高速公路平面控制网的变形问题研究

杨中利，娄洪富，苏锦程

（1.华北水利水电学院 水利职业学院，河南 郑州 450011；2.黄河水文勘察测绘局，河南 郑州 450008）

0 引言

随着国民经济的发展，我国高速公路建设速度加快，穿越复杂地形的高速公路也越来越多。 为了适应高速公路建设的需要，在设计和修建高速公路时，必须建立统一、系统的工程控制网。 由于一段公路从起点到终点距离较长，因此，公路控制网是一条较长的折线控制网。 按照规范要求，公路控制网选择平面控制坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5 cm/km。 对于大型构造物平面控制测量坐标系，其投影变形值不大于1cm/km，投影分带位置不能选择在大型构造物处。 对于桥梁和隧道等重要建筑，建立独立的工程控制网。 这些独立的工程控制网必须满足施工放样误差不大于1cm 的精度要求。 笔者试结合工程实践，对高速公路平面控制网建立中存在的问题及解决办法进行探讨。

1 公路平面控制网的问题及对策

1.1 建立公路平面控制网时遇到的问题

建立公路平面控制网时主要遇到以下3 个问题：（1）公路控制网长，沿途国家级控制点较少，若采用附合导线进行控制，导线长度将会大大超出规范规定，很难保证精度；如果连续地布设支导线，中间没有闭合条件，不但精度得不到保证，甚至还会出现错误。 （2）公路平面控制采用的坐标一般为国家54或80 坐标系内的坐标，它们都是投影在大地椭球体上，并进行高斯投影后得到的坐标。 这些坐标点之间的计算距离与实测距离将会有一定的差异。 这种差异对于道路施工放样是十分不利的，因为它直接影响到公路构筑物放样的精度，公路测量规范不允许其超过2.5 cm/km。 （3）有些路段可能穿越平原、丘陵和崇山峻岭，高差变化很大，由于两点之间的距离在不同高程投影面上的距离不同， 往往会超出规范的规定。例如新乡至晋城高速公路，线路东起新乡市快村营，西至山西晋城营盘村，全长66 km，跨越华北平原和太行山脉。 其中东段（约25 km）为华北平原和太行山脉过度地带， 属于平原微丘区， 海拔高度70～180 m，中段（约21 km）为沿溪及山间盆地地带，海拔180～800 m，西段（约20 km）为太行山脉中南段，属于典型的高山区，海拔800～1700 m。对于这样的路线，采用同一高程投影面，肯定不能满足1 km投影变形不大于2.5 cm 的要求。

1.2 解决上述问题的方法

1.2.1 采用两级控制，解决长路线控制问题

对于较长的路线，若采用长导线控制，不仅在精度上没有保证，也会由于在作业中不能分成多个小组进行同时作业，导致出现耗时过长等问题。 解决这个问题的方法是采用两级控制，首级平面控制一般采用GPS 静态测量，公路沿线可每隔5 km 布设一对GPS 点，按公路三等GPS 网的观测方法，测出这些点的平面坐标， 作为二级控制的启闭点和闭合方向。 二级控制采用附合导线，即在两对GPS 点之间布设附合导线，附合导线的长度大约在5 km 范围内，导线点之间的距离大约在500 m 左右。

1.2.2 采用任意带高斯投影的方法，减小高斯投影变形

高斯投影的距离改化公式为

式中：S 为大地椭球体上两点间的距离；ym为两点y 坐标自然值的平均值； R 为地球曲率半径，取6 371 000 m。

由公式（1）可以得出

按照1 km 投影变形不得大于2.5 cm 的要求，设S=1 000 m，ΔS1=0.025 m，将R=6 371 000 m 等参数代入式（2），可以求得：ym=45 049.8 m。 这就是说，只要变换高斯投影的中央子午线位置，使路线在距离中央子午线45 km 的范围内，就可以保证高斯投影的变形误差小于2.5 cm/km。 实际计算时，先选择中央子午线的经度，采用高斯坐标换带公式，就可以将国家投影带内的坐标换算为任意带内的坐标。有些公路路线太长，可以选择两套或多套中央子午线来满足要求。

1.2.3 采用略低于线路的高程面作为投影面，以减小高程投影变形

地面平距投影至大地椭球体面的长度变形的计算公式为

则

式中：H 为地面边相对于大地椭球体面的高程；S地为地面边的长度。

设S地=1000m，ΔS2=-0.025m，将R=6371000 m代入式（4），可以求得：H=159 m。 这就是说，地面边的高程在159 m 的范围内，1 km 高程投影变形值不大于2.5 cm。 对于高程超过159 m 的路段，要保证1 km 高程投影变形值不大于2.5 cm 的要求，就必须提高高程投影面的位置，使之接近于测区。 通常采用略低于线路的高程面H0作为投影面，对于高差较大的路线，可以分段选择恰当的高程投影面。

