从高等数学教学谈学生创新能力的培养

方晓峰， 李应岐， 曾 静

（第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室，西安 710025）

从高等数学教学谈学生创新能力的培养

方晓峰， 李应岐， 曾 静

（第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室，西安 710025）

为了得到最佳的教学效果，在教学过程中培养学生创造性的教学活动成为课堂教学的重要组成部分.本文分析了高等数学教学在培养学生创新思维方面存在的问题及原因，并以研究性教学为例，分析了在教学过程中如何实现对学生创新能力的培养.最后提出学生创新思维能力培养在教学实施中的几点思考.

创新思维；研究性教学

现代数学在当今社会的各个领域都发挥了至关重要的作用，而目前大学数学教学却呈现低效和难教的状况，国家新近提出“实践科学发展观，建设创新型国家”的战略构想，反映了知识经济时代对人才的数学素养提出了更高的要求.探讨大学数学教学对学生创新思维的培养成为当下高等数学素质教育研究的重要课题.所谓创新思维是指在新异的问题情境中，在一定目标指引下，调动一切已知信息、独特、新颖且有价值地解决问题中表现出来的智力品质.在教学过程中关注创新思维的培养能保证学生顺利解决他们当前乃至今后可能遇到的各种对他们来说是全新的问题，并能深刻地高质量地捕获和掌握新知识，将知识广泛迁移到他们所面临的问题情境中，使学习和创新活动得以顺利完成.

1 高等数学教学在学生创新培养中存在的问题

在现实教学中，忽视对学生创新精神和实践能力的培养是我国教育存在的一个突出问题.现行的院校教育无论在教育观念上、教学目标上，还是教育教学的内容、方法组织形式上都显得相当滞后.高等数学教学中普遍存在着思想上忽略学生主体地位，目标和评价上单一，把教学过程单纯看成是数学知识的单向传递，教学方式机械单调，教学内容强调知识记忆等现象.这些现象实际上否定了学生是一个能够主动探索的活生生的主题，忽视了学生的个性差异和创造潜力，束缚和泯灭了学生的思想火花.在这种模式下学生自发能动性受到阻碍，学生不得不使自己去适应、顺从、难堪地服从教师的要求.在这种教育方式下是很难培养出具有自发、独创灵感的创造性学生的.

虽然今天我们正在抛弃这类阻碍学生积极性的教育和课堂实践，但阻碍高等教育中不利于学生创新思维的培养还存在着更多得因素，具体表现在：

1.现行教材某些内容的叙述、结构的编排、课后习题的配备等都显得比较滞后，缺乏新意，客观上不利唤起学生的创新意识.

2.绝大多数教师对培养学生的创新能力虽持认同态度，但由于受传统教育思想的影响，教师自身缺乏创新意识，教学中仍自觉不自觉地“以教材为中心”，在对教材的把握上缺乏创新精神.教学中对怎样培养学生的创新能力不知如何下手，教学中常常因循守旧，在一定程度上扼杀了学生思维创新的萌芽.

3.现行教育管理体制和教育教学质量的评价制度尚存在许多不合理的因素.面对这些机制，教师缺乏冲破束缚的勇气、魄力和应有的条件，因而从客观上也造成了抑制教师培养学生创新能力的严重后果.

4.受社会上各种因素的影响，学生往往只看重考试的分数，过分追求标准答案，不敢标新立异，缺乏创新意识和创新激情；注重竞争而缺乏合作、导致思维狭隘；加之一部分学生的学习习惯和学习态度欠佳，他们的学习大多还是接受式，学生对教师的依赖性极强，缺乏主动性和积极性.

面对这些情况，结合高等数学课堂教学实际，笔者就数学教学中创新教育实施从教学模式上，结合自己的教学进行了一定的探讨，旨在通过这些教学理念和教学方法的研究为高等数学课堂教学中能营造创新思维情境，拓展学生思维空间，训练学生创新思维方法，培养学生创新思维能力，以及练习测试中对创新教育的渗透起到一定的促进作用.

