磁悬浮轴承开关功率放大器系统建模及控制研究

王 军 徐龙祥

南京航空航天大学,南京,210016

0 引言

磁悬浮轴承由于无机械摩擦、损耗小、无润滑的特点而适用于高速旋转的场合[1-2]。磁悬浮轴承改变了传统的支承形式,提高了工作效率,广泛应用在透平膨胀机、高速电机[3]和无轴承电机[4-6]等高新技术领域。磁悬浮轴承开关功率放大器的作用是控制电磁线圈的电流以产生相应的电磁力,需要根据控制器信号转换成不失真的电流信号,其性能对磁悬浮轴承系统控制效果有显著影响,因此建立开关功率放大器数学模型成为理论分析磁悬浮轴承控制系统的关键[7-9]。目前磁悬浮轴承开关功率放大器系统的分析方法有两种:一种是基于仿真软件建立的开关功率放大器模型[10-12],如利用Simulink中的电力系统模型库和电路仿真软件PSPICE建立的仿真模型。这种方法的缺点是没有建立清晰的物理概念,不能用于指导功率放大器设计;另外一种方法是简化开关功率放大器模型[13],采用近似一阶惯性环节作为实际的功率放大器模型,但是开关功率放大器本质是一个非线性的系统,这种近似的模型不能完全反映开关功率放大器的特性。

磁悬浮轴承功率放大器有两电平和三电平两种形式。两电平功率放大器应用广泛,但是其电流纹波大,取代它的是三电平功率放大器。三电平功率放大器电流纹波小,非常适合用于高精度的磁悬浮轴承系统。本文以三电平功率放大器为例,在分析开关功率放大器三电平控制工作原理的基础上[14-16],以傅里叶级数表达式来代替功率放大器非线性部分,推导系统各部分数学模型,建立了开关功率放大器的闭环传递函数。

1 开关功率放大器闭环系统

开关功率放大器主要由PI控制器、PWM调制器、功率主电路和电流反馈环节组成,开关功率放大器控制系统框图见图1。PI调节器对参考信号uref(s)与反馈信号uf(s)相减所得的误差信号e(s)起比例积分调节作用,另外也改善开关功率放大器的闭环特性。PWM调制器用控制信号uc(s)与三角载波交截得到的脉冲电压信号驱动开关管S1和S4。改进半桥功率主电路由开关管S1和S4、快恢复二极管D2和D3组成,这种电路只能为磁悬浮电磁线圈提供单方向的电流,即电流从a点进入,b点流出。用开关管S2和S3替代快恢复二极管D2和D3,组成的全桥电路可以给电磁线圈提供双方向的电流。因分析的原理相似,本文以提供单方向电流的三电平开关功率放大器为例建立数学模型。

2 开关功率放大器系统建模

2.1 三电平功率电路工作原理[16]

基于三电平控制原理的功率放大器电路有4个不同的工作模式,各工作模式原理如图2所示。

(1)工作模式1为线圈电流增大状态。开关管S1和S4同时导通,二极管D2和D3关断,线圈两端电压为电源电压Ui,线圈电流iL增大。

(2)工作模式2为线圈电流续流状态。开关管S1导通,S4关断,二极管D3开通,线圈电流 iL沿同方向续流。

(3)工作模式3为线圈电流减小状态。开关管S1和S4关断,二极管D2和D3开通,电源电压Ui反向加载于线圈两端,线圈电流iL减小。

(4)工作模式4为线圈电流续流状态。开关管S4导通,S1关断,二极管D2开通,线圈电流 iL沿同方向续流,与模式2状态相同。

三电平功率放大器电路根据负载电流iL与给定参考电流信号i0之间的关系确定工作模式。当负载电流iL小于给定参考电流信号i0时,电路将在模式1和模式2之间交替工作,负载电流逐渐增大到参考值。当负载电流iL大于给定参考电流信号i0时,电路将在模式3和模式4之间交替工作,负载电流减小至参考值。

三电平控制原理如图3所示。图3中S1和S4为开关管的驱动信号,是PI控制器根据误差信号调节输出的信号uc与三角载波交截生成的,d1为开关管S1的占空比,d2为开关管S4的占空比,δ14为S1和S4同时作用在电磁线圈L两端等效的占空比,uab为电磁线圈L两端的电压,Ui为直流电源电压幅值,T为开关周期。三电平控制电路稳态工作时,负载电流工作在参考电流i0附近。在d4T(d6T)时间段,电路工作在模式2或模式4,负载电流在自身阻抗和开关管导通压降的作用下略有减小;在d3T(d5T)时间段,电路工作在模式1,S1和S4同时导通以补偿续流状态负载电流的损失。

2.2 功率放大器闭环系统模型

由图2电路工作原理可得开关功率放大器在一个周期内的状态方程:

式(1)可简化为

式中,Uon为开关管和二极管导通压降的平均值;R为电磁线圈的等效电阻;L为电磁线圈的电感;d3T、d5T为开关功率放大器稳定工作在模式1的时间。

δ14为与开关管S1和S4有关的周期开关函数,是一非线性函数,对其用傅里叶级数展开:

