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两个面积最小问题的推广

2010-11-22陈建华

大学数学 2010年1期
关键词:切点中点切线

陈建华

(福建农林大学计算机与信息学院,福建福州 350002)

两个面积最小问题的推广

陈建华

(福建农林大学计算机与信息学院,福建福州 350002)

把两个有关平面图形的面积最小问题进行推广,得到较一般的情形,所求的点都是区间的中点.

曲线;面积;最小

1 第一个问题及其推广

有这样的一个面积最小问题[1],它是1987年全国考研数四的试题:

求曲线y=x2在[0,1]内的一个点t,使此曲线与直线y=t2以及直线x=0,x=1所围成的图形面积最小.

若曲线y=x2不变,把区间[0,1]推广到[a,b](0≤a<b),同样可求出相应的点t=,它刚好也是区间[a,b]的中点.

那么,能否再把曲线作进一步的推广?

问题1 要求连续曲线y=f(x)在[a,b]内的一个点t,使此曲线与直线y=f(t)以及直线x=a,x=b所围成的图形面积最小.什么条件下,该问题相应的点t一定是区间[a,b]的中点?

定理1 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且恒有f′(x)>0(或f′(x)<0),则问题1对应的点t为[a,b]的中点.

证只证f′(x)>0的情形(f′(x)<0的情形同理).因为f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f′(x)>0,所以f(x)在[a,b]上单调增加,于是,所言的面积

定理1表明,某区间上严格递增或递减的曲线,该面积最小问题对应的点一定是区间的中点.

对曲线y=ex和区间[1,3],则问题对应的点为t=2;

2 第二个问题及其推广

下面的一个面积最小问题[1],它是1992年全国考研数二的试题:

能否再把曲线作进一步的推广呢?

问题2 要求连续曲线y=f(x)在[a,b]内的一个点t,使此曲线与曲线在点(t,f(t))的切线以及直线x=a,x=b所围成的图形面积最小.什么条件下,问题2对应的点t一定是区间[a,b]的中点?

定理2 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且恒有f″(x)<0(或f″(x)>0),则问题2对应的点t为[a,b]的中点.

证只证f″(x)<0的情形(f″(x)>0的情形同理).因为f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f″(x)<0,所以f(x)在[a,b]上为凸的,曲线y=f(x)位于切线y=f′(t)x+f(t)-tf′(t)的下方,于是所言的面积为

定理和推论表明,某区间上严格凹或凸的曲线,该面积最小问题对应的切点横坐标一定是区间的中点,切线函数是中点处的一阶泰勒多项式.

对曲线y=ln x和区间[1,3],则问题对应的点为t=2,切点为(2,ln 2),切线为y=x-1+ln 2;

对曲线y=sin x和区间[0,π],则问题对应的点为t=,切点为切线为y=1.

[1] 张友贵,杜祖缔,施光燕.掌握高等数学(理工,经济类)[M].大连:大连理工大学出版社,2004:273-304.

O172.2

C

1672-1454(2010)增刊1-0073-02

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