含能流的三比特伊辛自旋链中的基态纠缠

刘 丹

(大连民族学院理学院,辽宁大连 116605)

含能流的三比特伊辛自旋链中的基态纠缠

刘 丹

(大连民族学院理学院,辽宁大连 116605)

研究了含能流的三比特伊辛自旋链中的基态纠缠。在体系中引入能流后,磁场的变化将会导致系统进入能流相。基态纠缠在相变临界点处发生突变,两粒子之间的纠缠由于能量的流动而得到增强。关键词:纠缠;能流;量子相变

量子纠缠在量子信息和量子计算领域有着非同一般的地位和作用。在最近的研究中,人们认识到对于许多量子多体系统的描述和理解,量子纠缠起到十分重要的作用,如超导[1]和量子相变[2]。在这些系统中,低维量子自旋系统,尤其是确切可解的一维量子自旋系统(自旋链)的研究已经引起了研究者的广泛关注。自旋链是固态系统中的一种天然实现纠缠的方法,它不仅在量子传输中有很大的作用,而且表现出了非常丰富的纠缠特性。1983年,Haldane等人针对整数自旋的一维 Heisenberg链进行了研究[3-4],随后越来越多的研究者投入到自旋链的理论和实验探索中。在量子信息科学范畴内,人们研究了大量具有各种相互作用、自旋表示、各向异性的自旋链模型[5-7]。

由于一维量子自旋系统展示出许多反应量子本质的有趣现象,自旋链已经成为理论和实验研究的热点。许多与守恒定律相关的一维可积量子多体系统呈现出反常的无耗散输运行为[8],已经证明在这些系统中能量的输运(能流)与第一守恒定律紧密相关[9]。Antal和 Rácz等人提出了一种研究非平衡稳态 (系统的基态)的方法[10-11],通过在横磁场伊辛自旋链系统中分别引入能流来研究非平衡稳态的量子性质,并考察能流对系统量子性质的影响,如长程关联、相图等。已有结果表明,在 XY自旋链中引入能流会对基态纠缠性质产生影响[12]。本文主要探讨横磁场伊辛自旋链系统的纠缠性质,通过引入能流,考察体系非平衡稳态的能谱和纠缠性质,同时考察能流所引起的量子纠缠和量子相变的变化。

1 含能流的伊辛模型

沿 Z方向横磁场中伊辛自旋链的哈密顿量具有如下形式[10]:

此时,容易发现宏观能流和系统哈密顿量是对易的,即 [JM,Hx,y]=0。目的是研究当自旋链含能流时的基态纠缠情况,因此需要构建一个等效哈密顿量,使该等效哈密顿量的本征态可能携带能流。而由宏观能流算符与伊辛自旋链哈密顿量的对易性,能够知道系统哈密顿量与能流算符具有一系列的共同本征态。因此,利用 Lagrange乘子法,通过将能流算符加到系统哈密顿量 H上的方法在系统中引入能流。而此时的等效哈密顿量的具体表达式为

式中,λ是拉氏乘子,它用来表示所引入的能流的强度。为了不失一般性,可以假设 h≥0和λ≥0。此时等效哈密顿量 H的任一本征态必定仍为哈密顿量 HI的定态,该本征态将可能携带由 JE给出的能流。这里主要研究 HI的携带能流的最低能级态。则哈密顿量 H的基态也就是 HI在零温度时携带能流的非平衡稳态,最低能级为磁场 h和能流 J〈JE/N〉的函数。值得注意的是,H只是数学上构建的用来找到 HI非平衡态的另一平衡哈密顿量,系统仍在 HI控制下演化。

2 哈密顿量的能谱

为了简化讨论,这里只讨论简单的由三个比特构成的链状系统。由于 JE和 HI对易,可以利用对角化 HI的方法对角化 H,得到的能流态为 HI的定态。

将等效哈密顿量对角化,即可得到其能谱为

从三比特伊辛自旋链的等效哈密顿量的能谱能够看出,本征值 E1,E2,E3和 E4与λ无关,而能级 E5—E8都为λ的函数。这就是说,当自旋链处于 E5,E6,E7和 E8之中的任一能级时,能量会流动。另外,当λ=0时,能级 E5,E7及 E6,E8是简并的,即 E5=E7,E6=E8。当λ≠0时,即在自旋链中引入能流后,这种能级简并现象将消除。对比所有能级,很容易发现对于不同 h和λ,E1或者E5可能为最小值,即最低能级。

E1随 h的变化曲线和不同λ时 E5的变化如图1。可以发现,对于某些 h和λ,E1和 E5存在能级交错,这时系统发生量子相变,由无能流相进入能流相。能级交错点可表示为当λ减小时,对应于能级交错的 h会增大。利用