可以看出式(3)只有偶数项谐波,奇数项谐波为零。

电磁线圈电流iL受输入电压信号uab激励,也可用傅里叶级数形式表示。在一个周期内令

将式(4)代入式(2),且由三角载波的对称性,有d3=d5,由谐波平衡原理可得各次项方程:

式(5)为直流项方程,变换形式得

式(8)为电磁线圈电流上升段时间,其结果与文献[16]推导的式(34)的结果基本相似。

由式(6)和式(7)可解得各高次项系数:

故负载电流iL的纹波电流ik可由下式表示:

电磁线圈两端电压uab为

电源Ui提供给功率电路的输入电流is为

由图3和式(3)可知,在开关函数δ14的傅里叶级数中只有直流分量起有效传输能量作用,其他高频谐波分量小,可忽略,则:

式中,d4、d6为开关功率放大器稳定工作在模式2或模式4的占空比;uc为控制器输出信号;Utri为三角载波电压幅值。

将式(13)和式(15)合并可得从调制器输入到功率电路输出的传递函数:

电流反馈环节功能是将电磁线圈电流转换为相应的电压反馈信号,可认为是线性关系,其传递函数H为

式中,h为电流反馈系数。

在开环系统中加入补偿环节来提高系统带宽,增加稳定裕量,本文给定一简单的补偿网络传递函数,为

式中,p2、p3为常系数。

综合式(16)、式(17)和式(18)可得开关功率放大器系统的闭环传递函数:

式(19)表明建立的三电平功率放大器闭环系统数学模型为一个二阶系统,而文献[13]将系统近似为一阶惯性环节模型。

3 仿真与试验

本文以单方向电流的三电平开关功率放大器为例建立了数学模型,得出闭环系统传递函数,并进行仿真与试验。图4为仿真与试验依据的电路工作步骤框图。仿真以虚线框内本文建立的闭环系统传递函数模型作为研究对象,试验对根据电路工作步骤框图研制的样机进行测试。磁悬浮轴承三电平开关功率放大器仿真与试验的参数如下:直流母线电压Ui=50V,电流反馈系数h=5,三角载波单边幅值Utri=13V,电磁线圈电流IL=1A,线圈等效电阻R=2Ω,线圈电感L=0.9mH。

三电平功率放大器输出的电磁线圈电流纹波ik根据式(11)得

式(20)为前8次偶次谐波的纹波电流计算表达式,ξ(ω1t)为含10次谐波以上无穷小分量,计算得电流纹波大小约0.08A,在相同参数下由文献[16]中式(34)计算的电流纹波为0.07A,用PSPICE软件仿真电路法得出电流纹波大小为0.07A,试验测得电流纹波大小约0.10A,可知由该模型建立的输出电流方程比较符合功率放大器电路实际工作特性。

三电平开关功率放大器闭环系统的阶跃响应波形如图5所示。参考输入电压为±2V的阶跃信号,负载输出电流从0.6A上升到1.4A时数学模型仿真波形如图5a所示,输出电流到达稳态需要约130μ s。图 5b是三电平开关功率放大器的PSPICE电路仿真阶跃响应的结果图,输出电流同样需要约 130μ s达到稳态。图 5c是功率放大器电路的试验结果图,从图中可知阶跃响应所需要时间与仿真结果基本一致。

三电平开关功率放大器动态性能对磁悬浮系统控制效果有显著影响,磁悬浮轴承系统一般工作在60 000r/min(对应的频率为1000Hz)以下,故在此频率下研究建立的数学模型动态特性具有指导意义。参考输入电压幅值为±2V的激励正弦信号,信号频率为1000Hz,三电平开关功率放大器数学模型的电流输出特性如图6所示。图7是三电平开关功率放大器的PSPICE电路仿真电流输出特性图,图8是三电平开关功率放大器的实际电路试验得到的电流输出特性图。由3种结果对比可知,由数学模型得到的开关功率放大器在高频下特性与电路仿真、试验结果相一致,输出电流响应都在0.6～1.4A之间,测量结果表明通过数学模型法所得的系统特性与试验结果基本相同,输出电流能快速响应输入信号的变化,数学模型能较好反映开关功率放大器实际的工作动态特性,可为研究磁悬浮控制系统提供较为精确的模型。

4 结束语

本文通过分析开关功率放大器电路三电平控制原理,对系统中非线性部分采用傅里叶级数表达式代替,建立线性的开关功率放大器数学模型,得出开关功率放大器闭环系统的传递函数,利用MATLAB软件对数学模型进行仿真,得到的结果与其他软件仿真结果和试验结果基本一致,表明得到的开关功率放大器数学模型是可行有效的,可以指导性地设计不同的补偿网络以满足对负载电流动态性能的要求,对研究磁悬浮系统的稳态和动态特性具有重要意义。

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