一致 Fredholm指标算子及广义Weyl型定理

刘俊英,曹小红

（陕西师范大学数学与信息科学学院,西安替换为 710062）

一致 Fredholm指标算子及广义Weyl型定理

刘俊英,曹小红＊

（陕西师范大学数学与信息科学学院,西安替换为 710062）

利用由一致Fredholm指标性质定义的新谱集σ2（·）研究 Hilbert空间上有界线性算子的广义Weyl型定理,得到了 T∈B（H）满足广义 Weyl型定理的充要条件,同时将主要结论应用到H（p）类算子.

广义Weyl定理;广义a-Weyl定理;一致 Fredholm指标算子;谱

谱理论一直是算子理论研究中的一个热点问题.从Jacobson定理知道算子乘积的谱满足:任给两个Hilbert空间上的有界线性算子 T和B,TB和B T的谱集中非零元相同.若对算子 T来说,任给有界线性算子B,TB和B T的谱相同,称算子 T为一致可逆算子.在文献[1]中,作者给出了算子具有一致可逆性的充要条件.受此启发,本文给出了算子具有一致 Fredholm指标性质的充要条件.1909年,H.Weyl[2]在检查hermitian算子 T的所有紧摄动的谱时发现,λ属于 T的所有紧摄动的谱的充要条件是λ属于T的谱集但不为 T的谱集中孤立的有限重特征值.现在这个结论被称作Weyl定理.二十世纪90年代,许多学者对Weyl定理进行了变形和推广[3-5].本文根据一致Fredholm指标性质（见定义1）定义了一种新的谱集,利用该谱集去研究广义Weyl型定理,将一致Fredholm指标性质应用到了广义Weyl型定理的判定中.同时研究了算子演算和 H（p）类算子的广义Weyl型定理.

1 预备知识

在本文中,H表示一个无限维复Hilbert空间,B（H）为 H上的有界线性算子的全体.对算子 T∈B（H）,σ（T）为 T的谱集;σa（T）表示 T的逼近点谱,ρa（T）=Cσa（T）,T＊为 T 的伴随算子.用n（T）来表示零空间N（T）的维数,d（T）表示值域R（T）的余维数.称 T∈B（H）为一个上半Fredholm算子,若n（T）< ∞且R（T）闭;若 d（T）< ∞且R（T）闭,则称 T为一个下半Fredholm算子.算子 T∈B（H）称为是 Fredholm算子,若R（T）闭且n（T）和 d（T）都有限.若 T∈B（H）为一个上（或者下）半 Fredholm算子,T的指标ind（T）定义为ind（T）=n（T）-d（T）.指标为零的Fredholm算子称为是Weyl算子.算子 T的升标asc（T）,为满足 N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非负整数,若这样的整数不存在,则记asc（T）= ∞;而算子 T的降标des（T）,为满足 R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非负整数,同样当这样的整数不存在时,记des（T）= ∞.如果算子 T有有限升标和有限降标,那么称 T为Drazin可逆的.若 T为有有限升标和有限降标的Fredholm算子,称 T为Browder算子.算子 T的上（下）半 Fredholm谱σSF+（T）（σSF-（T））,Weyl谱σw（T）,Browder谱σb（T）以及Drazin谱σD（T）分别定义为

2 CFI算子与广义Weyl型定理

[8]中,作者给出如下一致Fredholm指标算子的定义以及判定定理:

定义1称T∈B（H）是一致Fredholm指标算子（简称为 CFI算子）或者说算子 T有一致Fredholm指标性质,若对于任意的B∈B（H）,以下情况之一发生:

（1）TB,B T同时为 Fredholm算子且ind（TB）=ind（B T）=ind（B）;

（2）TB,B T同时不为Fredholm算子.

引理1 T∈B（H）是CFI算子的充要条件是以下情况之一发生:

（1）T是 Weyl算子;

（2）R（T）不闭;

（3）R（T）闭且 n（T）=d（T）= ∞.令

显然 σ1（T） ⊆ accσa（T） ⊆ σD（T）.T称为是isoloid,如果isoσ（T） ⊆σp（T）,其中σp（T）表示 T的点谱.若isoσa（T） ⊆σp（T）,则称 T为a-isoloid.

参考文献:

[1]Gong Weibang,Han Deguang.Spectrum of the products of operators and compact perturbations[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1994,120:755-760.

[2]Weyl H. Über beschränkte quadratische Formen,deren Different vollstetig ist[J].Rend Circ Mat Palermo,1909,27:373-392.

[3]Harte R,Lee W Y.Another note on Weyl's theorem[J].Trans Amer Math Soc,1997,349:2115-2124.

[4]Rako c evic V.Operators obeying a-Weyl's theorem[J].Rev Roumaine Math Pures Appl,1989,34（10）:915-919.

[5]Rakocevic V.On a class of operators[J].Mat Vesnik,1985,37:423-426.

[6]Berkani M,Sarih M.On semi B-Fredholm operators[J].Glasgow Math J,2001,43:457-465.

[7]Berkani M,Koliha J J.Weyl type theorems for bounded linear operators[J].Acta Sci Math （Szeged）,2003,69:379-391.

[8]CAO Xiaohong.Weyl Spectrum of the products of operators[J].J Korean Math Soc,2008,45（3）:771-780.

[9]Taylor A E.Theorems on ascent,descent,nullity and deft of linear operators[J].Math Ann,1996,163:18-49.

[10]Berkani M.Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem[J].Proc Amer Math Soc,2002,130:1717-1723.

[11]CAO Xiaohong.A-Browder's theorem and generalized a-Weyl's theorem[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2007,23（5）:951-960.

Abstract:This paper described generalized Weyl type theorems for a bounded linear operatorTdefined on a Hilbert space by means of the new spectrumσ2（·）defined in view of the property of consistency in Fredholm and index.ForT∈B（H）the sufficient and necessary conditions for which the generalized Weyl type theorems hold are established.Meanwhile,the generalized Weyl type theorems forT∈H（p）are obtained.

Key words:generalized Weyl's theorem;generalized a-Weyl's theorem;consistent Fredholm and index operators;spectrum

Consistent Fredholm and index operators and generalized Weyl type theorems

LIU Junying,CAO Xiaohong
（College of Mathematics and Information Sciences,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062）

O177.2

A

1000-1190（2010）04-0557-05

2010-03-16.

国家自然科学基金项目（10726043）;教育部新世纪优秀人才支持计划项目（2006）;陕西师范大学中央高校基本科研业务费专项资金项目（GK200901015）.

＊通讯联系人.E-mail:xiaohongcao@snnu.edu.cn.