矩阵可对角化的几个判定方法

贾正华

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

矩阵可对角化的几个判定方法

贾正华

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

在本文中将给出矩阵对角化的几个判定方法。

矩阵可对角化特征根；特征向量最小多项式

矩阵可对角化即矩阵与对角矩阵相似是矩阵论中一个重要的概念是简化矩阵运算和运用的一个重要理论。几年来，本人给本科生上考研高等代数辅导中发现对角化的问题一直困扰着大部分人，为此我将这个问题归纳如下。以飨读者。

命题：A为复数域上一个n阶方阵，则下列条件等价。

（1）A 可对角化，即存在可逆 n 阶复方阵 P 使得 P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）.

（2）A有n个线性无关的特征向量。

（3）Cn可分解成A的所有的特征子空间的直和。

（4）A的初等因子都是一次的。

（5）A的最小多项式无重根。

（6）对 A 的每一个特征根均有秩（λE-A）=秩（λE-A）2.

（7）对A的任一特征根 均有秩（λE-A）=n-k，其中k为λ的重数。

下面来证明命题的正确性。

1.（1）⇔（2）见[1]

2.为证（1）⇔（3）

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社（第三版），2003.

[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社（第四版），1997.

[3]张远达.线性代数原理[M].上海：上海教育出版社，1979.

[4]贾正华.伴随矩阵的一些性质[J].巢湖学院学报，2003，（3）.

[5]贾正华.广义逆矩阵及性质[J].巢湖学院学报，2005，（3）.

[6]钱吉林，刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.

SOME METHODS ON CHANGING A MATRIX INTO DIAGONAL MATRIX

JIA Zheng-hua
（Department of Mathematics，Chaohu Collge， Chaohu Anhui 238000）

In this paper we will give some methods on changing a matrix into diagonal matrix.

changing matrix into diagonal matrix； characteristic root； characteristic vector； minimum polynomial

O151.21

A

1672－2868（2010）06－0006－05

2010－09－05

贾正华（1963－），男，含山县人。巢湖学院数学系副教授。研究方向：矩阵论。

责任编辑：陈 侃