基于消减PAPR的小波包调制结构的研究

余志卫，唐向宏，申传朋，李双霞

（杭州电子科技大学通信工程学院，浙江杭州310018）

0 引 言

小波包调制是一种新型的多载波调制技术。与OFDM信号相比，小波包调制信号具有较强的抗脉冲干扰和抗窄带噪声干扰，以及较高的频带利用率，小波包调制技术受到广泛关注。然而，作为多载波调制技术，小波包调制也存在峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）问题［1-4］。该文将在文献2的剪枝方法基础上，从消减PAPR和降低复杂度的角度，利用小波包树结点的频率选择特性，完成对满树小波包调制结构的剪枝，通过选择不同的剪枝树形结构和不同的小波包基函数实现小波包调制结构的优化，并且仿真分析不同树形结构在加性白色高斯信道下的误比特率性能，而文献2仅仅考虑了一种基小波和对剪枝结构是否符合小波包调制系统信息传输的要求没有进一步分析。

1 小波包调制系统

式中，a1m［n］表示对结点（-1，m）处的小波包函数φ1m进行调制的数字信号；Γ表示小波包树终结点（-1，m）的集合。在小波包调制实现时，通常采用Mallat快速算法来完成，通过构造正交镜像滤波器组h（n）和g（n）来实现［2］，h（n）和g（n）分别为L长度为的低通和高通滤波器。3级小波包调制系统的调制、解调结构如图1、2所示。其中xi表示经过串并转换的输入序列，s为小波包调制信号，（-1，m）代表第

1.1 小波包调制系统基本结构

小波包调制的基本原理就是利用小波包函数的正交性，用小波包函数替代正弦函数来实现调制。在小波包调制系统中，不同信道的信号调制不同结点的小波包函数，总的调制信号可表示为：层的第m个树结点（分为3类：终结点、内结点和根结点），满树形小波包结构的结点为：

图1 满树小波包调制结构图（重构）

图2 满树小波包解调结构图（分解）

1.2 小波包调制的树形结构特性

当小波包调制级数J一定，小波包调制树形结构具有多样性，满树调制结构仅是其中的一种。根据二叉树的性质［5］，小波包调制树结构数量γJ随着的增加近似于2次幂增加：

小波包调制级数J=3的小波包调制树形结构如图3所示共有26种，其中调制树形结构6为小波调制结构，树形结构26为满树小波包调制结构。

对于小波包变换树结构的选择问题，人们已作了较深入的研究［6］，最有代表性的是采用熵或信息花费函数来衡量，使得最优树结构的信息花费函数最小。因此，结合小波包调制树形结构的多样性，可通过对满树结构的剪枝，选择非满树结构实现调制峰值的降低要求。

图3 J=3时所有可能的树形结构

1.3 PAPR 定义

小波包调制系统的PAPR定义为［2］：PAPR即为调制信号s（t）的功率峰值与功率平均值之比。

2 小波包树剪枝

小波包树剪枝［2］是把相邻的两个或多个子结点合并成一个结点，如图4所示。这种结点的合并不会丢失和影响储存在剪枝树中的信息。满树有相同子载波带宽的φm［n］，而剪枝树有不同子载波带宽φm［n］。满树终结点携带一个调制符号，在图4中的剪枝树终结点携带一个或多个调制符号，因此这种在小波包调制中不均衡的携带信息成为可能，特别是这种可以随机选择的剪枝小波包树在消减PAPR的应用成为可能。同时，可以直观的看出随着内结点数的减少，实现复杂度也大大降低。

调制级数为6时，除根结点（0，0）外，各内结点在剪枝时的选择频率［2］如图5所示，横坐标为小波包树结点标号，纵坐标为对应的频率选择。从图5中可以看出，对于所合并的结点，越接近根结点（0，0）的结点具有更高的频率选择，也就可能取得更好的消减PAPR效果，越接近终端结点的结点具有较低的频率选择，也就可能得到较低的消减PAPR效果，因此，可根据小波包树结点的频率选择特性进行小波包树剪枝，以达到消减PAPR的目的。

图4 剪枝小波包调制树结构

图5 小波包树结点的频率选择

3 实验仿真与分析

为了分析比较不同剪枝树对PAPR的影响，在计算机上利用MATLAB软件构建了小波包调制系统的仿真系统。传输序列为双极性｛-1，+1｝序列。

3.1 不同的剪枝树形结构的PAPR仿真

首先，采用db4（Daubechies-4）基小波，对不同的剪枝树形结构的PAPR进行了仿真比较。

J=3内点数为2时剪枝树形结构的PAPR如图6所示。从图6中可以看出，这4种结构在消减PAPR方面取得相近似的效果，即具有相同内结点数的树形结构具有相近似的PAPR性能。