2 基于高等数学课堂研究式教学培养学生创新思维教学模式

教学模式是在一定教学思想指导下所建立起来的完成所提出教学任务的比较稳固的教学程序以及实施方法的策略体系.它是人们在长期教学实践中不断总结、改良教学而逐步形成的.它源于教学实践，又反过来指导教学实践，是影响教学的重要因素.要培养学生的创新思维，就应当有与之相适应的，能促进学生创新思维培养的教学模式.

长久以来，在教育学、心理学的研究中，人们提出很多针对克服“以教师为中心的注入式、以教材为中心的结构式和以课堂为中心的封闭式教学”的研究，进行了不少的试验和改革，其中在世界影响最大的是美国教育心理学家布鲁纳，他极力倡导知识发现过程.他指出：“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，明确地说，包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式”［1］这就是说，学生在学习中并不一定真正发现人类未知的东西，主要是模仿发现者的思维路线-即发现路线，是一种“发现式”的学习.这种方法要求学生不只是记住书本上的现成结论，而是要通过自己的研究思考，知道结论是怎样来的，知道每个概念、范畴、规律、原理是什么、为什么，怎么样.这个过程体现了学生学习的自主性，可以充分发挥学生学习的主观能动性.美国芝加哥大学教授施瓦布以“科学的本质是不断变化”为前提，在“作为探究的科学”和“通过探究教学”两理论基础上，构建了研究性学习理论.研究式教学即是在“研究性学习”理论和“发现学习”理论的基础上发展起来的.

研究式教学，其最根本的特征在于“教”和“学”的全过程都贯穿着研究性.它包括研究式地“教”和研究式地“学”两个方面.所谓研究式地“教”就是要加强课堂讲授的研究性，讲课要有科研含量，对学生提出的问题能进行深入地分析和研究，力求从理论上作出回答.所谓研究式地“学”，就是学生在学习过程中联系思想和工作实际认真读书，边读书、边思考、边研究，从而达到培养创新思维能力的目的.

研究式教学的基本模式如下图1.例如在讲授拉格朗日中值定理时，教师可以按下列的步骤引导学生去研究探索和发现定理的结论和证明.

图1

图2

首先回顾洛尔定理的结论实质，利用动画揭示结论的几何意义，它表明存在开区间a，（b）内的一点ξ1，使得曲线在该点处的切线与连接曲线两端点的弦AB平行.类似地，通过动画图形的变化过程，当曲线两端点的函数值不相等时，上述结论是否存在相应的结论，即：是否在区间内存在一点ξ1，在该点处的切线与区间端点的连线AB平行，演示图形肯定了这一结论（图2）.接下来对这一结论进行论证.

在研究新问题时，我们经常会借助已有知识探索未知知识，引导学生如何利用洛尔定理证明拉格朗日中值定理，关键在于构造一个辅助函数F （x），使它满足洛尔定理的第三个条件：F （a） ＝F （b），这时教师可引导学生从下列角度入手研究：

方法一（几何直观法） 从图3不难发现直线AB与曲线f（x）在端点重合，也就是说由直线方程和曲线方程相减得到的新函数肯定在端点的函数值相等，并且等于零.相减得到的函数自然满足洛尔定理的第三个条件，于是学生很容易得到辅助函数为

方法二（代数法） 引导学生分析，现在我们要证明的结论是：在区间存在一点ξ，使其满足而该等式的右侧是一常数，不妨令其为K，上述结论变为f′（ξ）＝K.如果对方程变形，不难得到f′（ξ）-K＝0.

对照洛尔定理的结论，学生很容易联想到：只要作一函数F （x），使其导数在一点为零，即满足F′（x）＝f′（ξ）-K＝0，这样的函数是很好找的，F （x）＝f（x）-Kx.进而引导学生验证该函数是否满足洛尔定理的条件.

