一种基于二元粗糙关系的栅格数据局部运算方法

廖伟华

(广西大学数学与信息科学学院，中国 南宁 530004)

栅格数据是用规则格网来覆盖整个空间的一种数据模型，每个格网中的各个像元与其位置上的空间现象特征相对应，像元值的变化反映了现象的空间变异．目前对于栅格数据分析国内一般集中在一些应用分析[1-2]．栅格数据分析是基于栅格像元值和栅格的，因此栅格数据分析能在独立像元、像元组或整个栅格全部像元的不同层次上进行，一些栅格数据运算使用单一栅格，而另一些则使用两个或更多栅格数据．栅格数据运算一般包含局部运算、领域运算、分区运算和距离量测．局部运算是一个像元接一个像元运算，建立栅格数据分析的核心．局部运算可由一个或多个栅格数据层进行运算，从而得出一个运算结果的输出图层．

由两元素x和y(允许x=y)按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作〈x,y〉，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素．如果一个集合满足以下两个条件之一：(1)集合非空，且它的元素都是有序对；(2)集合是空集，则称该集合为一个二元关系，记作R[3]．两个栅格数据层的每个像元的取值(如坡度，坡向)都构成一个二元关系，本研究将利用二元关系和粗糙集的性质来讨论两个栅格数据输入层的局部运算．

1 局部运算与邻域算子

GIS栅格数据分析的局部运算一般是由多个栅格输入数据通过算术运算(加、减、乘、函数等)对于数值型数据进行运算，从而生成一个新的图层，这些局部运算都是涉及统计量的局部运算．还有一种称为Combine的局部运算，是一种不涉及统计量的局部计算．假设有如图1的A，B两个输入栅格数据层，A图代表坡度共有3个像元值(A1：0～20%，A2：20%～40%，A3：>40%),B图代表坡向也有3个像元值(B1：北，B2：东，B3：西)．经过Combine运算的结果见C图，其中1代表坡度属于20%～40%，坡向朝东的一个像元，各个像元组合代码及其含义见图D．

A2A3A1A3A2A1A1A2A3B1B2B3B1B2B2B3B2B1123456354ABC组合代码123456A,B(A2,B1)(A3,B2)(A1,B3)(A3,B1)(A2,B2)(A1,B2)D

图1Combine局部运算示意图

定义2设R是U上的二元关系，对于x,y∈U,若xRy,即〈x,y〉∈R，则称x是y的前继，y是x的后继.

Rs(x)={y∈U|xRy}，

Rp(x)={y∈U|yRx}

(1)

分别称为x的后继领域，前继领域．

如图1中的A1的后继邻域有(A1,B3), (A1,B2),B1的前继邻域有(A2,B1)，(A3,B1)．可以看出，对于一个像元的后继、前继邻域，是那些与这个像元值有组合代码局部运算代码组合．只是后继领域是针对第一个栅格图层的像元值，前继邻域是针对第二个栅格图层的像元值而已．

定义3对于一个给定的有限非空集合A和B,则U=A×B也是确定的．每一元素和该元素的邻域形成的序偶集合关系对U构成一种划分，即邻域关系．前继邻域和后继邻域对U的划分分别称为前继邻域关系、后继邻域关系[5]．

这样在图1中两个输入图层A，B，A={A1,A2,A3},B={B1,B2,B3},A中所有元素的邻域关系对U进行了后继邻域关系的划分为:

Us=Us1∪Us2∪Us3,Us1∩Us2∩Us3=∅,其中Us1={(A1,B3), (A1,B2)},Us2={(A2,B1), (A2,B2)},Us3={(A3,B2), (A3,B1)}．

同样得到B中所有元素的邻域关系对U进行前继邻域关系的划分:

Up=Up1∪Up2∪Up3,Up1∩Up2∩Up3=∅,其中Up1={(A2,B1), (A3,B1)},Up2={(A3,B2), (A2,B2), (A1,B2)},Up3={(A1,B3)}．

