非线性两点边值问题的反插值Volterra型积分方程解法

付 宇,肖继红,吕 涛

(1.四川大学数学学院,四川成都 610064;2.四川理工学院理学院,四川自贡 643000)

非线性两点边值问题的反插值Volterra型积分方程解法

付 宇1,2,肖继红1,吕 涛1

(1.四川大学数学学院,四川成都 610064;2.四川理工学院理学院,四川自贡 643000)

对原为第一类边值问题的非线性常微分方程采用并行打靶的方法,寻求原问题相对应的初值问题,将其转换为Volterra型积分方程组离散求解,并采用外推技术进一步提高解的精度.同时,对问题的存在性,唯一性,以及算法的收敛性均进行了讨论,并取得较好的数值结果.

二阶非线性微分方程;并行打靶;反插值;外推

0 引 言

我们首先描述二阶非线性常微分方程的两点边值问题的一般形式：其中,α,β为已知常数.

许多文献都讨论过系统(1)的解的存在唯一性问题[1-5],对于系统(1)的数值解的研究,宋兴光做了一定探讨,但其数值结果却不尽详尽或令人满意[6].本文对问题(1)的解的存在性与数值结果都有详尽讨论,并有较好的结果.

考虑与系统(1)相对应的初值问题如下：

1 算 法

(3)式可转化为Volterra型积分方程组,

其中,

这里定义,

现在,我们构造(4)式的离散形式.

取步长 h=1/k,对区间[a,b]进行 k等分,节点为,

则有,

对(5)式中的积分运用复合梯形公式,得离散方程,

算法1：

由算法1可解出,

其中,

2 解的存在唯一性、收敛性及误差估计

对于系统(1)解的存在唯一性有如下定理：

定理1[1]设(1)式中函数f及在区域, Ω={(t,u,u′)|a≤t≤b,-∞＜u,u′＜∞}内连续,并且：

则边值问题(1)的解存在且唯一.对(4)式中定义的 F→,假定存在常数L＞0,使得对任意的满足,

下面讨论算法1的收敛性及误差估计.

引理1[2]如果序列满足e0=0,|ei|≤+A,h足够小,使得Lh＜1,则有,≤HA,这里,

定理2 如果h足够小,则非线性系统(6)的解存在且唯一,并且简单迭代式(7)是收敛的.

证明 首先,假设{u→i},{v→i}都是(5)式的解,则记它们的差为,

利用(8)式,显然有,

当 h足够小,使得,Lh＜1时,则有,

由引理1,此时A=0,所以,‖z→j‖=0.

其次,从简单迭代式(7),并利用(8)式,有,

此说明迭代式是收敛的.

进一步,为了说明迭代的稳定性,令,

由(9)式有,

令 k→∞,则有,

证毕.

定理2说明了算法1的解是存在且唯一的.

为了讨论(4)式的解的误差,先给出如下引理.

引理2[3]令 g(x) ∈C2k+1[a,b],取 h=,则成立梯形公式的渐进展开式,

其中,B2k为贝努力数,

定理3 当 h足够小,存在一个常数c,使得误差,E→i=X→

(tj)-X→j,j=0,1,…,k,则有如下估计,

证明 由引理2,(4)式可以写为,

则有,

由(8)式有,

这里,

当 h足够小,使得 hL＜1,则,

由引理1、2知,

3 外 推

由引理2,(5)式可以写为,

用(12)式减去(6)式得,

其中,

得到其逼近方程,

将(14)式带入(13)式,消去Q→(tj),有,

由引理1,有,

所以,

以上结论意味着可以对算法采用理查德森 h2外推,

4 算 例

考虑如下非线性的二阶微分方程第一类两点边值问题,

本例真解为,

分别取,

进行打靶,由算法1分别计算h=0.05与h=0.025时的误差,做外推得如表1所示结果.

表1 计算结果与外推效果表

从表1数据可以看到,计算结果及外推效果是较为明显的.

[1]余德浩,汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社,2003.

[2]Lu T,Huang Y.Extrapolation method for solving weakly singular nonlinear Volterra integral equations of the second kind[J]. Mathematical Analysis and Applications,2006,324(1)：225-237.

[3]吕 涛,石济民,林振宝.分裂外推与组合技巧[M].北京：科学出版社,1998：18-45.

[4]刘亚平.第一类弱奇异Volterra积分方程的超收敛技术[D].成都：四川大学,2006.

[5]栾世霞,孙钦福,高兰芳.Banach空间二阶常微分方程两点边值问题解的存在唯一性定理[J].曲阜师范大学学报,1999,25(1)：10-12.

[6]宋兴光.Banach空间二阶常微分方程两点边值问题迭代求解[J].应用数学,2000,13(2)：9-13.

Volterra Integral Equation Solution of Reverse Interpolating Obtained from Nonlinear Two-point Boundary Value

FU Yu1,2,XIAO Jihong1,LV Tao1

(1.School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu 610064,China; 2.School of Science,Sichuan University of Science and Engineering,Zigong 643000,China)

Parallel shooting method was used to transform the boundary problem into initial problem,further transform it into integral equations and seek its discrete solution by using trapezoid formula.In order to achieve better precision order,extrapolation techniques were used too.The problems of existence,uniqueness,convergence of the algorithm were discussed,and had good numerical results.

second order nonlinear differential equation;parallel shooting;reverse interpolating;extrapolation

O241.83

：A

2010-03-03.

付 宇(1981—),男,硕士研究生,从事微分方程数值解研究.