角锥天线设计的非线性方程求解

江轶慧, 张谟杰

(上海无线电设备研究所,上海200090)

0 引言

角锥喇叭天线的设计方式通常是根据增益的指标,用经验公式估算出一个面的大致尺寸,查阅图线图表得到完整的尺寸值,再视计算出的性能接受与否继续修正。虽然这样不难得到一个可供多数情况下使用的角锥喇叭天线,但是未能做到性能对两个主面的波束宽度θ0.5H、θ0.5E和增益G这三个指标严格意义上的同时满足。经验公式和图线的适用范围有限,得到的喇叭天线并非最佳,造成偏差加大。合理指标的界限也从未被设计人员考察过。

本文从分析角锥喇叭天线的严格公式出发,直接求解逆问题,寻找多维方程的解向量。以该解为尺寸的角锥天线,其性能的理论值能够满足任意合理的给定指标,实现了波束宽度和增益的任意控制。对于方程组无解的情形也能够明确指出假想的解不存在,即要求的指标不可实现。设计过程因此严格化。

在此基础上,描画收敛域的完整图界并讨论解向量的存在性和唯一性。从中看出口面分布,口面利用率,指标界限和算法收敛域之间的关联。

设计并加工、测量了一个S波段角锥天线,证实方法在应用层面的效果。

1 基于逆问题求解的综合方法

1.1 分析公式

根据角锥喇叭的内外场两步分析法以及口面场等效假定[1],主模工作频率下喇叭开口面上的场为

等效源辐射的(未归一化)远场幅度和增益表达式为

主波束宽度为

其中:

式(6)中:

式中:DH为口面宽边的长度;DE为口面窄边的长度;H为喇叭高;R H为 H面斜径;R E为E面斜径;λ为工作波长;式(8)为菲涅尔积分。

1.2 约束方程组

选取口面长宽D H,D E和高度 H为决定式(2)和式(6)的独立变量。将波束宽度(3)看作式(2)的必然结果,列出波束宽度和增益关于尺寸的形式表达式,迫使它们等于要达到的指标,就可建立起一组约束:

式中,左边项G,θ0.5H和 θ0.5E仅代表增益和波束宽度关于尺寸D H,D E,H的可解析或不可解析的形式,右边项G0,θ0.5H 0和θ0.5E0是要求达到的指标数值。从中解出独立尺寸D H,D E,H,就得到了设计值。

2 求解方法

方程(9)属于 N个未知量的N个方程。常用多维方程求根的New ton-Raphson迭代法或由之发展而来的拟New ton迭代法可以给出其一个精确解[2]。但是,前提是迭代的初始预测向量必须足够靠近真实解向量,否则x可能会偏离至无规则的远处而使求解失败。这种对初始值的明显依赖会造成如下弊端:

a)需要事先获知解的大致位置;

b)当结果不收敛时,无法判断是因为初始值取得不够理想还是该问题本身就无解。

为克服这两点,本文用New ton-Raphson法结合一种全局收敛的改进来求解[2],只需粗略的取定D H,D E,H三个尺寸的起始值就能迭代出满足方程的一组解。

2.1 迭代方法

向量方程:

其中:

Taylor展开为

式中:偏导数构成的Jaccobi矩阵为

忽略δx2及其更高阶项,并置F(x+δx)=0,可以得到一个关于修正项δx的线性方程组:

对式(12)的矩阵方程求出的修正项添加到解向量中:

这一过程不断迭代直到收敛为止。

2.2 全局收敛改进

引入辅助函数:

沿每一次步长δx方向求f的极小值:

得到相应 λ,以 λδx代入式(16)中 δx。

2.3 求解结果

(G,θ0.5H,θ0.5E)对(D H,D E,H)是渐变的,使方程有解的指标全体也描划出一个连续的三维区域 ,其边界使得(G,θ0.5H,θ0.5E)对 D H,D E,H 至少之一趋向一个极限。由此,固定指标中的两个值,允许另一个值变动,计算这一界限的三个两维投影,如图1～6所示。

图1 尺寸随增益变化(局部放大)

图2 尺寸随增益变化

图3 尺寸随H面波束宽度变化(局部放大)

图4 尺寸随H面波束宽度变化

图5 尺寸随E面波束宽度变化(局部放大)

图中横轴表示另两个指标固定前提下变动的一个指标,纵轴表示满足指标的一组尺寸。粗线表示主值,即实用段的尺寸;细线表示存在的另外多组解,是口面分布畸变后的结果。图1,3,5显示小尺寸结果;图2,4,6给出完整结果。

图6 尺寸随E面波束宽度变化

3 结果分析

3.1 全局收敛

计算结果体现出该算法的全局收敛特性。只要在工作波长的尺度内选择,三个尺寸的迭代起始点总能收敛到一组结果,表现出足够宽范围内的全局收敛特性。虽然不会是绝对意义上的全局收敛,因为起始值的任意选择也不能超出使分析公式有意义的限度,否则会引起波导截止或函数形态严重畸变导致计算缓慢。