图 1 随磁场 h变化,能级 E1(实线)和 E5在λ(虚线)取不同值时的变化

3 基态纠缠

在研究基态纠缠时,我们采用多重熵积度量方案[13](multiple entropy measures,MEMS)来度量纠缠。对于三比特体系,单比特的约化密度矩阵的 von Neumann熵积即相当于考虑了单个比特与另外两个比特之间的纠缠关系,因此只需计算单比特熵积即可。已经证明[13],MEMS定义下的GHZ(Greenberger-Horne-Zeilinger)类纠缠态的单粒子熵积为1,W(Werner)类纠缠态的单粒子熵积为 0.774。

对于不同 h和λ,可得出系统的可能基态。对于 E1,H的本征态为而对于 E5,基态波函数为

利用MEMS度量方案,可求出 φ1,φ5的纠缠度。波函数 φ1的纠缠度为

对于本征态 φ5,很容易看出这是一个W态,因此它的纠缠度值为 0.774。

如上所述,当λ》1/3时,系统基态能级可能会出现能级交错,如果λ≤1/3时,则不会出现能级交错。因此,本文主要讨论前一种情况。当λ≤1/3时,E1是基态能级,因此 φ1为基态。当λ》1/3时,基态存在两个不同的量子相,即无能流相 (h《hc)和能流相 (h》hc)。量子相变临界点的磁场为 hc=2(2 3λ-1)/(3λ2-1)。在无能流相,本征态 φ1为基态,能流 J=〈JE/N〉=0。当磁场 h超过它的临界值 hc时,基态从 φ1跳跃到 φ5而进入能流相,〈JE/N〉=3h/3。这里以λ为例进行讨论,此时相变临界点的磁场为 h

c=2。基态的纠缠变化如图2,在能流相,纠缠度恒为 0.774。也就是说,在临界点 hc=2,基态的纠缠会随磁场 h的变化而出现突变,这意味着能流的引入增大了两比特的纠缠程度。

图2 λ=时自旋链基态纠缠随磁场 h的变化曲线

4 结 论

本文在横磁场三比特伊辛自旋链中引入能流,然后详细研究这个模型的基态纠缠。证明了能流的引入导致了在λ》1/3情况下出现量子相变。当磁场超过它的临界点时,系统基态进入能流相,能量开始流动,从无能流相进入能流相,纠缠基态跃变为W态。

[1]T INKHAM M. Introduction to superconducitivity[M]. New York:McGraw-Hill,1996.

[2]SACHDEV S.Quantum phase transitions[M].Cambridge:Cambridge university press,2001.

[3]HALDANE F D M.Continuum dynamics of the 1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O (3) nonlinear sigma model[J].Physics Letters A, 1983,93:464-468.

[4]HALDANE F D M.Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets:semiclassically quantized solitons of the one-dimensional easy-axis neel state [J].Physical Review Letters,1983,50:1153-1156.

[5]BOSE S.Quantum communication through an unmodulated spin chain[J].Physical Review Letters,2003,91: 207901.

[6]BENJAM IN S C,BOSE S.Quantum computing with an always-on Heisenberg interaction[J].Physical Review Letters,2003,90:247901.

[7]WU L A,SARANDYM S,L IDAR D A,et al.Linking entanglement and quantum phase transitions via density -functional theory[J].Physical Review A,2006,74: 052335.

[8]ZOTOS X,PRELOVSEK P.Transport in one dimensional quantum systems[J/OL].Condensed Matter,2003, [2003-05-05].http://arxiv.org/abs/cond-mat/ 0304630v2.

[9]ZOTOS X,NAEF F.Transport and conservation laws [J].Physical Review B,1997,55:11029-11032.

[10]ANTAL T,RACZ Z,SASVAR I L.Nonequilibrium steady state in a quantum system:one dimensional ransverse Ising model with energy current[J].Physical Review Letters,1997,78:167-170.

[11]ANTAL T,RACZ Z,RAKOSA,et al.Isotropic transverse XY chain with energy and magnetization currents [J].Physical Review E,1998,57:5184-5189.

[12]L IU Dan,ZHANG Yong,L IU Yang,et al.Entanglement of the ground state in an isotropic three-qubit transverse XY chain with energy current[J].Chinese PhysicsLetters,2007,24:8-10.

[13]L IU Dan,ZHAO Xin,LONG Guilu.Extremal entangled four-qubit pure states with respect to multiple entropymeasures[J].Communications in Theoretical Physics,2008,49(2):329-332.

(责任编辑 邹永红)

Ground-state Entanglement in a Three-qubit Ising Cha in with an Energy Current

L iu Dan
(College of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China)

The ground-state entanglement in a three-qubit Ising chain with an energy current is studied.The system will enter the energy current phase due to changes in the magnetic field, after an energy current is introduced into the system.And the ground-state entanglement varies suddenly at the critical point of phase transition.The entanglement between two particles is enhanced due to the energy current.

entanglement;energy current;quantum phase transition

book=9,ebook=230

O413.1

A

1009-315X(2010)05-0446-03

2010-06-13

辽宁省教育厅高等学校科研项目计划资助项目 (2008130);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC10040119)。

刘丹 (1979-),女,湖南益阳人,讲师,博士,主要从事量子光学与计算研究。