基于谐波平衡法的带冠叶片接触碰撞减振特性研究

卢绪祥, 黄树红, 刘正强, 李录平, 邓晓湖

(1.华中科技大学能源与动力工程学院,武汉430074;2.长沙理工大学能源与动力工程学院,长沙410114)

采用带冠阻尼结构以及将叶片设计成不调频叶片是目前提高汽轮机叶片可靠性最有效、最可行的技术之一.无论是长叶片或短叶片,采用带冠阻尼结构已成为发展趋势[1-3].但不同长度的带冠叶片在工作状态下所受到的作用力性质不同,叶片的变形情况差别较大,因此,带冠阻尼结构的减振机理也不完全相同.目前,共有两种类型的带冠结构：一种是适用于中长叶片的紧配型结构,依靠摩擦阻尼减振,对该类结构的干摩擦阻尼减振机理的研究已逐渐趋于成熟[4-6];另一种是适用于中短叶片的间隙型结构,该类结构依靠碰撞阻尼减振,由于碰撞振动系统的强非线性,对该类结构减振机理的理论研究难度大,试验成为主要研究手段,目前对其减振机理和减振效果的研究还处于初步探索阶段,相关研究工作正逐步展开[7-10].

汽轮机带冠叶片冠间的接触碰撞运动非常复杂,具有典型的非线性特征,很难确定非线性项的函数关系,因此目前尚未得出物理概念明确的简化模型,也难以形成实用的设计程序,这方面的研究并不深入,通常需进行一定简化.李剑钊等[8]将冠间的接触碰撞等效为有间隙的干摩擦阻尼模型,切向上采用库仑摩擦力,但未考虑非线性阻尼力的作用.笔者将冠间接触碰撞简化为法向正压力(与法向相对位移呈线性关系)和切向滞后滑移摩擦力共同作用的力学模型,建立了含间隙的等效弹簧-干摩擦阻尼模型,通过对其振动方程的响应求解,分析了相关结构参数对碰撞振动的影响,并与相关文献得出的试验结论进行对比,以验证本文所提出模型的准确性.

1 带冠叶片三自由度运动方程的建立

1.1 冠间接触碰撞的力学模型

通常,整圈带冠叶片冠间接触碰撞的响应分析计算量大且比较复杂,而单个叶片或成组叶片的振动响应可以较全面地反映整圈叶片的特性,因此通常采用成组叶片(如两叶片、三叶片组)结构系统进行理论分析或试验研究[8-9,11].汽轮机自带冠叶片冠间的接触碰撞运动非常复杂,当冠间的相对位移大于冠间间隙值时,冠间的接触碰撞起作用,此时冠间接触面间产生斜面碰撞和滑移的联合作用,在接触面上,法向运动引起正压力的变化,切向运动导致两个表面处于粘着、滑动和脱离等状态,具有典型的非线性特性.为便于研究,通常对冠间的接触碰撞进行一定简化,可将叶冠接触阶段看作是正压力变化的宏观滑移模型.

带冠叶片冠间结构参数见图1.设冠间接触面间的切向相对运动为简谐运动,相对振动可表示为：

式中：B为冠间稳态相对振动的幅值;ω为激振频率;φ为相位差.

叶片主振动方向的稳态振动可表示为：

式中：A为叶片主振动的振幅.

图1 冠间结构参数示意图Fig.1 Schematic diagram of structu ral param eters betw een sh roud s

当叶冠接触面发生碰撞接触时,接触面上的法向正压力N是变化的,且为冠间法向相对位移的线性函数,可表示为：

式中：kh为弹性力学中的赫兹接触刚度;α为冠间接触角,即冠间接触面与叶片振动方向的夹角;d为冠间接触面间的法向间隙.

注意到接触面相对振动与叶片主振动间的关系Δu=u sin α,则式(3)可变为：

假设冠间在接触碰撞后一直处于粘着或滑移摩擦状态,为简化运算并较好地反映冠间阻尼特性和减振效果,通常对该运动状态采用宏观滞后滑移摩擦模型(图2)进行研究.

图2 正压力变化时力与相对位移的迟滞回线Fig.2 Hysteretic loops of forces vs.relative displacements under variation of normal fo rce

冠间接触碰撞的切向接触力可表示为：

式中：μ为接触面摩擦系数;k d为接触面剪切刚度;θ为响应与力之间的相位差.

式(5)为分段函数,采用谐波平衡法(Harmonic Balance Method,简称HBM)将该非线性摩擦力线性化得：

同样,对接触面上的正压力按照傅里叶级数展开可得：

式中：F k、F c是对F d进行谐波变换(傅里叶级数展开)时的系数项;P k、P c是对N进行谐波变换(傅里叶级数展开)时的系数项;f k、f c分别是F d的等效刚度和等效阻尼;pk、pc分别是N的等效刚度和等效阻尼.

综合考虑冠间接触面上的摩擦力和正压力,并结合叶片切向振动的动力响应和方向,得到叶冠冠间接触面产生的等效刚度和等效阻尼：

1.2 带冠叶片三自由度的运动方程

运行实践证明：汽轮机叶片需避免的最危险的共振振型有切向A型(主要是A0和A1型)、切向B0型振动;另外,汽轮机带冠叶片碰撞减振结构通常适用于中短叶片[6].因此,可将汽轮机带冠叶片简化为三自由度集总参数模型(图3).

