Sine-G ordon方程的新精确孤波与周期孤波解

李自田

(曲靖师范学院数学与信息科学学院,云南曲靖 655011)

Sine-G ordon方程的新精确孤波与周期孤波解

李自田

(曲靖师范学院数学与信息科学学院,云南曲靖 655011)

应用变量分离常微分方程方法与辅助常微笑分方程方法得到了Sine-G ordon方程的新精确孤波与周期孤波解.

Sine-G ordon方程;变量分离;辅助常微分方程;孤波解;周期解

0 引 言

长期以来,应用不同的方法寻找非线性发展方程的精确解是广大数学和物理研究工作者的主要目标之一.许多卓有成效的方法被逐渐确立与进一步发展完善,并在解决这些问题中发挥出重要的作用.

众所周知,Sine-G ordon方程来源于许多与物理相关的系统中,其性态在物理和数学方面均得到了广泛的研究[1-5].长期以来,寻找Sine-G ordon方程的精确解在理论和实际应用中均有十分重要的作用和意义,研究者应用不同的方法也获得了一些精确解[6-9].在本文中,通过应用一种变量分离常微分方程方法[10]和辅助常微分方程方法[11]并与符号运算系统相结合,分别得到了Sine-G ordon方程的新精确孤立波解,这在解决其他相关问题中将具有普遍意义.

1 主要结果

我们考虑如下形式的Sine-G ordon方程[12]：

其中,u∶Cx×Cy×R+t→C.

首先,应用波变换将独立变量 x,y和t组合为, ζ=kx+ly-ωt,k,l,ω为特定常数.从而方程(1)可转化为：

1.1 变量分离常微分方程方法

设 u(ζ)满足可分离变量的常微分方程：其中,适合 G(u)的函数可为sine,cosine,双曲sine,双曲cosine.

在本文中,可选取两类适合条件的 u′(ζ)= G(u).

(1)令 u′(ζ)由下列形式的变量可分离的常微分方程确定：

其中,a为任意常数.

将(4)式关于ζ微分得：

把(5)式代入(2)式得：

从而可得：

其中,k,l,a可为任意常数.显然,方程(4)是可分离的,故,

进而两边积分可得下列形式的解：

其中,ζ0为积分常数.

将(6)式代入上述解中可得精确孤波解：

(2)令 u′(ζ)由下列形式的变量可分离的常微分方程确定：

将(7)式关于ζ微分得：

把(8)式代入(2)式得：

从而可得：

类似的,解方程(7)可得解：

以及,

其中,ζ0为积分常数.

进而将(9)式代入上述解中可得：

1.2 辅助常微分方程方法

首先,令,

将(10)式代入(2)式可得：

令,

其中,a0,a1为待定常数,φ(ζ)满足如下常微分方程：

将(12)、(13)式代入(11)式得：

解该方程组得：

进而将(14)、(13)式的解代入(10)式可得方程(1)的解：

其中,ε=±1,ω,a1为任意常数.

2 结 论

在本文中,通过应用变量分离常微分方程与辅助常微分方程方法分别推导出了Sine-G ordon方程的几类新精确周期波解和孤波解,这对解决其他非线性发展方程将具有有益的借鉴作用.

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New Solutions of Precise Solitary Wave and Periodic Solitary Wave for Sine-Gordon Equation

LI Zitian

(School of Mathematics and Information Science,Qujing Normal University,Qujing 655011,China)

A variable separated ODE method and an auxiliary equation method were used to obtain new solitary wave solutions and periodic wave solutions for the Sine-G ordan equation were obtained.

Sine-G ordon equation;variables separation;auxiliary equation;solitary wave;periodic solutions

O29

：A

1004-5422(2010)02-0112-03

2010-01-15.

国家自然科学基金资助项目(10661002);曲靖师范学院科学研究基金资助项目(2009MS007,2009ZD002).

李自田(1972—),男,硕士,讲师,从事偏微分方程研究.