含三阶色散项的非线性薛定谔方程的微扰对称和近似解*

曹晓亮, 林 机

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

含三阶色散项的非线性薛定谔方程的微扰对称和近似解*

曹晓亮, 林 机

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

利用微扰对称方法和经典李群方法的结合,研究了含三阶群速度色散(GVD)的非线性薛定谔方程，得到了该方程关于高阶微扰的近似解和约化常微分方程.并考虑了不同情况下的有限阶微扰项或无穷阶微扰的相似解和约化常微分方程.

三阶群速度色散；微扰对称方法；经典李群约化；相似解；约化方程

Theapproximatesymmetryperturbationandapproximate

0 引 言

非线性薛定谔方程(NLSE)

是一种应用广泛的非线性方程,出现在量子力学、电磁学、非线性光学、等离子体理论、固体物理及玻色-爱因斯坦凝聚等众多领域.对于NLSE的求解,学者们已经提出了很多方法，如逆散射方法(IST)[1]、Darboux变换[2]、Backlund变换[3]、Hirota方法[4]、Painlevé展开方法[5]等.

在非线性光学中，NLSE是描述光波在弱非线性色散介质中传播的方程，但NLSE是一个理想化的方程，它忽略了高阶的色散效应和自陡、冲击效应及自频移效应等.当我们必须考虑这些效应的时候，方程(1)的可积性就被破坏了.但当外加效应较弱时，微扰的方法可以有效地处理这类问题.目前的微扰方法有：反散射微扰方法[6]、修正微扰守恒律方法[7-10]、直接微扰法[11-12]等.反散射微扰方法比较复杂且不能很好地处理非零边界的问题，同时这些方法不能得到高阶的微扰项.

最近，焦小玉等提出了一种微扰对称方法[13-15]，并对微扰的Boussinesq方程和Kdv-Burgers方程进行了研究.这种方法将微扰和对称相结合，思路简单，操作方便，而且把求解高阶微扰的问题简化为求解相应的约化后的常微分方程的问题.

笔者采用微扰对称方法研究三阶GVD微扰的非线性薛定谔方程(PNLSE)[16]

式(2)中：u是关于x,t的复变函数;参量ε是同三阶GVD相关的小参量.在实际情况下，二阶GVD的影响是主要的，但是当入射是脉宽T0lt;1 ps的超短脉冲时,即使二阶GVD不等于零，也需要考虑三阶GVD的影响.方程(2)是用来描述在考虑三阶GVD的情况下，超短光脉冲在单模光纤中的传播.这个方程不具有Painlevé性质[17].

1 微扰对称

将u按照ε级数展开，即

式(3)中un是关于x,t的函数.将式(3)代入方程(2),令各阶ε的系数等于0，得

…

其中u-1=0.

虽然式(4)为标准的非线性薛定谔方程，它是一个完全可积的方程，有很多的孤子解，但是式(5)是关于u1的变系数的线性偏微分方程，直接求解有较大的困难.若u1不能求解，就难以求得u2,u3,…,un.对称约化方法是研究非线性偏微分方程(可积和不可积)行之有效的方法.因此，笔者利用对称约化方法研究方程(4)～(8)的解析解.为了得到这组方程的解析解，笔者将un写成

式(9)中，pn,qn是关于x,t的实函数.

将方程(9)代入方程(4)～(8),并分离实虚部，得：

(11)

(13)

…

因此，q-1=0,p-1=0.

为了对方程(14)进行对称约化，笔者写出李点对称的向量场

式(15)中:X,T,PN,Qn是x,t,pj,qj(j=0,1,…,n)的函数.根据李点对称的定义,方程组(14)在pn→pn+εσn,qn→qn+εδn(n=0,1,…,∞)的无穷小变换下不变.对称方程为

式(16)中：n=0,1,…,∞;σ-1=0;δ-1=0.

当n取无穷大时，方程组(16)包含无穷多个方程，且方程中X,T,Pn,Qn是无穷多个变量的函数，几乎不能求解.为了简化问题，可以先求解有限个方程的情况.当n=0，1，2时，{X,T,P0,P1,P2,Q0,Q1,Q2}是{x,t,p0,p1,p2,q0,q1,q2}的函数.把式(15)代入方程组(16)中，利用方程组(10)～(12)消去{P0,t,P1,t,P2,t,Q0,t,Q1,t,Q2,t},得到关于{X,T,P0,P1,P2,Q0,Q1,Q2}的待定方程，借助Maple软件,解得

在这里，d1,d2,d3,C0,C1,C2是任意常数.

选择n=0，1，2，3时，{X,T,P0,P1,P2,P3,Q0,Q1,Q2,Q3}是{x,t,p0,p1,p2,p3,q0,q1,q2,q3}的函数，类似于n=01，2时的计算过程，得

这里d1～d3,C0～C3是任意常数.

