三维直流电场标量拟解析近似法数值模拟精度分析与评价

2010-10-17张金会孙建国

物探化探计算技术 2010年6期

关键词：标量球体电导率

张金会,孙建国

(1.吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春 130026;

2.国土资源部应用地球物理综合解释理论开放实验室,吉林长春 130026;3.安徽省勘查技术院综合物探分院,蚌埠 233005)

三维直流电场标量拟解析近似法数值模拟精度分析与评价

张金会1、2、3,孙建国1、2

(1.吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春 130026;

2.国土资源部应用地球物理综合解释理论开放实验室,吉林长春 130026;3.安徽省勘查技术院综合物探分院,蚌埠 233005)

拟解析近似方法是一种可以处理强散射或大扰动问题的求解积分方程的近似方法,该方法可以避免用传统数值方法解决问题时,所遇到的大型矩阵或大型代数方程组问题。根据孙建国在文章[14]中的求解异常电场积分方程的标量拟解析近似理论公式,对标量拟解析近似进行研究。对均匀场中的异常球体标量拟解析近似解进行计算,并与理论解进行了对比,验证了其精度,证明拟解析近似方法求解直流电场积分方程是可行的。通过对标量拟解析近似方法在直流电场数值模拟的研究,为三维直流电场快速正反演模拟打下了基础。

积分方程;拟解析近似;直流电场

0 前言

直流电法在地球物理勘探中占有重要地位,直流电法在油气田盆地边界划定,金属矿勘探,以及地下水勘探等方面有着重要而广泛的应用。利用数值方法可以对三维直流电场模拟,但传统的微分方程法和积分方程法,都会遇到大型矩阵或求解大型线性代数方程组的问题,对计算机内存要求高,计算时间长等问题,尤其是在地下介质复杂的情况下,这些问题更突出。为了解决这些问题,人们在努力寻求快速精确的数值模拟方法。TM Habashy等[1]在1993年在以研究电磁场问题时,提出了局部非线性近似方法;Zhdanov等[2]在1996年研究电磁场散射场问题时,受到TM Habashy的局部非线性近似方法的启发,提出了拟线性近似方法用来求解电磁波散射场的积分方程。这种方法假设异常电场Ea(r)与正常电场E0(r)之间是由电反射张量λ^(r)联系起来的拟线性关系,即:

通过这一假设,简化了电磁场的积分方程,从而提高了计算速度,电反射张量λ^(r)由最优化的方法求出,并于2000年将拟线性近似方法应用于电磁场反演[3]。在用来反演美国新墨西哥州的CSAM T数据时,取得了很好的效果。由于拟线性近似仍要求解线性代数方程组,因此Zhdanov[4]经过研究,于2000年假设电反射张量λ^(r)在异常体内为缓变函数,由一种相对简单的替代方法确定λ^(r),这种方法称为拟解析近似方法,并提出了拟解析近似序列。孙建国[5、6]通过对电磁场中的拟线性近似方法和拟解析方法的研究,先后提出将拟线性近似方法和拟解析近似方法应用到直流电场模拟及声波散射模拟。孙建国[7～9]在2001年拟线性近似方法用于2.5维直流电阻率正演中,在2002年对拟线性近似方法用于地球物理反演进行了讨论,接下来在2003年对稳定电流场的电位反射函数进行了研究。孙建国[10～12]2004年对稳定电流场中的拟线性近似方法进行了研究,给出了直流电位场数值模拟的拟解析方法。孙建国[13]在2005年研究了直流电场中的电反射张量,给出直流电场中的拟线性近似方法和拟解析近似方法的理论公式,并对电反射张量进行了详细的分析,对稳定电流场拟解析近似方法进行精度分析[14]。孙建国[15]又于2006年对稳定电流场拟解析近似方法进行了数值评价。

