幂线性空间的商空间

孙延彬, 梁聪刚

(平顶山学院新校区团委,河南平顶山 467000)

幂线性空间的商空间

孙延彬, 梁聪刚

(平顶山学院新校区团委,河南平顶山 467000)

讨论类比商群、商空间的概念,提出了幂线性空间的商空间的概念.首先,给出幂线性空间和幂子空间的定义,并在此基础上构造了幂线性空间上一个等价关系,对幂线性空间进行分类,从而构造出幂线性空间的商空间.最后研究了商空间上基、维数及同态的性质.

幂线性空间; 幂线性空间的子空间; 商集; 商空间; 基; 维数; 同构

近年来,随着序结构、拓扑结构的提升得到广泛的应用,代数结构的提升也引起了越来越多人的关注. 1985年,李洪兴教授首次提出幂群[1]的概念,随后有关群的代数结构的提升问题的研究异常活跃.1988年,李洪兴教授又提出了HX环[2,3]的概念,开始了环代数结构的提升问题的研究,自此人们在这方面也得到一系列具有深刻意义的结果.幂线性空间[4]是方刚提出来的,这是线性空间提升的问题.类比线性空间研究幂线性空间的主要性质将是非常有意义的.

本文主要类比商群、商空间的概念,得到幂线性空间的商空间的概念.首先,文章引入了幂线性空间的定义,讨论了幂线性空间的非空子集,对于幂线性空间上所定义的运算也作成线性空间所具备的条件,从而引入幂线性空间的子空间的概念.由于希望通过幂线性空间的子空间对整个幂线性空间进行分类,于是构造幂线性空间上的一个等价关系,这个等价关系即决定了幂线性空间的一个分类.接下来,把幂线性空间上所有的等价类的全体构成的集合定义为商集,再定义其上的运算,希望商集中的元素对于其运算也作成线性空间,若作成线性空间,我们把这个线性空间叫做幂线性空间的商空间.最后,文章讨论了商空间上的基、维数和同态的性质.

1 幂线性空间与幂线性空间的子空间

定义1.1[4]设 P＊(V)是 P°(V)的非空子集,如果 P＊(V)关于运算(1.1)与(1.1)作成线性空间,则称P＊(V)为V上的幂线性空间,简称幂空间.其零元记为Q,P＊(V)中的元素A的负元记为-A.

例1 设V是数域F上的n维线性空间,则 P＊(V)={{a}|a∈V}是V上的幂线性空间,并称为平凡幂线性空间或本原幂线性空间,其中幂零元素为:{0},{a}的负元为{-a}.

定义1.2[5]数域 F上的幂线性空间P＊(V)的一个非空子集合W＊,称为 P＊(V)上的一个幂线性子空间(或简称幂子空间),如果W＊对于 P＊(V)上的两种运算也构成数域 F上的线性空间.

非空子集W＊要满足的条件为:

①如果W＊中包含A,那么W＊就一定包含数域 F中的数λ与A的数乘λA;

②如果W＊中包含A与B,那么W＊就同时包含A与B的和A+B;

③Q在W＊中;

④W＊中包含A,那么-A也在W＊中;

其实条件 ③④已包含在 ①②之中,因为:∀A∈W＊,当λ=0时,λA={0a|a∈A}=Q;当λ=-1时, λA={-a|a∈A}=-A.

定理1.1 如果幂线性空间P＊(V)的非空子集W＊,对于 P＊(V)的两种运算是封闭的,即满足①②,那么W＊就是一个幂子空间.

2 幂线性空间的商空间

设 P＊(V)是数域 F上的幂线性空间,W＊是 P＊(V)的一个幂子空间,利用W＊,我们规定 P＊(V)的幂向量间的关系～

定理2.1[6,9]～是 P＊(V)的一个等价关系.

证明:反身性:∀A∈P＊(V),有A-A∈W＊,所以A～A.

