六阶微分系统带权第二特征值的上界

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 基础部，江苏 苏州 215104)

六阶微分系统带权第二特征值的上界

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 基础部，江苏 苏州 215104)

考虑六阶微分系统带权第二特征值的上界估计。利用试验函数，Rayleigh定理，分部积分和Schwartz不等式等估计方法与技巧，获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用。

六阶微分系统;特征值;特征向量;上界

1 主要结果

设(a，b)⊂R是一个有界区间，考虑如下微分系统的特征值估计问题。其中sji(x)(i，j=1，2)，设任意ξ=(ξ1ξ2)T，满足

其中μ1，μ2，v1，v2为正实数。

把问题(1)写成矩阵形式，设

将问题(1)化为如下等价的矩阵形式：

单个六阶微分方程问题(1)的特征值估计已获得一些结果［1-2］。在本文中，考虑六阶微分系统并且左端的导数比右端的导数阶数恰好高4阶的问题，这个问题将文献［1］和［2］推广到方程组的情形。运用文献［3］中的方法，并且对其方法加以改进，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用［4］。

定理 设λ1，λ2是问题(1)的两个第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，则有

2 定理的证明

设λ1是问题(4)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u1，简记u=u1，且满足

利用分部积分和(6)，得

利用分部积分和(7)，有

利用(2)和(8)，得

利用(3)和(7)，有

设

利用分部积分，直接计算得

利用(12)知，φ与u广义正交，且满足

利用Rayleigh定理，成立着

计算得

利用分部积分和φ(x)=(x-t)u，有

即

结合式(14)和(15)，得

设

利用(16)，有

利用(13)和(17)，成立

引理1 设u是问题(4)所对应第一特征值λ1的特征向量函数，则

证 利用分部积分，Schwartz不等式，(9)和(10)，得

引理2 设u是问题(4)所对应第一特征值λ1的特征向量函数，则，

证 对于(a)，利用(2)和引理1，得

对于(b)，利用(2)、(9)、(10)和Schwartz不等式，有

引理3 设λ1是问题(4)的第一特征值，则

证 利用分部积分、S(x)的对称性和φ(x)=(x-t)u，得

类似地，可以得到

利用(19)、(20)和(21)，有

利用(22)和引理2，得

引理4 对于φ与λ1，有下列不等式成立

证 利用分部积分和φ(x)=(x-t)y，得

利用(24)，有

利用(10)和(25)，得

利用(26)、(3)、引理1和Schwartz不等式，得

整理上式，可得引理4。

定理的证明：利用引理3，引理4和(19)，得到

即得到定理的(5)。

［1］ 赵晓苏，钱椿林.六阶常微分方程广义第二特征值的上界估计［J］.长春大学学报，2009(6)：52-54.

［2］ 韩秋敏，钱椿林.六阶某类微分方程第二特征值的上界［J］.苏州大学学报，1999(3)：26-30.

［3］ G.N.Hile，R.Z.Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator［J］.Pacific J.Math，1984(1)：115-133.

［4］ M.H.Protter.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev，1987(1)：185-197.

责任编辑：钟 声

The upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Fundamental Department，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight.The inequality of upper bound estimation with second eigenvalue is estimated from the first eigenvalue by using test function method，Rayleigh theorem，partial integration and Schwartz inequality.The estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.This kind of problem plays an important role in the theory of differential equations and the application in mechanics and physics.

six-order differential system;eigenvalue;eigenvector;upper bound

O175.1

A

1009-3907(2010)08-0010-04

2010-04-16

苏州市职业大学基金资助项目(SZD07W61)

赵晓苏(1962-)，女，江苏苏州人，讲师，主要从事算子特征值估计方面研究。

钱椿林(1943-)，男，江苏苏州人，教授，主要从事算子特征值估计方面研究。