一个图层的后继邻域关系是该图层中每个像元值的邻域形成一个序偶集合，前继关系的含义也相同．这样，对于局部运算的结果，可利用后继邻域关系和前继邻域关系来表示，如图2．其中C是利用后继领域关系表示的输出图层，D是利用前继邻域关系表示的输出图层，像元代码组合见图E，各种代码组合取值见上述邻域关系分析．如果采用后继邻域表示，则图1中的局部运算代码组合可以表示成E中的3种组合，其中Us1表示坡度在20%～40%之间，坡向为北或东的栅格单元组合，其它类似．采用后继邻域关系表示，就是将第一个图层的每个像元值的后继邻域进行分类的一种组合结果，采用前继邻域关系表示，就是将第二个图层的每个像元值的前继邻域进行分类的一种组合结果．

A2A3A1A3A2A1A1A2A3B1B2B3B1B2B2B3B2B1233321123123122321ABCD组合代码123组合代码123后继邻域Us1Us2Us3前继邻域Up1Up2Up3E

图2基于邻域关系的局部运算示意图

2 二元粗糙集与局部运算

(2)

X关于近似空间D的正域pos(X)，负域neg(X)和边界bn(X)分别定义为：

(3)

同样如果利用前继邻域算子，二元粗糙集定义为如下公式[7]：

(4)

X关于近似空间A的正域posp(X)，负域negp(X)和边界bnp(X)分别定义为：

(5)

3 实例分析

在图3中，图A代表某个地区的坡度分级(1,2,3)，图B代表该地区坡向分级，其中1代表朝东(0～90)，2代表朝南(90～180)，以此类推．采用Combine局部运算则得到结果见图C，共有12种组合．采用基于后域邻域关系运算，则可以得到如图D的结果.两种运算方法所产生的属性表具体见表1，可以看出，图D是按坡度分类的一种重新组合．

图3 Combine与邻域运算结果实例图

Combine邻域运算类型数量坡度坡向类型数量坡度坡向1103 573132116 50123391 33114497 656240366 721112345137 806346162 61931773 02321887 453111370 14621234984 364121082 9662211189 0693312141 399322630 89331234

4 结论

不涉及统计量的局部运算是利用像元值之间的组合代码来表示结果的．采用二元关系的前继邻域关系，后继邻域关系的局部运算合理地利用了两个输入栅格图层的像元值，采用后继邻域关系是对于第一个输入图层各种像元值重新进行一种划分，采用前继邻域关系是对于第二个输入图层各种像元值重新进行一种划分．如果采用不同的邻域关系，对于一个集合的上、下近似可以得到不同的子集结果．本研究仅仅是对于两个输入栅格数据图层局部运算的的研究．而对于3个或多个输入图层的局部运算，由于这样的运算像元值组合不再是一个二元关系，因此如何对于多栅格数据的局部运算能不能按照邻域关系继续深入，有待下一步工作继续．

参考文献：

[1] 李 京,蒋卫国,陈云浩. 基于GIS多源栅格数据的模糊综合评价模型[J]. 中国图像图形学报,2007,12(8):1 446-1 450.

[2] 王霖琳,胡振琪. 基于GIS栅格数据的空间模糊综合评判方法与实践[J]. 地理与地理信息科学,2009,25(4):38-41.

[3] 罗球凤,陈钉均,秦克云. 一般二元关系下粗糙集的拓扑性质[J]. 海南师范大学学报:自然科学版,2008,21(1):1-4.

[4] 张文修，吴伟志，梁吉业,等.粗糙集理论与方法[M].北京：科学出版社，2005.

[5] 邢 燕,刘卫江.一般关系下粗糙集上映射的拓扑性质[J]. 辽宁工学院学报,2004,24(6):68-70.

[6] 周 耀,林 和,崔永斌,等.粗糙关系及其在邻域关系下的研究[J].计算机科学,2004,31(10A):61-63.

[7] 朱颢东,钟 勇.基于优化的文档频和粗糙集的特征选择方法[J]. 湖南师范大学自然科学学报,2009,32(3): 27-31.