时标上的一类二元神经网络的收敛性

尚本罡,李文静

(1.河南索凌电器有限公司，河南 郑州 450007;2.河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191)

时标上动力系统的研究可以追溯到它的创始人Stefen Hilger[1]. 这是一个新的研究领域，有着相当广泛的理论探索空间和实际应用意义,它的研究范围已经涉及动力方程的振动性、周期性和边值问题等.本文考虑时标上一类神经网络模型的稳定性和收敛性.

1 引 言

2002年,朱惠延考虑了二元神经网络动力系统

2006年又进一步考虑离散系统[3]

根据时标的特点：统一连续分析和离散分析，2008年，吴海华[4]考虑了时标上的一类神经网络动力系统

的渐进性.其中，信号函数为：

本文考虑时标上的二元神经网络动力系统

(1)

其中，信号函数为：

(2)

(1)式中，T为无界时标，△为delta导数，τ>0为突触滞后.

设X=C([-τ， 0]T，R2)为相空间，对任意给定的初值Φ=(φ，ψ)∈X，依次在[0，τ]T，[τ，2τ]T，[2τ，3τ]T…上解方程(1)，可得(1)的唯一解(x(t)，y(t)).其满足初始条件xΦ|[-τ，0]T=φ，yΦ|[-τ，0]T=ψ.本文讨论对任意的Φ=(φ，ψ)∈X，当t→+∞时(x(t)，y(t))的极限性态.文中总假定初始函数Φ∈X++∪X+-∪X-+∪X--=X.这里X±±={Φ∈X∶Φ=(φ，ψ)，φ∈C±，ψ∈C±}， 其中C+表示在[-τ，0]T上只有有限个零点、不变号的右稠密连续函数φ：[-τ，0]T→[β，+∞)的全体；而C-表示在[-τ，0]T上只有有限个零点、不变号的右稠密连续函数φ：[-τ，0]T→[-∞，β)的全体.显然，X中包含了除零点之外的一切常函数.本文将证明一旦Φ∈X确定下来，(x(t)，y(t))的性态以及t→ +∞时的极限行为完全由(φ(0)，ψ(0))决定.本文要证明的主要结果如下：

定理1 设β>1， 若Φ∈X++∪X+-∪X-+∪X--， 则当t→+∞时， (x(t)，y(t))→(0，0).

定理2 设β=1,那么

(1)如果Φ∈X--，则当t→ +∞时，

(x(t),y(t))→(0,0)；

(2)如果Φ∈X++，则当t→ +∞时，

(x(t),y(t))→(1,1).

定理3 设0<β<1， 如果Φ∈X--， 则当t→ +∞时， (x(t),y(t))→(0,0).

2 预备知识

1988年，Stefan Hilger 在他的博士论文中引进时标理论，目的是统一连续和离散分析.近年来，时标上的动力系统由于广泛的应用前景，受到了数学工作者的关注.时标微积分理论的基本知识如下：

实数集中的任意非空闭子集称为时标，记作T.

设t∈T，定义向前(向后)跳跃算子σ(t)=

inf {τ>t∶τ∈T}(ρ(t)=sup{τ

若σ(t)>t， 称t是右稠密的；若ρ(t)infT， 且ρ(t)=t， 则称t为左稠密的；如果t既是右稠密又是左稠密的，称t为稠密的.定义微量μ∶T→R，μ(t)=σ(t)-t.

定义1 设t∈T， 对∀ε>0，存在t的δ邻域U(U=(t-δ，t+δ)T)，使得：

|[f(σ(t))-f(s)]-f△(t)[σ(t)-s]|≤

ε|σ(t)-s|，s∈U.

称f△(t)为函数f在点t处的△导数.对∀t∈T，若f△(t)存在，称f是△可微的.

定义3 设t∈T， 函数f∶T→R， 那么

(1)如果f在t点处可微，则f在t点处连续；

(2)如果f在t点处连续且t是右离散点，则f在t处可微， 并且

(3)如果f在t点处连续且t是右稠密点，则

(4)如果f在t点处可微， 则f(σ(t))=

f(t)+μ(t)f△(t).

定义4 称函数f∶T→R是右稠密连续的(记Crd)，如果函数f在T中的右稠密点处连续，在左稠密点处左极限存在.

定义5 如果p∈R(R={p∶T→R， 1+p(t)μ(t)≠0})，定义时标上的指数函数为：

这里ξμ(τ)(p(τ))=

定义6 如果p∈R，函数f∶T→R是右稠密连续的，称初值问题

全文假设1-μ(t)>0， 记[a，b]T=[a，b]∩T.

3 结论的证明

为了证明文中的主要结论，需引入以下引理：

引理1[1]如果p∈R，a，b，c∈T，则

定理1的证明：由(1)和(2)可知，方程(1)的形式共有四种，即：

(3)

(4)

(5)

(6)

由(3)(4)(5)(6)可知：

(7)

根据定理7可得:

(8)

(9)

因为当t≥0时，总有：

(10)

从而当t∈[t*,+∞)T是恒有：

(11)

解得：

(12)

(x(t),y(t))→(0,0).

定理2的证明：(1)设β=1，如果Φ∈X--， 当t∈[0,τ]T时，由(1)和(2)可知，方程(1)可写为：

求解得：

(13)

由于e-1(t,0)∈[0,1]，所以

x(t)=e-1(t,0)φ(0)<β，

y(t)=e-1(t,0)ψ(0)<β.

那么当t∈[τ,2τ)T时，(x(t),y(t))满足：

求解得：

那么x(t)<β，y(t)<β.以此类推，当

t∈[(k-1)τ,kτ]T(k∈Z+)时， 恒有：

因此, 当t→+∞时，(x(t),y(t))→(0,0).

类似定理2中(1)的方法可得其他的结论，在此略.

4 结 论

本文利用时标理论给出了定理的证明.显然,当时标T=R时，方程(1)可改写为：

(17)

信号函数为：

这时由于σ(t)=t，μ(t)=0，那么定理1、定理2、定理3对于方程(17)成立.

当时标T=N时，方程(1)可改写为：

(18)

信号函数

这时由于σ(t)=t+1，μ(t)=1，那么定理1、定理2、定理3对于方程(18)成立.

本文的结论包含了上述两方程组的结论,利用时标理论将微分方程及其离散形式结合起来研究.同时从证明的结果可知，系统(1)的收敛性与信号传输函数f和阀值β有关， 不同的传输函数f和阀值β将直接影响系统(1)的收敛性. 本文只是对信号函数(2)及阀值ξ=β(β>0)的情况作了一些简单探讨，至于ξ的其他情况，今后将做进一步研究.

参考文献：

[1] BOHNER M,PETERSON A.Dynamic equations on time scales[M].Boston:Birkhauser,2001.

[2] 朱惠延.一类二元人工神经网络的渐进性[J]．南华大学学报，2002，16(1)：50-53.

[3] ZHU H, WANG L. Convergence and periodicity of solutions for a discrete-time neural networks model[J].Journal of Biomathematics, 2006, 21(2):177-183.

[4] 吴海华.时标上一类神经网络模型的渐进性[J].河南工程学院学报(自然科学版)，2008，(2):72-74.