求矩阵n次根的矩阵函数法及应用

李媛媛,许 璐

求矩阵n次根的矩阵函数法及应用

李媛媛,许 璐

(江汉大学数计学院,湖北武汉430056)

针对求矩阵n次方根的问题,提出了利用矩阵函数进行求解的方法,通过应用实例的对比,表明了此种方法在特定条件下是简便可行的.

谱;根矩阵;矩阵函数;Lagrange-Hermit插值

n次根的研究在算子理论中有重要意义,应用广泛且至今仍方兴未艾.近年来,由于来自换位提升理论、插值理论以及系统控制理论中某些问题的刺激,许多学者从各方面对方阵n次根的存在性及存在形式进行了深入的研究,并给出了一些判定定理.

本文就计算n次根给出了一种新的算法 ——矩阵函数法,旨在准确快速求出根,尽量减小误差,使计算机在操作中总迭代次数减少.以平方根计算为例,按通常解矩阵方程组方法,若利用n2+2n+3个存储单元,需要n3次乘法和n2(n-1)次加法,若利用2n2+3个存储单元,需要n2次乘法和n2(n-1)次加法,而求立方根等计算量可想而知.本文所叙述的矩阵函数法,其求根过程避免解多元方程组,可使计算量和存储量都大为减少,而且容易编制程序在计算机上实现,大大提高了计算效率和求解效率.

1 概念与引理

定义1[1]设A∈Cn×n,λA={λ1,…,λs;λi≠λj,i≠j}为矩阵A的谱,矩阵A的最小多项式为m(t)=(t-λ1)m1(t-λ2)m2…(t-λs)ms,其中mk≥1(k=1,2,…,s)是矩阵A的λk项的指数.如果 f是一元实值或复值函数,且存在f(λk),f(1)(λk),…,f(mk-1)(λk),k=1,…,s,则称 f为定义在A的谱λA上的函数.

引理1[2]设A∈Cn×n,J是A的Jordan标准型,P∈Cn×n,A=PJ P-1.若函数f(λ)在A的谱上有定义,则 f(A)= Pf(J)P-1= Pdiag[f(J1),…,f(Jn)]P-1,Ji为di×di阶Jordan块,其中

引理2[2]设λ1,…,λs是不同的实数或复数,而m1,…,ms是正整数,m=m1+…+ms.设f是一元实值或复值函数,存在 f(j)(λk)(j=0,…,mk-1;k=1,…,s),则存在唯一的次数不超过m-1的多项式

使得 P(j)(λk)=f(j)(λk)(j=0,…,mk-1;k=1,…,s),其中

式(1)称为Lagrange-Hermit插值公式,λ1,…,λs称为插值点.当m1=m2=…=ms=1时,s=m,

称为Lagrange插值公式.

2 主要结果

定理1 若矩阵A可以对角化,则A可开n次方(n∈N).

证 因为A可以对角化,故存在可逆阵 P,使得 P-1AP=diag(λ1,…,λn)(λi≠0,i=1,…,n),从而A= Pdiag(λ1,…,λn)P-1= P[diag(,…,)]nP-1={P[diag(λ,…,λ)]P-1}n,即 A有一个形如P(,…P-1的 n次方根.

定理2 不含零特征根的复方阵有n次根(n∈N).

证 对 ∀A∈Cn×n,存在可逆阵 P,使得 P-1AP=J,其中,J=diag(J1,J2,…,Jr),Ji为di×di阶Jordan块.由A不含零特征根,即λi≠0,从而函数 f(λ)=λ1/n在A的谱上有定义,且有

由引理1可知

所以

标准型的矩阵.

定理3 若矩阵A的Jordan标准型中没有以0为特征值的1阶以上的Jordan块时,则A可开n次方.

…,Jr都没有0为特征值,从而A的一个n方根为

定理4(求矩阵n次根的矩阵函数法) 当多项式 P(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+am-1λm-1满足 P(k)(λi) =)(k)时,有A1/n=a0E+a1A+a2A2+ …+am-1Am-1,其中 ai由 P(k)(λi)=(k)决定.

证 在引理2中,取 f(λi)=,用Lagrange-Hermit插值公式确定ai,得到 f(A)=A1/n的逼近函数 P(A),即A1/n=a0E+a1A+a2A2+…+am-1Am-1.

3 应用实例

当然,A还有其他形式的平方根,只需取不同形式的J1/n(仅是符号的差别以及若当型排列次序的差别)代入即可.

解法二(矩阵函数法) A的最小多项式m(λ)=(λ-2)2,P(λ)=a0+a1λ,P(1)(λ)=a1,f(2)= a0+2a1,f(1)(2)=a1,解得 a1=f(1)(2),a0=f(2)-2f(1)(2),所以,f(A)=a0E+a1A=.取 f(λ)=λ1/2,有代入上式得.取 f(λ)=λ1/n,有

与解法一相比,解法二省去了求 P,P-1的过程.

例2 设J=Jm(λ)是特征值为λ的m阶Jordan块,λ为复数,则J能开方的充要条件是:m=1或m≥2.求m≥2时的平方根形式.

解(证明见文献[4],其实很显然) 文献[4]求J的平方根的解法是:通过矩阵相乘得出方程组,解方程组得出各项的规律,然后归纳总结出各项的具体形式,整个解法比较直接,但是过程比较繁琐.现利用矩阵函数的方法求解.取 f(λ)=λ1/2,则

4 结束语

本文针对求矩阵方根的问题,提出了利用矩阵函数进行求解的方法,并且给出了利用矩阵函数法求解矩阵方根的实例.对比表明,该方法是简便可行的.但是,当矩阵存在两个以上的零特征根时,由于不能保证函数在矩阵的谱上有定义,就不能直接利用该方法了.

[1]陈景良,陈向辉.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,2001:121;539-541.

[2]史昌荣.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,1995:193-196.

[3]朱德高.一个Jordan块的平方根矩阵[J].数学物理学报,1999(3):318-321.

[4]Li Yuanyuan.The Nonlinear matrix Equation and its Applications to Graph Theory[C].ICICIC2008(Third International Conference on Innovative Computing,Information and Control).

[5]Li Yuanyuan.The general solution of Nonliear Matrix Equation[J].广西大学学报:自然科学版,2008,33(1):83-86.

[6]李媛媛.矩阵m次根的赋范性质[J].周口师范学院学报,2008,25(2):11-14.

Them-th root of a matrix

LI Yuanyuan,XU Lu
(School of Mathematics and Computational Science,Jianghan University,Wuhan 430056,China)

Them-th roots of a matrix has been considered.The form of its solution has been found by the matrix functions.And gave some application examples,the method of the matrix functions is simple in specific conditions.

spectrum;root matrix;the matrix function;Lagrange-Hermit interpolation

O151.21

A

1671-9476(2010)05-0010-04

2010-05-10

2008武汉市属高校科研资助项目(No.2008K050)

李媛媛(1974-),女,安徽桐城人,讲师,硕士,主要从事组合矩阵论及其应用研究;“基于准谱的矩阵代数根问题算法设计及应用”项目负责人.