Hilbert空间中严格伪压缩映射下迭代的收敛性问题

张国辉，王 彦，赵国传，孙 平

(1.大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712；2.大庆市钻探工程公司 钻技一公司，黑龙江 大庆 163000)

1 预备知识

设H是实Hilbert空间，C是H的非空闭凸子集，φ:C×C→R是双重函数，均衡问题是指：找到x∈C，使得

φ(x,y)≥0,∀y∈C

(1)

我们将(1)的解集记作EP(φ)。

映射T称为k(0≤k<1)严格伪压缩映射，如果T满足

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2,∀x,y∈D(T)

引理1[1]：在实Hilbert空间H，下列结论成立：

(i)‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2-2,∀x,y∈H；

(ii)‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y2‖,∀t∈[0,1],∀x,y∈H；

(iii) 如果H中序列{xn}弱收敛于z，那么

引理2[1]：设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，T:C→C是一k(0≤k<1)严格伪压缩映射，则有

(ii)若C中序列{xn}弱收敛于q，且(I-T)xn→0，则(I-T)q=0；

(iii)T的不动点集F(T)是闭凸集。

为了研究均衡问题，我们不妨假设φ:C×C→R满足下列条件：

(Ⅰ)φ(x,x)=0；∀x∈C;

(Ⅱ)φ(x,y)+φ(y,x)≤0,∀x,y∈C；

(Ⅳ)对于∀x∈C，映射y→φ(x,y)是凸函数，且下半连续。

引理4[3]：设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，φ:C×C→R满足(Ⅰ)-(Ⅳ)，对∀x∈H，r>0，定义映射Tr:H→C如下：

则有

(i)Tr是单值映射；

(ii)Tr是非扩张映射，且‖Trx-Try‖2≤，∀x,y∈H；

(iii)F(Tr)=EP(φ)；

(iv)EP(φ)是非空闭凸集合。

2 主要结果

定理1：设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，S:C→C是一k(0≤k<1)严格伪压缩映射,φ:C×C→R满足(Ⅰ)-(Ⅳ),且满足F(S)∩EP(φ)≠Φ。又设x1∈H，{xn},{yn}和{un}(n为正整数)如下定义：

其中{αn},{βn}和{rn}满足

(i)0<α≤αn≤β<1；

那么，序列{xn}，{yn}和{un}弱收敛到S与φ的同一个公共不动点。

证明：分三步证明。

第一步：我们将证明下列结论：

设∀q∈F(S)∩EP(φ)，我们有un=Trnxn，于是

‖un-q‖=‖Trnxn-q‖≤‖xn-q‖，∀n≥1

(2)

因为S是k(0≤k<1)严格伪压缩映射及yn-Syn=βn(xn-Syn)，所以

‖yn-q‖2=‖βn(xn-q)+(1+βn)(Syn-q)‖2

≤βn‖xn-q‖2+(1-βn)‖Syn-q‖2-βn(1-βn)‖xn-Syn‖2

于是

(3)

‖xn+1-q‖2≤αn‖un-q‖2+(1-αnαn)‖Syn-q‖2-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤αn‖un-q‖2+(1-αn)(‖yn-q‖2+k‖yn-Syn‖2)-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤αn‖un-q‖2+(1-αn)(‖xn-q‖2-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤‖xn-q‖2

(4)

设∀q∈F(S)∩EP(φ)，有

由(4)可得

αn(1-αn)‖un-Syn‖2≤‖xn-q‖2-‖xn+1-q‖2

yn-Syn=βn(xn-Syn)

(5)

第二步：往证ωw(xn)⊂F(S)∩EP(φ)，其中

ωw(xn)={x∈H:{xn}中存在子列{xni}弱收敛于x}

事实上，因为H是自反的及{xn}是有界的，所以ωw(xn)≠Φ。

设∀w∈ωw(xn)，则{xn}中存在子列{xni}弱收敛于w，又由(5)知{uni}弱收敛于w。

设yt=ty+(1-t)w，y∈C,t∈(0,1],显然yt∈C，且φ(yt,w)≤0。于是，由(Ⅰ)和(Ⅳ)得：0≤(yt,yt)≤tφ(yt,y)+(1-t)φ(yt,w)≤tφ(yt,y)，即

φ(yt,y)≥0

又由(Ⅲ)知φ(w,y)≥0，y∈C,即证w∈EP(φ)。

第三步：我们将序列{xn},{yn}和{un}弱收敛到S与φ的同一个公共不动点。事实上，我们只须证明ωw(xn)是单点集。

因此，w1=w2，即证ωw(xn)是单点集。证毕。

定理2 ：设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，S:C→C是一k(0≤k<1)严格伪压缩映射，φ:C×C→R满足(Ⅰ)-(Ⅳ),且满足F(S)∩EP(φ)≠Φ。又设x1∈H，{xn},{yn}和{un}(n为正整数)如下定义：

其中{αn},{βn}和{rn}满足

(i)0<α≤αn≤β<1；

那么，序列{xn},{yn}和{un}强收敛于S与φ的同一个公共不动点的充分必要条件是

其中d(xn,F(S)∩EP(φ)EP(φ))表示点xn到集合F(S)∩EP(φ)的距离。

d(xn+1,F(S)∩EP(φ))≤d(xn,F(S)∩EP(φ))

3 结语

我们主要研究Hilbert空间中均衡问题和不动点问题的迭代解。我们先提出均衡问题，给出与定理相关的定义，同时给出Hilbert空间的一些特性。接着给出一个关于均衡问题的迭代，讨论了Hilbert空间中在严格伪压缩映射下的该迭代的弱收敛性和强收敛性问题。

[参考文献]

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[2] Takahashi S, Takashi W. Viscosity Approximation Methods for Equilibrium Problems and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces[J].Math. Anal. Appl.,2007,331:506-515.

[3] Combettes P L, Hirstoaga S A. Equilibrium Programming in Hilbert Spaces [J]. Nonlinear Convex Anal.,2005(6):117-136.