对称性:∀A,B∈P＊(V),若A～B,则A-B∈W＊,于是-(A-B)∈W＊,即B-A∈W＊,所以B～A.

传递性:∀A,B,C∈P＊(V),若A～B且B～C,则A-B∈W＊,B-C∈W＊,于是A-C=(AB)+(B-C)∈W＊,所以A～C.

因此～是一个等价关系.

(证毕)

因此P＊(V)中每一个幂向量A必然属于某一个等价类,而不同的等价类彼此不相交.于是幂线性空间可分为一些彼此不相交的等价类,这些等价类我们称之为幂子空间的陪集,由于幂线性空间中的幂向量关于加法满足交换律,故不必区分左右陪集.

定义2.1[7]数域 F上幂线性空间P＊(V)的所有等价类的全体组成的集合记为称为 P＊(V)的商集.下面考虑商集中定义两个运算,

定理2.2[7]数域 F上幂线性空间P＊(V)的商集 P＊(V)/W＊对于如上定义的加法和数量乘法构成 F上的一个线性空间,称为 P＊(V)的商空间.

故 P＊(V)/W＊为数域 F上的一个线性空间,所以 P＊(V)/W＊为幂线性空间 P＊(V)的商空间. (证毕)

3 幂线性空间的商空间的基与维数

定义3.1[8]设数域 F上P＊(V)为线性空间V上的一个幂线性空间,且A,A1,A2,…,As∈P＊(V),若存在 k1,k2,…,ks∈F,使得 k1A1+k2A2+…+ksAs=A,则称A可由幂向量组A1,A2,…,As幂线性表示.

定义3.2[8]设数域 F上P＊(V)为线性空间V的一个幂线性空间,且A1,A2,…,As∈P＊(V),若存在不全为零的数 k1,k2,…,ks∈F,使得 k1A1+k2A2+…+ksAs=Q,则称幂向量组A1,A2,…,As是幂线性相关的,否则称为幂线性无关.

定义3.3 如果幂线性空间 P＊(V)中有s个幂线性无关的幂向量,但没有更多的幂线性无关的幂向量,那么P＊(V)就称为s维的;如果在P＊(V)中可以找到任意多个幂线性无关的幂向量,那么P＊(V)就是无限维的.

定义3.4 设数域 F上P＊(V)为线性空间V的一个幂线性空间,且A1,A2,…,As∈P＊(V)满足:

①A1,A2,…,As幂线性无关;

②∀A∈P＊(V),都可由幂向量组A1,A2,…,As幂线性表出;

则称幂向量组A1,A2,…,As是幂线性空间P＊(V)的一组幂基,简称为基.并称幂线性空间 P＊(V)为s维的,记为dim(P＊(V))=s.

例2 本原幂线性空间 P＊(V)的维数等于线性空间V的维数.

证明:设 a1,a2,…,an为线性空间V的一组基,令 k1{a1}+k2{a2}+…+kn{an}={0},则{k1a1+k2a2+…+knan}={0},于是k1a1+k2a2+…+knan=0,又a1,a2,…,an线性无关,所以k1=k2= …=kn= 0,即:{a1},{a2},…,{an}线性无关.

又对于 ∀b∈V,∃k1,k2,…,kn∈F,使得 b=k1a1+k2a2+…+knan,

于是

所以,{a1},{a2},…,{an}为 P＊(V)的一组基,即:

设A1,A2,…,As是幂线性空间的一组幂向量,则这组幂向量的所有可能的线性组合为k1A1+k2A2+…+ ksAs,因所成集合非空,而且对于幂线性空间上的两种运算是封闭的,因而是 P＊(V)的一个幂子空间,这个幂子空间叫做由A1,A2,…,As生成的幂子空间,记为L(A1,A2,…,As).