J=3时树8、树12、树16、树24以及满树26的 PAPR，如图7所示，他们的内结点数分别为2、3、4、5和 6。树 8、树 12、树 16、树 24分别比满树 26大约降低了 2dB、1.2dB、0.8dB和 0.2dB，而且树 8比文献 2采用的树12结构的PAPR性能降低了0.8 dB。当剪枝树的内结点数越小，消减PAPR的效果则越好。由此可以推广到更高的调制级数，当剪枝树形结构的内结点数越少，其消减PAPR的效果就越好，对应的调制结构也就最优。

3.2 不同小波包基函数的剪枝树结构分析

为了分析不同小波包基函数对剪枝树形结构的PAPR的影响，考虑到系统性能和实际应用中的复杂度。在实验仿真中，采用了正交、紧支撑的dbN小波和coifN小波作为研究对象。

采用db2、db4、db8和coif4作为基小波时，满树结构26的 PAPR性能分别如图8所示。从图8中可以看出，滤波器组的长度为2N的dbN小波，小波包基函数的支撑长度越长，其PAPR越大；虽然coif4小波与db4小波所对应的PAPR性能比较接近，但是coifN小波的滤波器组长度为6N，复杂度比dbN小波大得多。

图6 内结点数为2的剪枝树的PAPR

图7 不同内结点数的剪枝树的PAPR

图8 树26采用不同基函数的PAPR

采用db2、db4、db8和coif4作为基小波时，剪枝树结构8的PAPR性能如图9所示。在图9中，对于剪枝树结构8，db4小波取得与db2相似的PAPR性能。因此，综合考虑系统的PAPR和复杂度，不应采用N较大的dbN小波，采用db4小波在剪枝树结构8条件下，得到最优的PAPR性能。

3.3 加性白色高斯信道下的误比特率性能分析

对于加性白色高斯信道，采用如图10所示的模型［7］。接收端接收到的信号为：

式中，s（t）为小波包调制信号，n（t）为AWGN噪声信号。AWGN信道中小波包调制系统的误比特率性能如图11所示。假设满树结构每个子信道上传送的信息码流的分级长度为1 024，即每个子信道上的信息传输速率为1 024bps，在图4中的剪枝树，终结点（-1，0）所在子信道的信息传输速率为4 096bps，（-3，4）和（-3，5）所在子信道的信息传输速率为1 024bps，（-2，3）所在子信道的信息传输速率为2 048bps。仿真采用db4小波，分别树26、树12和树8，其中横坐标表示输入信噪比，纵坐标表示比特误码率，从图11中可以看出，由满树结构树26到剪枝树结构树12和树8，系统的整体误比特率性能略有提高，也即系统的传输性能略有改善。因此，对满树小波包调制结构的剪枝合并，在一定的输入信噪比下，剪枝结构不但取得较好的PAPR性能和复杂度的降低，而且符合小波包调制系统信息传输的要求。同时图4中的剪枝小波包调制结构可以实现多速率传输的特性。

图9 树8采用不同基函数的PAPR

图10 加性高斯白噪声信道

图11 AWGN信道下的误比特率性能

4 结 论

小波包树剪枝的结点合并越接近于根结点（0，0），对应结点的频率选择越高，其消减PAPR的效果越好；当剪枝树的内点数最小时，取得最优的PAPR性能。不同的基函数在同一剪枝树结构中具有不同的PAPR性能，但在最优剪枝树的基础上取得更好的效果，且db4小波能获得最优的PAPR性能。另外，这种剪枝结构适合于小波包调制系统信息传输的要求，并且实现多速率传输的特性。当然，小波包剪枝结构也带来了多载波特性的损失，以及在其它信道模型下系统的误码性能还有待于进一步研究。

［1］ Gautier M，Lereau C，Arndt M，et al.PAPR analysis in Wavelet Packet Modulation［C］.Malta：International Symposium on Communications Control and Signal Processing，2008：799-803.

［2］ Mohan Baro，Jacek Ilow.PAPR Reduction in Wavelet Packet Modulation Using Tree Pruning［C］.Dunlin：IEEE 65th Vehicular Technology Conference，2007：1 756-1 760.

［3］ Bauml RW，Fischer R，Huber JB.Reducing the peak-to-average power ratio of multi carrier modulation by selected mapping［J］.Electronics Letters，1996，32（22）：2 056-2 057.

［4］ Rostamzadeh M，Vakily V T.PAPR reduction in wavelet packet modulation［C］.Amman：IEEE 5th international Multi-conference on Systems，Signal and Devices，2008：1-6.

［5］ 严蔚敏，吴伟民.数据结构（C语言版）［M］.北京：清华大学出版社，2007：118-155.

［6］ 唐向宏，李齐良.时频分析与小波变换［M］.北京：科学出版社，2008：228-235.

［7］ John G Proakis.数字通信（第四版）［M］.北京：电子工业出版社，2003：169-177.