事实上

从而证明了拉格朗日中值定理.在教学过程中，就研究式教学来说，解决问题思路还没有得到真正升华.在此教师需进一步引导和启发学生思考，方法二中隐含了什么样的本质含义.实际上方法二不过是将方法一中用过原点且平行弦AB的直线方程代替弦AB方程得到的，在方法一中，可以利用任意平行于AB的直线方程代替均可得到相应的辅助函数，即辅助函数可以看成是函数f（x）与x的线性组合：F （x）＝f（x）＋λx，这样我们也可以得到其它形式的辅助函数形式：

通过这样的教学不仅加深了学生对拉格朗日中值定理的内容和正面的理解，同时也激发了学生的学习兴趣和创造性.

与此同时，作为研究式教学的本质，教师还应该继续挖掘问题的本源.引导学生对上述辅助函数做法进一步的理解.从上面的探索过程不难发现，在做辅助函数时我们考察的是函数f（x）与x的线性组合.如果教师能进一步引导学生考虑，若线性组合的函数是f（x）和x2，或者是f（x）与g（x），即辅助函数为

这时会分别得到什么结论呢？并指出是这些结论成立的条件：

学生在教师的引导下会展开探索和讨论，并在教师的指导下对结论成立的条件经过研究和补充便能得到下列不同的中值等式：

通过上述具体的教学过程，不难发现，研究式教学模式强调了“以学生为中心”，教师起引导和指导性作用，但这种指导显得格外突出，在整个教学过程中，都以指导活动为主，即使讲授也是指导性的讲授，而不是定论灌输给学生.该模式彻底改变了教师越俎代庖的状况，改变了授予标准答案而无视学生个人体验的状况，从而使学生有更多的参与机会和参与行为，使他们不仅能明确学习的目标，积极的学习态度，能对学习进行自我调控，而且还能自主体验，独立地感知、学习、理解好、提高，完成主体对外在事物和自我的超越，实现创新.

3 高等数学教学培养学生创新思维能力的几点思考

物理学家劳尔说：“重要的不是获得知识，而是发展思维能力.教育无非是一切已学过的东西都忘掉的时候所剩下的东西.”［4］这番话初听起来似乎有点偏激，然而它的精神无疑是正确的，其实，一个人走出校门以后，他在实际工作中所表现出来的才能高低，正是取决于“剩下的东西”.其实上述的“剩下的东西”正是当前我们强调概念学习、问题解决和创造性，为了达到最有效的学习，应当向学生讲的越少越好，而对他们自己去发现引导越多越好.因此被誉为“思维体操”的数学教学，在教学过程中需经过何种形式培养学生的创新思维能力呢？

1.课堂教学中营造培养“创新思维能力”的氛围.

古人云：“亲其师，才能信其道.而信其道，才能好其导乃行其道.”这说明建立平等、和谐的师生关系，老师才能取信于学生，学生才能乐于接受他的教育.从心理学角度看，教师不仅只是传授知识，还应帮助学生学习，培养他们的学习能力.从心理健康角度讲，教师应能把学生从惧怕权威、缺乏自信心以及自卑感等不良心理状态中解救出来；鼓励学生表达自己的思想和观念.这就要求教师努力要建立民主和谐的师生关系.

另外，在课堂教学中，教师要鼓励学生发表与自己不同的见解，要让学生敢于否定“权威”的观点和定论.只有这样才能促使每个学生树立学习信心，营造自由安全的教学环境.课堂教学历来都是教学改革的主战场，当然也是培养学生创新思维能力的主战场，在数学教学中抓住教材的基本数学知识，基本数学方法，基本数学思想的前提下，不拘泥于教材上的例题、题解、顺序等，变“教师是演员，学生是观众”为“学生是演员，教师是导演”；变课堂教学结构“提问-讨论-答辩-评价”为“问题-分析-探索-研究-创新（拓展）-评价”.这样教师在数学教学中才能有意识地营造学生创新思维能力的学习氛围.

2.教学内容中突出对创新素材的挖掘.