由幂子空间的定义可知,如果 P＊(V)的一个幂子空间包含幂向量A1,A2,…,As,那么就一定包含它们所有的线性组合.事实上,W＊是 P＊(V)的一个幂子空间,A1,A2,…,As是W＊的一组基,就有W=L(A1,A2,…,As).

定理3.1 设W＊是数域 F上幂线性空间P＊(V)的 m维子空间,A1,A2,…,Am是W＊的一组基,那么这组基必可扩充为整个幂线性空间的基,也就是说,在 P＊(V)中必可以找到 n-m个幂向量Am+1,Am+2,…, An,使得A1,A2,…,An是P＊(V)的一组基.

证明:对维数差 n-m作归纳法.

当 n-m=0时,定理显然成立,因为A1,A2,…,Am已是P＊(V)的基.

现假设 n-m=k时定理成立,我们考虑 n-m=k+1的情形.既然A1,A2,…,Am还不是P＊(V)的基,它又是幂线性无关的,那么在 P＊(V)中必定有一幂向量Am+1不能被A1,A2,…,Am幂线性表出,把Am+1添加进去,则A1,A2,…,Am,Am+1必是线性无关的,因此幂子空间W=L(A1,A2,…,Am+1)的维数为 m+1,因为n-(m+1)=(n-m)-1=k+1-1=k,由归纳假设,L(A1,A2,…,Am+1)的基A1,A2,…,Am,Am+1可以扩充为整个空间的基.

由归纳法可知定理得证.

(证毕)

定理3.2[9]设W＊是幂线性空间 P＊(V)的一个s维子空间,dim(P＊(V))=n,则dim(P＊(V)/W＊) = n-s.

证明:设A1,A2,…,As是W＊的基,将它扩充为 P＊(V)的一组基A1,A2,…,As,As+1,…,An.

则

于是

这样可设

即

由于A1,A2,…,An是幂线性无关的,可得即幂线性无关.

则

于是

(证毕)

所以dim(P＊(V)/W＊)=n-s.

4 幂线性空间的同态

定义4.1[5]数域 F上两个幂线性空间P1(V),P2(V)称为同态的,如果有 P1(V)到 P2(V)的一个满射f,具有如下性质:

其中A,B是P1(V)为中任意数,k为F中任意数,这样的映射称为同态映射.

由定义可以看出,同态映射具有如下性质:

①f(Q)=Q′;(Q为P1(V)上的零向量,Q′为P2(V)上的零向量)

②f(-A)=-A;

③f(k1A1+k2A2+ …+knAn)= k1f(A1)+k2f(A2)+ …+knf(An).

定理4.1[6]数域 F上的幂线性空间P＊(V)同它的每一个商空间 P＊(V)/W＊同态.

证明:我们定义从 P＊(V)到 P＊(V)/W＊的一个映射,f:A→¯A,显然f为P＊(V)到 P＊(V)/W＊的满射.又对于 ∀A,B∈P＊(V),k∈F有

即证.

(证毕)

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[2]Li Hongxing.HX Ring[J].BUSEFAL,1988,34:3-8.

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[9]刘用麟.商空间的同构定理及其应用 [J].南平师专学报,2006,25(4):1-2.

Abstract:In this paper,according to the concept of the quotient group and the quotient space,we introduce the concept of the quotient space of the power li-near space.Firstly,the concept of power linear space and power linear subspace are put forward,and then the quotient space of the power linear space is constr-ucted.Finally,we discuss some basic results of the quotient space.

Key words:power linear space; power linear subspace; quotient set; quotient space; base; diemension; isomorphism

The Quotient Space of the Power Linear Space

SUN Yan-bin, LIANG Cong-gang

(League Committee,Pingdingshan University,Pingdingshan,Henan 467000)

O177.3

A

1671-9743(2010)05-0026-05

2010-05-05

孙延彬 (1982-),男,河南平顶山人,平顶山学院硕士生,主要研究高等数学;

梁聪刚 (1981-),男,河南平顶山人,平顶山学院讲师,硕士生.