图3 阻尼叶片三自由度集总参数模型Fig.3 Three degree-of-freedom lumped-param eter modelof damped b lades

根据广义坐标的Lagrange方程,可获得反映带冠叶片振动特性的三自由度运动方程：

式中：c1、c2和c3为叶片材料的阻尼系数;k1、k2和k3为刚度系数;F1、F2和F3分别为均布的汽流激振力在三集中质量上的分量.

2 带冠叶片的模拟参数及数值求解

以长沙理工大学振动与噪声实验室汽轮机带冠叶片减振实验台的叶片为研究对象.叶片的相关参数分别为：叶片长度l=400mm,密度 ρ=7 850 kg/m3,叶片宽度b=50 mm,叶片厚度h=10 mm,弹性模量E=2.05×105M Pa,泊松比υ=0.3,阻尼比 ζ=0.02,切向/法向刚度比k d/k h=2(1-υ)/(2-υ),各激振力F1=F 2=2F3=100/3 N.

由运动方程可知,各集中质量块上的广义坐标量是相互耦合的,很难用解析方法进行求解,因此,对该模型的运动微分方程采用具有良好计算精度和稳定性的龙格-库塔法进行数值求解.在求解方程时,先赋予一初始B值,求出等效刚度和等效阻尼,再代入式(15)求解,得出系统的响应幅值,该幅值与B相比,经过反复迭代,直到精度误差达到要求为止.通过数值计算,得到不同冠间结构参数(如冠间间隙d、冠间接触角α和冠间法向接触刚度kh等)对碰撞减振特性的影响规律.

3 数值模拟结果与分析

3.1 碰撞对带冠叶片振动特性的影响

汽轮机带冠叶片无接触碰撞作用时,叶片作自由振动.当存在冠间相互接触碰撞作用时,由于冠间的相互约束作用和碰撞阻尼作用,使得带冠叶片的共振频率和振幅都发生改变.

图4为在有、无碰撞作用时叶片不同节点处的频率响应曲线,其中 d=0.1 mm,α=π/6,k h=108N/m.由图4可知,在无冠间接触碰撞作用时,该叶片的一阶振动频率为 39 H z,二阶振动频率为 91 H z.当存在冠间接触碰撞作用时,带冠叶片的最大共振幅值约为自由振动时的1/10,说明汽轮机带冠叶片冠间的碰撞减振结构具有很好的减振效果,且对一阶弯曲振型的减振效果明显好于对二阶弯曲振型的减振效果.同时,由于冠间的相互约束作用,使得共振频率右移,且出现了A型振动向B型振动的转换,这种由于阻尼结构约束作用而引起的共振频率的偏移是设计和分析中需要解决的问题.这些结果均与文献[7-10]的试验结果及带冠叶片实践应用中所得出的规律一致,表明本文所选用的计算模型合理、计算结果可信.

图4 有、无碰撞作用时阻尼叶片振动的频率响应曲线Fig.4 Frequency response cu rves of damped blade vibration in case of with and without impact actions

图5所示为在 d=0.2 mm 、α=π/6、k h=108N/m的条件下,激振力频率 f分别为 93 Hz、95 H z和97 H z时叶冠的相图和幅频图.由图5可知,由于冠间接触碰撞的非线性影响,叶冠的位移响应出现了不同于激振力频率的频谱成分,且随着激振力频率的变化,出现了倍频和分频现象,甚至出现了具有多频频带的混沌现象.这些结论和规律与文献[8]和[10]的结论一致,表明本文提出的模型可用来计算自带冠叶片冠间接触碰撞的非线性振动响应.

图5 不同激振力频率时叶冠的振动特性图Fig.5 Diagrams of vib ration characteristics of the blade＇s shroud under differen t frequencies of ex citing forces

3.2 冠间结构参数对叶片碰撞减振特性的影响

由式(13)～式(15)可知,叶冠冠间接触面产生的等效刚度和等效阻尼与冠间结构参数密切相关,如冠间间隙d、冠间接触角α和冠间法向接触刚度k h等,这些结构参数的改变必定会影响带冠叶片不同节点处的动力响应,进而影响带冠叶片的碰撞减振效果.通过分析这些结构参数对叶片碰撞减振特性的影响,可为带冠叶片阻尼结构的优化设计提供一定的参考作用.

3.2.1 冠间间隙对碰撞减振特性的影响

当激振力频率为50 H z时,带冠叶片叶顶节点处的振动能量随冠间间隙d的变化示于图6(a).由图6(a)可知,随着冠间间隙的减小,叶冠的振动能量逐渐降低,即叶片的振动响应逐渐减小,因此冠间间隙越小,带冠叶片冠间碰撞的减振效果越好;在冠间间隙较小时,叶冠振动能量的变化较为复杂,呈现先升高后降低的趋势,说明叶片的振动情况在冠间间隙较小时变得复杂.在实际应用中,依靠碰撞减振的带冠叶片冠间存在非常小的间隙,可选择一个合理的冠间间隙,使带冠叶片达到最佳的碰撞减振效果,如本例的冠间间隙可选 0.15 mm,这与文献[10]的结论一致,充分说明所提出的冠间接触碰撞力学模型是正确的,对叶片阻尼结构的优化设计具有一定的参考价值.

