状态饱和系统稳定性分析

张象林

(1.大庆师范学院 发展规划处，黑龙江 大庆 163712；2.哈尔滨理工大学 数学系，黑龙江 哈尔滨 150080)

1 问题陈述

考虑的状态饱和系统其定义如下：

(1)

这里x∈Dn={x=(x1,x2,x3…xn)T∈Rn:-1≤xi≤1,i∈[1,n]},A=[aij]∈Rn×n,且

对于每一个i∈[1,n]

这类系统在现实生活中运用的非常广泛，广泛运用于信号处理、周期性神经网络控制等。对于这类系统的研究也已经非常深入。本文对已有的凸域法进行改进，获得了保守性更小的系统在零点大范围渐近稳定的充分条件，系统在零点大范围渐近稳定的意思是初始状态x0的取值区域为Dn而非Rn。在此基础上给出了迭代线性矩阵不等式算法，另外此算法还可用于如下系统反馈控制器的设计。

(2)

这里x∈Rn,u∈Rm。

2 主要研究内容

这部分给出系统(1)的一个新的稳定性判据，首先介绍几个引理和定义。

引理1[1]：考虑如下的非线性系统

x=f(x)，x∈Ω⊂Rn，f(0)=0

假设系统的状态轨线都在Ω内。如果存在函数V:Ω→R使得

Φ1(‖x‖)≤V(x)≤Φ2(‖x‖)， ∀x∈Ω并且

V(x)≤-Φ3(‖x‖) ∀x∈Ω，Φ1,Φ2,Φ3均为κ类函数，则系统在原点大范围渐近稳定。

定义1[2]：对于一系列的点u1,u2,u3,…uT∈Rm2由这些点构成的凸包定义为

引理2[2]：令u,u1,u2,u3,…uT∈Rm1，v,v1,v2,v3,…vJ∈Rm2，如果

u∈co{ui:i∈[1,τ]}，v∈co{vi:i∈[1,J]}，则

定义2[2]：令Dn是由对角线元素是1或0的对角矩阵组成的集合，Dn包含2n个元素，Di是Dn中的一个元素，定义Di-=I-Di。

定义3：已知两个矩阵A、B∈Rn×n，对于任意i∈[1,n]都有

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=1}⊆{x|Bix>0,x∈Dn,xi=1}成立，则称矩阵B对变量x的负区域包含了矩阵A对x的正区域。

说明：由Dn的对称性可知，对于任意i∈[1,n]当

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=1}⊆{x|Bix>0,x∈Dn,xi=1}成立时，一定有

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=-1}⊆{x|Bix>0,x∈Dn,xi=-1}成立。

定理1：如果存在这样一个矩阵B=[bij]∈Rn×n，其对变量x的负区域包含了矩阵A对x的正区域，那么必然有下式成立：

证明：当不考虑状态约束时h(Aix)=Aix，很显然h(Aix)∈co{Aix,Bix}。

当考虑状态约束时，即考虑xi=1，Aix>0或xi=-1，Aix<0两种情况时有

h(Aix)=0

因为矩阵B对变量x的负区域包含了矩阵A对x的正区域，所以

当xi=1，Aix>0时,有Bix<0，于是

h(Aix)=0∈co{Aix,Bix}

当xi=-1，Aix<0时，有Bix>0，于是

h(Aix)=0∈co{Aix,Bix}

根据引理2有

定理2：如果存在矩阵B=[bij]∈Rn×n，其对变量χ的负区域包含了系统(1)中矩阵A对χ的正区域以及一个对称正定矩阵使得P∈Rn×n

则系统(1)在原点大范围渐近稳定。

下面给出算法步骤：

算法1：系统(1)大范围渐近稳定性。

第一步，判断A是否为Hurwitz矩阵，若是则进行下一步,否则系统在原点不稳定；

第二步，选择一个Q>0，从下式中将对称正定矩阵P解出

ATP+PA=-Q

置k=0，进行下一步；

如果ε<0或者k>0和ε>εk同时满足时，进行第五步。否则k=k+1，ε=εk，进行下一步；

如果ε<0或者ε>εk，进行下一步，否则置k=k+1，ε=εk，返回第三步；

第五步，如果ε<0，则系统(1)大范围渐近稳定于原点，否则无法判断其是否稳定，可以通过改变矩阵Q,重新计算。

算法2：系统(2)的反馈控制器设计

第一步，选择一个Q>0，从下式中解出对称正定矩阵P

(A+CF)TP+P(A+CF)=-Q，其中F使得A+CF为Hurwitz矩阵，置k=0，进行下一步；

如果ε<0或者k>0和ε>εk同时满足时，进行第四步。否则k=k+1，ε=εk，进行下一步；

如果ε<0或者ε>εk，进行下一步，否则置k=k+1，ε=εk，返回第二步；

第四步，如果ε<0，则系统(6)大范围渐近稳定于原点，此时得到的F可用于反馈控制器的设计，否则无法设计反馈控制器，可以通过改变矩阵Q,重新计算。

3 数值算例

1)通过数值算例验证定理1的有效性。考虑如下系统：

若使用文献[1]中的凸域法则不能判断其在原点是否大范围渐近稳定。利用本文定理1，结合相应的算法可得

2)通过数值算例验证反馈控制器设计方法的有效性。考虑如下系统：

根据本文的反馈控制器的设计方法，可以得到

F=[-3.4375 -2.0674]

[参考文献]

[1] Ling Hou. Asymptotic Stability of Systems with Saturation Constraints[C].In Proceedings of the 35th Conf on Decision and Control, Kobe Japan, 1996:2624-2629.

[2] HaiJun-Fang , Zongli-Lin. Stability Analysis for linear systems under state constraints[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004,49(6): 950-955.

[3] HaiJun-Fang , Zongli-Lin. Stability Analysis for Linear Systems under State on Constraints[C].In Proceedings of the 2004 American Control Conference, 2004:441-446.

[4] XiaoFu-Ji,Tai Hui-Liu, Min Wei-Ren. Stability Analysis for Continuous-Time Planar Linear Systems with State Saturation[C].Control and Decision Conf, 2008:4355-4359.