2 计算投影到H0 高程面上的坐标

为了实现投影后由坐标反算的距离与实测距离相等的目的，实际工作中，应将任意带的坐标转换为H0高程面上的坐标， 即高程为H0平面上的坐标。

2.1 计算原理

设地面两点在任意带内的坐标分别为：（x1，y1）、(x2，y2)， 则 它 们 在 高 斯 投 影 面 上 的 距 离 为：D=。 由于变换了中央子午线的位置，保证了高斯投影后长度变形不大于2.5 cm/km的规范要求，于是有S≈D，即视高斯平面上的长度为大地椭球面上的相应长度。

采用H0高程面作为投影面时，H0高程面上的长度与大地椭球面上相应长度的关系为：

于是可以得到：

式中： S0为H0高程面上的距离；S 为大地椭球面上的距离；H0为投影面高程；R 为地球曲率半径。

由于S≈D，于是得到：

式中： D 为任意带高斯平面上的距离。

高斯投影在中央子午线上点的y 坐标为0，考虑到会产生负值，均加上500 000 m，因此，在高斯投影中，它的原点坐标为x=0，y=500 000。 根据点位在任意带的坐标，可以计算出原点到各点的距离和方位角，将各点到原点的距离乘以投影系数k（k=）,便可以得到高程为H0平面上的相应长度。利用原点到各点的方位角以及H0平面上的相应长度，就可以求出各点的高斯投影且高程为H0的投影面上的坐标。

2.2 坐标转换步骤

由于地面点距原点的距离太远，经过改正的距离必然与高斯平面上的距离相差较大，即求出的H0平面的坐标与高斯平面的坐标相差较大，这会造成使用不便。 因此常选择测区内一点作为投影到H0平面的中心点，进行局部的H0平面投影。 坐标转换的具体方法为：

（1）选择起算点。 先选择一点，作为中心点（起算点）。 这一点的坐标在高斯平面和H0平面上的坐标是不变的，其他各点的坐标是变化的。在只有一个H0高程投影面时，这个中心点可以选择在路线的中央；当路线选择多个高程投影面时，选择在本段路线的起点。

（2）计算中心点到各点的距离和方位角。 在高斯平面上反算中心点到各点的距离Si和方位角αi。

（3）计算H0平面上起点到各点的距离。 应用公式（7）,计算出各点到中心点在H0平面上的距离。

（4）以起算点为准，计算各点在H0平面上的坐标。 设中心点的坐标为X0、Y0，利用下式求出各点在H0平面上的坐标Xi、Yi

由这些坐标反算的距离应当在H0平面上与实测距离相等。

3 结论

根据以上分析， 建立高速公路平面控制网时应遵循以下原则：

（1）按照常规方法建立道路的首级和二级控制点。 首先，每相隔5 km 布设1 对GPS 点，作为首级控制，采用C 级GPS 静态测量的方法，测出各点的平面坐标；然后在相邻两对GPS 点之间布设附合导线，作为线路的二级控制点，相对精度一般不小于1/4 万。

（2）选择恰当的高斯投影中央子午线和投影高程面。 现场实测距离与国家坐标反算距离的直接差异包括高斯投影变形和投影到大地椭球面引起的高程投影变形两种。 这两种距离变形符号是相反的，因此只要保证每一种变形都小于2.5 cm/km 的要求，总体变形肯定小于该值。 由此可以分别考虑中央子午线的选择和投影高面的选择。 选择中央子午线时，理论上路线坐标之差不超过90 km 时，只要选择1 条，就可保证高斯投影变形不超限。 实际上，为了计算的方便，中央子午线都选择整度数，实际范围尽可能小一些，按照高斯投影换带的程序即可得到任意带的坐标。当然，路线距国家坐标投影带中央子午线的距离不超过45 km，高斯投影引起的长度变形就不会超限，也就不必进行由国家坐标到任意带坐标的转换。 选择投影高程面时，理论上一段路线相对于投影高程面的高差小于159 m，就可以保证边长的高程投影变形小于规范规定。 有时路线高差变化很大， 可以根据现场建筑物的位置和路线的情况选择几个投影面，建立几个坐标系。 选择投影面时应当注意， 必须保证重要建筑物在同一个投影面内。

（3） 对于大型的构造物，例如桥梁、隧道和立交桥等中央建筑，必须建立高精度的独立平面控制网，这些网的点位中误差不得大于±5 mm。

[1] 孔祥元，梅是义. 控制测量学:下[M]. 武汉：武汉测绘科技大学出版社，1996：87-91.

[2] 杨国清. 控制测量学[M]. 郑州：黄河水利出版社，2005：235-244.

[3] 徐正扬.刘振华.吴国良. 大地控制测量学[M]. 郑州：解放军出版社，1994：251-267.

[4] 蒋永华. 控制测量学[M]. 北京：水利电力出版社，1992：126-165.

[5] 武汉测绘学院，同济大学. 控制测量学:下[M]. 北京：测绘出版社，1995：99-122.

[6] 黄继文. 椭球大地测量学[M]. 郑州：解放军出版社，1987：140-150.

[7] 张风举，张华海，赵长胜，孟鲁闽，卢秀山. 控制测量学[M].北京：煤炭工业出版社，1999：269-273.