目前,汽轮机带冠叶片通常都设计为不调频叶片,因此需要知道叶片处于共振时的振动情况.利用本文的计算模型,在不同冠间间隙d下,通过改变激振力频率,可获得带冠叶片处于共振时叶顶节点处最大振动能量的变化(图6(b)).由图6(b)可知,随着冠间间隙的减小,叶冠处于一阶共振时的最大振动能量逐渐减小,在冠间间隙达到某一值(0.4 mm)后,最大振动能量的减小有所变缓.而随着冠间间隙的增大,叶冠处于二阶振型时的最大共振能量呈现先增大后减小的变化趋势,且在冠间间隙达到一定值(0.8 mm)后,叶冠间不发生碰撞,此时振动能量不再发生变化.由图6(b)还可以看出,冠间接触碰撞对一阶振动的减振效果好于对二阶振动的减振效果,二阶振动仅在冠间间隙较小时才能取得较好的减振效果.

图6 冠间间隙对碰撞振动特性的影响Fig.6 Effects of c learancesbetw een shrouds on im pact vibration characteristics

3.2.2 冠间接触角对碰撞减振特性的影响

图7给出了在冠间间隙为0.1 mm、冠间法向接触刚度为1×108N/m时,不同激振力频率下带冠叶片处于共振时叶顶节点处的最大振动能量随冠间接触角的变化.由图7可知,叶冠的最大振动能量随着冠间接触角的增大而减小,但在接触角达到一定值后其变化趋缓.由式(8)～式(14)可知,这主要是由于小的冠间接触角对等效刚度和等效阻尼的影响很大,因此较大的冠间接触角对冠间接触碰撞在切向振动上的减振效果较好.但在实际应用中,冠间接触属于面接触,冠间接触角的大小不仅影响接触面的大小,而且对轴向振动也有一定影响,因此在进行叶片阻尼结构设计时,应综合考虑这两方面的影响,以确定使冠间接触碰撞具有更佳减振效果的冠间接触角.

图7 阻尼叶片共振时最大振动能量随冠间接触角的变化Fig.7 M axim um vib ration energy vs.contacting angles between shrouds w hen damped b lade vib rates in resonance

3.2.3 冠间法向接触刚度对碰撞减振特性的影响

图8给出了在冠间间隙为0.1 mm、冠间接触角α=30°时,不同激振力频率下带冠叶片处于共振时叶顶节点处的最大振动能量随冠间法向接触刚度的变化.由图8可知,叶冠的最大振动能量随着冠间法向接触刚度的增大而减小,但减小的幅度逐渐趋缓,在冠间法向接触刚度较小时变化较大,此结论与文献[11]中的结论基本一致.因此,较大的冠间法向接触刚度可使叶片冠间接触碰撞达到很好的减振效果,在进行带冠叶片碰撞减振阻尼结构设计时,可通过选用适当的材料和对接触面进行适当处理来尽可能地增大冠间接触刚度,从而使叶片的振动能量响应幅值达到最小.

图8 阻尼叶片共振时最大振动能量随冠间法向接触刚度的变化Fig.8 M aximum vibration energy vs.normal contact rigidity betw een sh roudsw hen dam ped blade vibrates in resonan ce

4 结 论

(1)将带冠叶片冠间接触面法向正压力看作法向相对位移的线性函数,切向摩擦力采用滞后滑移模型,通过谐波平衡法建立了具有间隙的冠间接触碰撞的等效弹簧-干摩擦阻尼模型,并得到反映汽轮机带冠叶片主要危险振型的三自由度计算模型,用于计算具有冠间接触碰撞的带冠叶片的非线性响应.

(2)汽轮机带冠叶片因冠间的接触碰撞而具有很好的减振效果,但由于冠间接触碰撞的非线性特征,叶冠位移响应出现了不同于激振力频率的频谱成分和共振频率右移等现象,且随着激振力频率的变化,出现了倍频和分频现象,甚至出现了多频频带的混沌现象,因此也引起带冠叶片发生共振的不确定性.这些结果与相关文献的试验结果及带冠叶片实践应用中所得出的规律一致,表明本文模型计算结果的合理性.

(3)随着冠间间隙的减小,带冠叶片冠间碰撞减振效果变好,但在小间隙时,振动情况变得复杂,冠间接触碰撞对一阶振动的减振效果好于对二阶振动的减振效果;较大的冠间接触角对冠间接触碰撞在切向振动上的减振效果较好;较大的冠间法向接触刚度可使叶片冠间接触碰撞达到很好的减振效果.这些结论与相关文献所得出的结论相符,说明本文提出的冠间接触碰撞力学模型可用于解决接触碰撞问题,为叶片阻尼结构的优化设计提供参考依据.

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