影子价格在企业经营管理中的应用

李宝凤，阙艳华

（1.唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2.石家庄市第119中学，河北 石家庄 050802）

影子价格最初是由前苏联经济学家康特罗维奇于20世纪30年代末在用线性规划方法解决如何把工厂的现有生产资源结合起来以使产出达到最大化时提出的概念，后经美国经济学家 T·库普曼斯参考西方文献正式定名为“影子价格”，在我国1987年后才逐渐发展起来的。

随着我国市场化程度的加深和对外开放力度的加大，如何有效地利用企业内部各种资源从而取得最好的经济效益，就成为当前企业面临的一项严峻挑战。从微观来看，企业应用影子价格理论是有利于经营管理，提高企业经济效益的；从宏观来看，就整个国民经济的发展，应用影子价格理论也是必要的。根据资源的短缺和闲置程度，以及物资供应中的供需平衡与不平衡状态，利用影子价格对现行价格进行调整和修正，使现有资源得到充分利用，提高社会总体的经济效益。

1 影子价格理论

设线性规划的原问题是

其对偶问题是

对问题(1)引进松弛变量 xn+i(i = 1,2,… ,m)，化成标准形：

其中

对于线性规划(1*)的最优基B，满足B-1b ≥0，C - C B-1A≤ 0。所对应的单纯形表可表示成：

B问题(1*)的最优解 XB=B-1b， XN= 0， max S = CBB-1b 。

在线性规划问题(2)中，对偶变量 yi( i =1,2,… ,m)的经济意义可描述为第i种资源的影子价格，即称yi*为关于bi的影子价格。

2 实例分析

某加工企业，面临一个最优生产计划方案如何制定的问题。该企业今年计划生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都需要经过铸造、机加工和装配三个车间，为了保证质量，三种产品均在本厂加工。试确定企业为获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少套。在这过程中需耗用的有限资源原材料生铁100吨，其余数据如表1、2所示。

表1 三种产品的单位消耗

表2 三种产品费用比较

设该企业计划生产甲、乙、丙三种新产品的数量分别为x1、x2、x3万套，根据表2求得生产产品甲、乙、丙的单位利润分别为

甲：23–8–6–5=4

乙：18–6–4–6=2

丙：16–7–3–3=3

建立如下数学模型：

目标函数： max S=4x1+2x2+3x3

约束条件：

对原问题引进松弛变量x4、x5、x6、x7，利用单纯形法求该模型的最优解，列最终单纯性表3。

表3 最终单纯形表

由此得出模型的最优解：x1=52，x2=24，x3=0。并得到该企业可获得的最大利润为：

这说明了该企业的最佳投产方案是：生产甲产品52套，生产乙产品24套，产品丙不投产，这样就可使该企业获得最大利润为256万元。

由单纯形表3，同时又得到了另一个信息，即该模型的对偶问题的最优解，也就是各种资源的影子价格：其中原材料生铁的影子价格为y1=0.4万元，铸造工时的影子价格为y2=0万元，机加工工时的影子价格为y3=1.2万元，装配工时的影子价格为y4=0万元。

现在该企业中的原材料生铁和机加工工时的影子价格均为正数，铸造工时和装配工时的影子价格为0，这就说明原材料生铁和机加工工时为短缺资源，没有剩余，而铸造工时和装配工时有剩余，这样根据影子价格就能得到：

（1）铸造工时和装配工时为过剩资源，因此再增加这两种资源中的任何一种也不会提高企业总的经济效益，反而由于增加铸造工时或装配工时需要支付相应的购买设备的费用或雇用劳力支付工资，会使产品的成本提高，企业总的利润下降，因此企业决策者可考虑裁员或安排剩余劳动力到其他岗位，并把多余的设备转让出去，使过剩资源得到合理利用，从而为企业降低成本。

（2）原材料生铁的影子价格是 0.4万元，这个信息告诉我们，在原材料生铁有100吨的基础上，如果再增加一吨的生铁，就可使企业的总利润增加0.4万元，这样企业就可以得到的纯利润为0.4万元减去每吨生铁的价格。

（3）机加工工时的影子价格为 1.2万元，它在四种资源中影子价格最大，这就说明机加工工时最紧缺，应首先考虑增加机加工工时，那么在原有设备提供 180工时的基础上，再增加一工时，就可使企业的总收益增加1.2万元。这时企业可得的纯利润为1.2万元减去机加工一工时的费用。

通过影子价格，知道了增加原材料生铁或机加工工时都可以提高企业的经济效益，但是这种增加并不是没有限制的增加，只是在某一范围内增加来提高企业的效益。那么究竟再购进多少吨生铁或增加多少机加工工时才是即合理又能提高企业效益的？

设在原有的基础上增加原材料生铁Δb1(≥0）吨，增加机加工工时Δb3(≥0）时数，在它们各自影子价格不变的基础上，根据灵敏度分析理论求Δb1和Δb3。

由上面求得的单纯形表3知最优基

则依据资源变化灵敏度分析有：

根据上面的计算我们知道，如果条件允许，可再购进原材料生铁 Δb1吨，同时增加机加工工时 (60 - 2 Δb1)小时，企业总利润增加0.4Δb1+1.2 (60 - 2 Δb1)万元。纯利润即为0.4Δb1+1.2 (60 - 2 Δb1)万元减去购买原材料生铁和增加机加工工时所购进设备的费用。

3 结论

利用资源的影子价格以及资源变化的灵敏度分析，可为企业决策者提供增加哪一种资源相比之下对增加企业的经济效益最有利的理论依据，且系统决策者可用本方法对系统内各部门的资源利用情况进行评价，对现有资源配置进行调整，直至达到最优。这样，既可使有限的人、财、物资源从效益低的部门流向效益高的部门，从而提高企业整体的经济效益，又可促使部门自身提高劳动生产率、降低资源消耗、使自己的现有资源得到充分利用，从而产生最大的经济效益。