高等数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性、丰富的创新思维方法，因此教学中为学生列举丰富多样的素材，对学生创新思维的形成具有深刻的启迪作用，高等数学课程教学中创新素材的挖掘可以从以下几个方面入手：1）对数学知识背景与产生发展过程的再现.2）对具有创新特征的教学内容的组织；在教学内容的选编与组织中，应突出具有研究性的概念、原理与技能的内容；应留给知识发展的空间与学生思考的余地；应包含能唤起学生好奇心，使学生独立思考的教学内容；应包含具有一定综合与实际意义的教学内容.3）对教学内容中创新思维方法的挖掘；高等数学中蕴含了丰富的思维方法，如归纳与演绎，分析与综合等逻辑方法，数学中的形象思维、灵感思维、范思威定式等非逻辑思维，以及数学中特有的悖论、猜想和常用的数学方法，这些方法对学生创新思维的形成具有积极的促进作用.

3.教学过程中体现对创新意识与创新精神的培养.

教师是课堂教学的组织者和实施者，在教学双边活动中，要培养学生的创新精神，教师首先必须有创新的教育观念，才能培养有创新精神的学生.首先，教师要树立培养学生创新精神的意识，自觉的在课堂中改变过去那种以教师为中心的注入式教学，不断尝试以学生为主体的研究式教学方式.其次，教师要注重对学生学习方法的指导，教师在高等数学课堂中要充分调动学生的思维积极性，让学生自己去观察、去发现、去探讨，教师在整个教学环节中只起引导的作用，教给学生行动的方法，培养学生的自学研究、探索兴趣和创新欲望.再次，教师在教学中对学生认识兴趣的激发，把数学内容的特点，根据其特点挖掘激发学生兴趣的源泉，使学生产生好奇心，引起学生的探索欲望，进而提高认识兴趣；突出数学内容中数学美的特征，使学生产生对数学美的追求和受到美的熏陶，激发学生的学习兴趣.最后，课堂教学中要做好创新思维情境的创设，拓宽课堂教学中思维空间，创造良好的思维情境是培养学生创造思维的必要条件，它需要教师深入挖掘教学内容的思想性，设计启发学生创造性的问题，有了课堂的启发和引导，还需拓宽学生的思维空间，留给学生思考余地也是课堂教学中实施创新教育的另一方面.只有留给学生有展示自己时间和空间，整个教学就会变单向式教学过程为交互式教学过程，使学生对知识的掌握有点到线成网状分布，扩大知识面和思维空间.

4.教学考核中渗透创新教育思想.

在教学测试中渗透创新教育思想是创新人才培养的重要组成部分，现有的教学测试和联系主要以训练和考核基本知识掌握与运算推理为主，缺乏对知识应用能力，尤其是创新能力的训练和测试.考试成绩决定一切在传统应试教育中根深蒂固，不利于创新人才的培养，这就要求在练习与测试的选题原则与方式上，变重知识轻能力的训练为考核转化为知识与能力相结合，变重理论轻应用的训练与考核转化为理论与实际相结合，变以闭卷为主的测试方式转化为闭卷与开卷，报告与小论文相结合.为此，在教学过程中可将专题为单元的训练与考核方式相结合.在练习中布置设计一些具有一定深度和创造性的练习，如对某一专项思维能力培养的强化练习，对某一实际问题的数学建模与上机实验，对某一专题的思考与研究报告等来培养学生创新精神与创新思维能力.在测试中控制知识和能力比例，加强分析解决实际问题的能力，使练习与创新教育相结合.

总之，数学教学中创新教育的实施是一项综合的系统工程，培养学生创新思维能力是当今教育界中的一个崭新的课题，要真正做到更新观念、转变思想、建构科学的符合学生认识规律的教学氛围来实现培养学生的创新思维能力的方法，还需教育工作者不断地探索、实践和研究来促进以创新教育为核心的素质教育的实施和创新人才培养工作的开展.

［1］ 布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍译.北京：文化教育出版社，1982：65-75.

［2］ 吕宗明.数学教学中渗透创新思维能力的途径［J］.四川教育学院学报2005，21（增刊）：86-87.

［3］ 魏淑慧.研究式教学与学生创新思维能力的培养［J］.山东师范大学学报2008，53（5）：68-72.

［4］ 杨仲明.创造心理学入门［M］.武汉：湖北人民出版社.1988：180-225.

O13；G420

C

1672-1454（2010）增刊1-0057-05