)的物块减去 mg与 Fks组成的平衡力系,其受力情况如图1(d)所示,此时 F′k的大小为

也就是说,当从图1(c)中的物块上去掉一个平衡力系后,该物块在任意位置所受的力就相当于一个无重物块受一个从坐标原点为原长(即弹簧的静伸长处)算起的弹簧伸长所产生的弹性力的作用,如果这时把该坐标原点选为该弹性力势能的零点,则可以立即得到式(4)的结果.

图2

由此可见,如果用加减平衡力系公理来解释式(4)的结果,或者说用该公理来指导势能的计算,不仅从概念上很清晰,而且它触及了问题的本质,从而使势能计算不必再通过繁琐计算而获取结果,更重要的是,用减去一个平衡力系的方法来指导在任意位置的振动系统的势能计算,不仅可以将式(4)的结果推广到重力势能与弹性力势能其势能零点在同一点上的情况,而且还可以推广到重力势能与弹性力势能其势能零点不在同一点的情况;既可以用到弹簧振子上,又可以推广到其他振动系统上;既可以用到单自由度的情况,又可以推广到多自由度的情况,并且概念清晰,计算简单.例如对于图2(a)所示两个自由度的振动系统,分别选 x1、x2为广义坐标,选两个物块的静平衡位置 O1、O2为坐标 x1、x2的原点,则利用加减平衡力系公理可以将其受力简化为图2(b)所示的情况,分别以两个坐标原点为物块1、弹簧1的势能零点和物块2、弹簧2的势能零点,因此很容易求得其势能表达式为

再例如对于图2(c)所示的单自由度振动系统,将圆轮、物块的重力势能零点分别选在各自静平衡所在的O和O2点,将弹簧的弹性力的势能零点选在O1点,并假设铰链 O为理想约束,则以同样的方法处理,可以求得其在任意位置的势能为

或

而对于图2(d)所示的单自由度系统,如果静平衡时OA杆水平,则利用加减平衡力系公理,并假设铰链O为理想约束,则 OA杆在任意位置的势能为

从上述讨论可以看出,当应用加减平衡力系公理之后,实际上是把计算重力势能与弹性力势能之和的问题变成了仅仅只需要计算弹性力势能的问题,从而避开了初学者在选择重力势能零点与弹性力零点时所出现的对这两个势能零点是否应该重合或不重合的困惑,这样做不仅概念清楚,对问题的解释更科学,更触及本质,而且计算简单.

还需要指出的是,并不是所有需要考虑重力势能与弹性力势能的振动系统都可以应用加减平衡力系公理来简化势能的计算.例如图3所示的振动系统,如果该系统的静平衡位置如图所示,且其弹簧在静平衡时为原长(或有静变形δst),则该系统在计算其在任意位置的势能时就需要同时计算重力势能与弹性力势能,就是用了加减平衡力系公理也不能简化势能的计算.这是因为应用加减平衡力系公理能否简化势能计算取决于是否同时满足下列两个条件:一是在静平衡时系统所受平衡力系中是否存在由弹簧静变形而产生的弹性力;二是在静平衡时弹簧的静变形是否是由振动

图3

从上述讨论可以看出,一些在计算上并不复杂的问题,却涉及一些很基本、很重要的概念问题.这些问题往往会影响到初学者对一些结论的理解与应用,因此在教材和教学中应该对这些问题有所表述,因为不能期望学生在初次学习中就能领会到那些教师经过多年教学实践才悟到的概念真谛.

总之,教材的编写是一项要求非常严谨、非常科学、非常规范的工作,对理论的讲述,结论的解释,物理概念定义,问题的提法,基本量的计算都应该精益求精,慎之又慎,使之真正成为教师讲授与学生学习的基本依据.

[1] 新华词典编纂组.新华词典.北京:商务印书馆,1980.419

[2] 陈颖聪,田杨萌.新世纪大学物理(上册).上海:华东师范大学出版社,2005.76

[3] 吴百诗.大学物理(上册).西安:西安交通大学出版社,2004.164

[4] 吴百诗.大学物理(新版上册).北京:科学出版社,2001.205～207

[5] 单秋山.物理教程.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002.72

[6] 张宇.大学物理教程(第一册).哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001.87～88

[7] 王纪龙.大学物理(上册).北京:科学出版社,2003.127～128

[8] 金仲辉等.大学基础物理学.北京:科学出版社,2000.34～35

[9] 沈临江等.大学物理简明教程.北京:化学工业出版社,2003.59

[10] 王济民等.新编大学物理.北京:科学出版社,2004.115

[11] 徐国涵等.大学物理少学时.北京:机械工业出版社,2003.49～50

[12] 程国钧.大学物理教程.北京:科学出版社,2002.175

[13] 李金锷.大学物理(上册).北京:科学出版社,2001.90

[14] 吴於人等.大学物理(上).上海:同济大学出版社,2003.87～88

[15] 戴坚舟等.大学物理(上册).上海:华东理工大学出版社,2002.109

[16] 廖耀发.大学物理.武汉:武汉大学出版社,2001.72

[17] 陈曙光等.大学物理(上册).长沙:湖南大学出版社,2003.99

[18] 梁励芬等.大学物理简明教程.上海:复旦大学出版社,2002.72

[19] 何维杰等.大学物理(上册).长沙:湖南大学出版社,2001.90

[20] 潘琳.大学物理(上册).北京:中国石油化工出版社,2001.103

[21] 汤毓骏.大学物理新编.上海:中国纺织大学出版社,2001.102

[22] 刘拴江等.大学物理.北京:航空工业出版社,2001.34

2008-08-28)