由不等式所想起的

安徽省肥东县二中 王敬锋 (邮编:231600)

合肥市168中学 翟荣宝 (邮编:230001)

我们知道对于n个正常数ai(i=1,2,…,n),由柯西不等式易知:

定理1 对于n个正常数ai(i=1,2,…,n),

构造函数:g(x)=xα-αx+α-1,

x ∈ (0,+∞).因 g′(x)=α(xα-1-1),则g(x)在x∈(0,1)单调下降,在x∈(1,+∞)单调上升,

∴g(x)≥g(1)=0对x＞0恒成立.

所以欲证不等式也成立.证毕.

易知f(-1)是n个正常数ai(i=1,2,…,n)的调和平均数.由定理三易推出结论:f(-∞)≤f(-1)≤f(0)≤f(1)≤f(+∞),这就是我们常用的重要不等式:

总结 由此可见,函数 f(x)的性质反映了许多重要不等式的信息,研究此函数的性质是一件很有意义的事,本文只是抛砖引玉,该函数的更多精彩性质有待大家开发!