作者在本文的目的,是在2005年J.Sun推导出直流电场的标量拟解析近似的理论公式基础上,对标量拟解析近似进行研究。通过选取存在解析解的均匀场异常球体进行计算,将标量拟解析近似解与解析解进行对比,验证了标量拟解析近似的精度,进而检验标量拟解析近似的可行性。通过作者对标量拟解析近似在直流电场模拟中的研究,为直流电场正、反演数值模拟提供了一种快速的方法。

1 基本方程及公式

作者是在Sun.J给出的理论公式的基础上,经推导得到拟解析近似方法实现过程中的,在该文章中未明确给出的部份。在对三维异常体进行计算时,积分采用三维高斯积分进行计算,并对积分中出现的格林函数的奇异性进行了处理,进而实现拟解析近似方法在直流电场模拟中的应用。

J.Sun[13]在2005年给出了异常体内部直流电场的积分方程式(1),以及异常体外部的积分方程式(2)。

在公式(1)、公式(2)中Ω表示异常体,ja(r)为二次电流密度,由式(3)给出。

EBa(r)为Ea(r)的Bo rn近似。(r′,r)为并矢格林函数,由式(7)给出。

J.Sun[13]于2005年通过假设电反射张量为0阶张量,令:

Ι为单位张量,得到了方程(4)的解:

作者通过对公式(11)进行整理,得到式(12)。

在式(12)中,g(r)可由式(13)得到。

将公式(12)代入公式(1)中,得到式(14)。

将式(14)得到的Ea(r)代入式(3),从而得到ja(r)。将ja(r)代入公式(2)中,即可得到异常体外部的异常电场Ea(r)。

通过方程(4),我们可以建立拟解析近似的迭代方程[13]式(16)。

其中 m是迭代数。令

利用方程(16),当异常体电导率同围岩相比变化剧烈时,拟解析近似解不能得到想要的结果,我们可以通过方程(16)的拟解析近似的迭代解得到满意的结果。在一般情况下,迭代次数m在不超过5的情况下,就可以得到满意的结果。

2 标量拟解析近似球体异常体电场值计算

为了对标量拟解析近似进行研究,并验证标量拟解析近似方法的精度,可选取存在解析解的均匀场中的异常球体模型。根据上面标量拟解析近似的公式,选取一组地电模型进行计算,场源采用均匀场沿x方向,强度为10 V/m,异常球体半径为100m,球心坐标为(0m,0m,0m),选取一组背景介质和异常球体电导率变化的地电模型。对于异常体外部异常电场,选取的模拟测点分布在球心对称z=400m处球体上方主剖面AB上。对均匀场中的五个地电模型,在分别进行计算后得到了其外部电场,并进行精度分析和评价。

地电模型如图1所示。

图1 均匀场中异常球体模型示意图Fig.1 Modelof anom alous sphere in the unifo rm field

(1)当σ0=1.0西门子(S)、σa=0.01 S时,异常电场x分量和z分量的拟解析近似解、Born解与理论解[16]对比如下页图2所示。当异常体电导率与背景介质电导率相差很小时,拟解析近似解与Born近似解平均误差都很小,在1%以内。拟解析近似解x分量、z分量平均误差分别为0.334%、0.332%;Born近似解x分量、z分量平均误差分别为0.927%、0.949%,拟解析近似解误差比Bo rn近似解误差小。

(2)当σ0=1.0S、σa=0.1S时,异常电场的x分量和z分量的拟解析近似解、Born解与理论解[16]对比,如下页图3所示。当异常体电导率与背景介质电导率相差较小时,拟解析近似解与Born近似解平均误差都较小,在5%以内,拟解析近似解x分量、z分量平均误差分别为0.834%、1.11%;Born近似解x分量、z分量平均误差分别为4.19%、3.35%,拟解析近似解误差比Born近似解误差小。拟解析近似比Born近似更适用于该模型的模拟。

(3)当σ0=1.0 S、σa=-0.9 S时,异常电场的x分量和z分量的拟解析近似解、Born解与理论解[16]对比,如后面图4所示。当异常体电导率与背景介质电导率相差变大时,拟解析近似解与Born近似解平均误差也增大,Born近似解x分量、z分量平均误差分别为30.0%、29.85%;拟解析近似解x分量、z分量平均误差分别为6.45%、7.35%;拟解析近似解进行迭代后,x分量、z分量平均误差分别为2.98%、2.51%。