3.2 收敛域的有界性和多值性

既然算法是全局收敛的,只要有解就必能找到,不收敛的情形只能代表问题本身就无解,而无解的原因只能是指标规定的不合理。由图可见:

a)使得方程组(9)有解的指标存在一个上限和下限,超过这个界限迭代不会有结果;

b)满足同一组指标的尺寸取值并不是唯一的,即方程组是多解的。

考察粗线表示的主值支,它代表的解其实是口面上只有同相场情形下的尺寸。此时,当增益或波束宽度之一过大到无法与其余指标相适应时,算法试图通过无限延伸喇叭长度 H,趋近这样不合理的指标,因为H越大,口面相差越趋于分布均匀,因此利用效率越高。但是,对于一定波束宽度的天线来说,增益的提高不可能是无限制的(或者对于一定增益的天线来说,波束宽度的增加也不可能是无限制的),因此天线就达到了某一指标的上限,也就是此时结果不再能收敛的物理意义所在。

另一方面,当增益或波束宽度之一减小,而其余指标不变时,算法主要通过增加口面宽边D H同时适当调整DE和H来实现,因为这样会使得口面相差分布趋于不均匀,利用率降低。值得注意的是,随着DH的增加,增益会到达一个极小值点,然后再次增大重复先前的数值,致使解向量第二分支的出现。这是由于此时边缘相差已超过π,使得口面上出现反相场部分抵消了中心同相场的最外缘,相位不均匀性被削弱,反而使口面利用率再次回复,并且随着反相场的加强而增大。反相场刚出现的这一点也就规定了增益(或波束宽)指标能够到达的下限。同理,D H继续增加会出现边缘场的多次相位反转,增益也随之波动达到多个极值点,其极小值不低于两分支汇合处的第一极小值,极大值甚至超过主单值支的上限。此时,H面呈现的是从等效相位中心发出的近似球面波被该口面所截的n多个波长的投影,其整体幅度是沿DH的一个半波长余弦分布,相位从口面中心每隔一定间隔反转一次。当D H→∞,所有同相场和反相场的总体贡献收敛于一个确定数值,因此由图2,图 4,图 6 看出,G或 θ0.5H0,θ0.5E0最终趋于不再随尺寸变动。

3.3 解向量的存在条件和唯一与否

收敛域全图表明,当所给指标不超出对应的收敛域界限时,存在满足式(9)的多个解向量,其中的最小尺寸值是口面场正常分布下的实用设计值。

主单值支的收敛域边界对应的指标容限为:

a)当固定 θ0.5H0=30°,θ0.5E0=30°时,G0 的容许变动范围为[14.66611 dB,15.815 dB];

b)当固定 G0=14.66611 dB,θ0.5E0=30°时,θ0.5H 0的容许变动范围为[30°,38.726°];

c)当固定 G0=14.66611 dB,θ0.5H 0=30°时,θ0.5E0的容许变动范围为[30°,38.750°] 。

4 设计实例

设计S波段角锥喇叭天线。

4.1 设计要求

中心频率 f0=3.08GH z,增益为15 dB。

馈电波导采用S波段标准波导:a×b=72.14×34.04 mm2。

4.2 设计值

将增益 G0=15 dB,主波束宽度 θ0.5H 0=30°,θ0.5E0=28°代入式(8)的右端项,求解约束方程组得到一组尺寸:

4.3 结果对比

依据这组尺寸实际加工了二个角锥天线。对该天线作回代计算,HFSS仿真和实物测量。结果如下:

(1)远场

图7和图8是归一化远场幅度的回代计算值、HFSS仿真值和测量值结果对比。说明:测量的频率点是3.1GHz。

图7 H-面归一化远场幅度

(2)主波束宽度

主波束宽度的计算值、仿真值和测量值如表1所示。

主面波束宽度的回代计算值与指定指标相同,表明算法收敛;计算值与仿真或测量值间的误差是分析式(2)本身引起的,与求根算法无关。

图8 E-面归一化远场幅度

表1 主波束宽度的计算值、仿真值和测量值

(3)增益

a)计算值=15.001 dB;

b)仿真值=15.33 dB;

c)测量值=15.17 dB 1#;15.28 dB 2#。

同理,增益的回代计算值与指标相同也表明了算法收敛;而计算值与仿真或测量值间的误差是式(6)本身包含的,与求根算法无关。

5 结论

文章实现了全局收敛改进的New ton-Raphson算法在天线设计中的应用,使多参数综合的逆问题一次性严格求解成为可能;描画出角锥天线设计尺寸收敛域的完整图界。发现收敛域的分布显示多值和有界两个特征,是角锥天线尺寸形状,口面场,天线性能之间物理关联的呈现。由此回答了矢量方程(9)解向量的存在条件和唯一与否。采用本文论述的设计方法,通过实物研制与测试和仿真验证了方法的正确性。易于推广到已知分析函数的任何其它器件设计问题上。

[1] 廖承恩,微波技术基础[M].西安:西安电子科技大学出版社,1994.

[2] 谢处方,邱文杰.天线原理与设计[M].西安:西北电讯工程学院出版社,1985.

[3] William H.Press,Saul A.Teukolsky,W illiam T.Vetterling.C数值算法[M].北京:电子工业出版社,2004.