关于三能级系统微扰矩阵元对能量修正的影响

秦志杰，李德民

(郑州大学 物理工程学院，河南 郑州 450001)

微扰论是量子力学一种重要的近似方法[1，2]。采用微扰论求解时，要求体系哈密顿可以分为两部分，一部分是未微扰部分，另一部分是微扰部分，并且还要求未微扰部分可严格求解，微扰部分相对于可严格求解部分很小才行。微扰法从未受微扰体系的解出发，通过求解引入微扰后体系的能级和状态的变化，算出对能级和波函数的各阶修正。

在教学过程中，我们发现学生对于微扰计算方法的解题过程很熟悉，但对于计算出的结果和微扰的直接联系却不太清楚。比如，给出微扰，学生能计算出各阶修正，但是对下述问题并不太清楚。即，微扰矩阵元的位置和大小对能量的各阶修正的具体联系是什么？能否仅通过观察微扰矩阵的形式，就看出对各能级的各阶能量修正是否存在？以及相应修正是提升还是降低了原有能级的能量？对这些问题的回答，一方面可以加深对微扰论的理解；另一方面，也能对微扰矩阵元的影响有更深的认识。实际上，很多可用微扰论处理的问题，不经计算即可对结果做出判断。

为了解决上述问题，我们将通过对具体系统的计算和分析，来寻找微扰矩阵元和微扰论方法计算结果之间存在的联系。接下来，通过对存在微扰的三能级系统的研究，来寻找微扰矩阵元和对各能级的不同阶修正之间可能存在的联系。

1 含微扰的三能级系统的描述

我们首先考虑一个存在微扰的三能级系统，体系总的哈密顿可写为：

(1)

(2)

(3)

(4)

2 微扰论对能级的修正

2.1 微扰矩阵对能级的一阶修正

(5)

因此，对E1能级的一阶修正为：

(6)

对E2能级的一阶修正为：

(7)

对E3能级的一阶修正为：

(8)

上述结果显示，只有微扰矩阵的对角元，才会对相应的能级产生一阶修正；而微扰的非对角元不会对能级产生一阶修正。我们这里讨论的是不含微扰时，体系由对角化矩阵描述的系统。对于零阶矩阵非对角化的情况，要首先把非微扰部分化为对角形式后，才能按上述结果进行讨论。

2.2 微扰矩阵对能级的二阶修正

(9)

从上述结论可知，对于有限个能级组成的系统，就微扰矩阵的非对角元对于能量最低的能级Emin的修正而言，由于其余所有能级均大于这个能量，所以上述修正始终小于或等于零，即，对最低能级的二阶修正不会大于零。换句话说，微扰矩阵的非对角元的二阶修正，只会拉低能级Emin。同理，对于能量最高的能级Emax的修正，由于其余所有能级均小于这个能量，所以上述修正始终大于或等于零，即，对微扰矩阵的任意非对角元，它对最高能级的二阶修正不会小于零。换句话说，微扰的二阶修正，只可能提升最高的能级Emax。

利用上述公式，对能量为E1的能级的二阶修正为：

(10)

(11)

上述二阶修正项均大于等于零，这一点与前面的分析一致。即，由于E1为能量最高的能级，有前面结论可知，所有二阶修正均为正。

同理，对能量为E2的能级的二阶修正为：

=-|ε4|2+|ε5|2

(12)

对能量为E3的能级的二阶修正为：

(13)

上式关于能量的二阶修正均小于等于零，这一点与前面的结论一致。即，由于E3为能量最低的能级，由前面结论可知，所有二阶修正均为负。

此外，考虑到用微扰论进行实际计算时，往往只需要计算出微扰所产生的低阶修正，因此我们仅研究到二阶近似，不再考虑更高阶的能量修正。

3 结论

利用上述结论，对于存在微扰的体系，我们可以很快判断出，微扰矩阵会对哪些能级带来什么样的修正。并在计算前，可以判断出修正的作用效果，从而减少计算量。同时，这些结论还可为通过微扰的引入来控制体系能谱提供一定的帮助，从而更好的把握如何通过微扰项来控制能级的位置，提高对量子体系的调控能力。