(4)当σ0=1.0 S、σa=-0.99 S时,异常电场的x分量和z分量的拟解析近似解、Born解与理论解[16]对比如后面图5所示。当异常体电导率与背景介质电导率相差变大时,拟解析近似解与Born近似解平均误差也增大,Bo rn近似解x分量、z分量平均误差分别为33%、32.09%;拟解析近似解x分量、z分量平均误差分别为8.90%、10.06%;拟解析近似解进行迭代后,x分量、z分量平均误差分别为1.03%、0.85%。拟解析近似迭代后与理论解相吻合。

(5)当σ0=0.1 S、σa=0.9 S时,异常电场的x分量和z分量的拟解析近似解和Born解与理论解[16]对比,如后面图6所示。拟解析近似解与Bo rn近似解平均误差随着电导率变化增大剧增,平均误差超过50%,拟解析近似解进行迭代后,x分量、z分量平均误差分别为5.41%、5.38%。可以看出,拟解析近似进行迭代后误差较小,表明该方法可用于大扰动电导率地电模型的电场模拟。

通过对均匀场中异常球体的标量拟解析的计算及误差分析可见,当异常体电导率变化较小时,标量拟解析近似取得了很好的计算结果。异常体电导率变化较大时,标量拟解析近似解误差有所增大,但在进行迭代后,标量拟解析近似和理论解相吻合。

图2 σ0=1.0 S,σa=0.01 S时电异常曲线图Fig.2 W hileσ0=1.0 S,σa=0.01 S,the anom alous electrical field curves

图3 σ0=1.0 S,σa=0.1 S时电异常曲线图Fig.3 W hileσ0=1.0 S,σa=0.1 S,the anom alous electrical field curves

比较图4和图5与图6(见下页)可知,当异常体为高阻体时,标量拟解析近似解与理论解比较,误差要小很多,所以标量拟解析近似解模拟的高阻体时效果更好。

图4 σ0=1.0 S,σa=-0.9 S时电异常曲线图Fig.4 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.9 S,the anom alous electrical field curves

图5 σ0=1.0 S,σa=-0.99 S时电异常曲线图Fig.5 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.99 S,the anom alous electrical field curves

3 结论

作者在本文对求解电场积分方程的标量拟解析近似解进行了研究,通过直接对异常体进行数值积分,避免了在传统数值方法解决问题时,所遇到的大型矩阵或大型代数方程组问题,大大提高了计算速度。作者对异常体为球体时进行了异常电场的标量拟解析近似数值模拟,对于其它形状的异常体,也同样可以用本方法进行模拟,如椭球体、立方体等。通过对存在解析解的均匀场中的异常球体进行的标量拟解析模拟,表明标量拟解析近似方法具有很高的精度和计算速度。当异常体电导率变化较大时,可以通过对标量拟解析近似解进行迭代,仍可以达到很高的精度。简单几何体异常体的空间组合,可以用来模拟复杂分布的地下矿体,在模拟复杂模型时,不同简单几何体异常体之间是相互影响的,将某个异常体对其它异常体的影响作为一个二次场源,利用拟解析近似方法,可以对复杂地电模型进行模拟。拟解析近似方法可以对球体、立方体、椭球体等简单几何异常体进行模拟,通过简单几何形体的组合,可对复杂地电模型进行数值模拟,这就初步表明了该方法具有处理复杂地电结构的模型的能力。作者在本文中,通过直流电场标量拟解析近似方法实现的研究,为三维直流电场的快速正演、反演模拟,提供了快速的,精确度高的数值模拟方法。

图6 σ0=0.1 S,σa=0.9 S时电异常曲线图Fig.6 W hileσ0=0.1 S,σa=0.9 S,the anom alous electrical field curves

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