以上的过程重复几次，即可得到X,T,Pn,Qn的通式

2 经典李群约化

2.1情况1d1≠0

通过求解特征方程

得到方程(4)～(8)的相似解：

把式(21)～式(23)代入方程(4)～(6) 得到约化方程：

由于d1≠0时相似解和约化方程比较复杂，我们未能得到任意阶微扰的约化方程，只能得到有限阶微扰项的相似解和约化方程.

2.2情况2d1=0

通过求解特征方程(20),得到相似解:

(29)

…

笔者把相似解方程(35)代入方程(4)～(8)得到相应各阶的约化方程为：

…

方程(38)是各阶微扰的约化方程的递推关系.通过逐次求解各阶常微分方程，可以得到方程(2)的各阶微扰.

3 结 论

[1]Manakov S V.On the theory of two-dimensional stationary[J].Sov Phys JETP,1974,38:248-253.

[2]Chen H H.General Derivation of Bäcklund Transformations from Inverse Scattering Problems[J].Phys Rev Lett,1974,33(15):925-928.

[3]Wahlquist H D,Estabrook F B.Bäcklund Transformation for Solutions of the Korteweg-de Vries Equation[J].Phys Rev Lett,1973,31(23):1386-1390.

[4]Hirota R.Exact Solution of the Korteweg-de Vries Equation for Multiple Collisions of Solitons[J].Phys Rev Lett,1971,27(18):1192-1194.

[5]Weiss J,Tabor M,Carneval G.The Painlevé property for partial differential equations[J].J Math Phys,1983,24:522-526.

[6]Kaup D J.A Perturbation Expansion for the Zakharov-Shabat Inverse Scattering Transform[J].SIAM (Soc Ind Appl Math) J Appl Math,1976,31(1):121-133.

[7]Kodama Y，Yuji.On integrable systems with higher order corrections[J].Phys Lett A,1985,107(6):245-249.

[8]Kodama Y,Yuji.Normal forms for weakly dispersive wave equations[J].Phys Lett A,1985,112(5):193-196.

[9]Kodama Y,Yuji.Nearly integrable systems[J].Physica D,1985,16(1):14-26.

[10]Kodama Y,Yuji.On solitary-wave interaction[J].Phys Lett A,1987,123(6):276-282.

[11]Lou Senyue.A Direct Perturbation Method:Nonlinear Schrödinger Equation with Loss[J].Chin Phys Lett,1999,16(9):659-661.

[12]Cheng Xueping,Lin Ji,Ye Lijun.Asymptotical solutions of coupled nonlinear Schrödinger equations with perturbations[J].Chin Phys,2007,16(9):2503-2509.

[13]Jiao Xiaoyu,Yao Ruoxiao,Lou Senyue.Approximate similarity reduction for singularly perturbed Boussinesq equation via symmetry perturbation and direct method[J].J Math Phys,2008,49(9):093505.

[14]Jiao Xiaoyu,Yao Ruoxia,Zhang Shunli,et al.Approximate symmetry reductions to the Kdv-Burgers equation[J/OL].[2008-01-06].http://arxiv.org/abs/0801.0856.

[15]Jia Man,Wang Jianyong,Lou Senyue.Approximate Symmetry Reduction to the Perturbed One-Dimensional Nonlinear Schrödinger Equation[J].Chin Phys Lett,2009,26(2):020201.

[16]Agramal G P.Nonlinear Fiber Optics amp; Application of Nonlinear Fiber Optics[M]. 贾东方，余震虹，谈斌，等,译.北京:电子工业出版社, 2002:32.

[17]Mihalache D,Truta N,Crasovan L C.Painlevé analysis and bright solitary waves of the higher-order nonlinear Schrödinger equation containing third-order dispersion and self-steepening term[J].Phys Rev E,1997,56(1):1064-1070.

(责任编辑 杜利民)

solutionsofthenonlinearSchrödingerequationswiththetermofthirdordergroupvelocitydispersion

CAO Xiaoliang, LIN Ji

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The approximate symmetry perturbation method combining with classical Lie group method was applied to study nonlinear Schrödinger equation with third order group velocity dispersion (GVD). Similarity solutions and reduction ordinary differential equation were obtained for the corresponding high order modifications. Similarity solutions and reduction equations corresponding finite and infinite order modifications were als considered under different conditions.

the third order group velocity dispersion; approximate symmetry perturbation; classical Lie group method; similarity solution; reduction equation

1001-5051(2010)01-0056-07

2009-10-28

国家自然科学基金资助项目(10875106)

曹晓亮(1984-)，男，浙江湖州人，硕士研究生.研究方向：非线性物理.

O41

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