中矩形公式的注记

周旭，丁丽兵，庹云义，王成伟

（北京服装学院 a. 材料科学与工程学院；b.基础教学部，北京100029)

中矩形公式的注记

周旭a，丁丽兵a，庹云义a，王成伟b

（北京服装学院 a. 材料科学与工程学院；b.基础教学部，北京100029)

中矩形公式具有一次代数精度，其代数精度低。为了解决这个弊端，对推广的中矩形公式中间点的渐近性质进行论证，并由此得到校正的中矩形公式，它具有三次代数精度。通过实例进行数值验证，结果表明，校正的中矩形公式计算精度大为提高。

中矩形公式；中间点；渐近性质；代数精度

0引 言

积分中值定理在高等数学中具有重要的理论意义，对积分中值定理中间点的渐近性质的研究也已经取得了一些成果[1-5]，但对数值分析中的数值求积公式中间点的渐近性质尚未展开研究。本文对数值求积推广的中矩形公式中间点的渐近性质进行全面论证，并给出了令人满意的结果。由此得出的中矩形公式具有三次代数精度。通过实例进行数值验证，结果表明，校正的中矩形公式计算精度大大提高。

1定理及证明

为了定理及证明的需要，先给出两个引理：

引理1[6]（中矩形公式）设函数f(t)在闭区间[a,x]内连续，在开区间(a,x)内二阶可导，则有：

引理2[7]（推广的中矩形公式）设函数f(t),g(t)在闭区间[a,x]内连续，在开区间(a,x)内二阶可导，并且在开区间(a,x)内，则有：

定理设函数f(t),g(t)满足条件：

（1）在[a,x]上连续；

证明构造辅助函数

在[a,x]上对f(t)及g(t)应用引理1和引理2，得：

此外，将（3）式两端直接取极限，并反复应用洛比达法则，得：

在上述定理中，令n=1,可得到如下推论：

推论1 设函数f(t),g(t)满足条件：

（1）在[a,x]上连续；

推论2 设函数f(x)在闭区间[a,a+h]上可导，则数值求值公式为：

校正后的中矩形公式具有三次代数精度。而中矩形公式只有一次代数精度。在（1）式中，令，可得到对应于（1）式的校正的中矩形公式(11)。校正的中矩形公式(11)比中矩形公式的代数精度提高了二次。

2应用举例

将[例1]分别运用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式计算，计算结果见表1。

[例2]积分

将[例2]分别运用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式计算，计算结果见表2。

由表1、表2可知，校正的中矩形公式与中矩形公式相比较，计算精度大大提高；校正的中矩形公式与辛浦生矩形公式相比较，计算精度相当。

表1求积公式在[例1]中的计算结果及绝对误差

表2求积公式在[例2]中的计算结果及绝对误差

[1]王成伟，张小燕.第一积分中值定理中间点的渐进性[J].北京服装学院学报，2000，20(1):73-75.

[2]王成伟.一类积分中值定理及中间点的渐进性质[J].北京服装学院学报，2002，22(2):68-71.

[3]郑权.积分第一中值定理中的ξ在数值积分上的应用[J].工科数学，2002，18(5):111-116.

[4]吴至友，夏雪.积分第二中值定理“中间点”的渐近性[J].数学的实践与认识，2004，34(3):170-176.

[5]王成伟.积分型柯西中值定理中间点的渐进性质[J].北京服装学院学报，2005，25(3):42-44.

[6]陈明逵，凌永祥.计算方法教程[M].西安:西安交通大学出版社，1992:128-129.

[7]SU, H M,HUANG,Y D.A Remark on Mid-rectangle Formula and Trapezoid Formula[J].College Mathematics，2005，21(6):49-52.

[责任编辑：王玮明]

A Remark on Mid-rectangle Formula

ZHOU Xua, DING Libinga, TUO Yunyia, WANG Chengweib
(a. School of Materials Science and Engineering; b. Department of Fundamental Courses, Beijing Institute of Fashion Technology, Beijing, 100029, China)

With algebraic accuracy of one degree, the mid-rectangle formula has low algebraic accuracy. For improvement, the paper first studies the asymptotic behavior of the generalized mid-rectangle formula, and then obtains the corrected formula with algebraic accuracy of three degrees. After the numerical experiments, it shows that the new formula has greatly improved in its accuracy.

Mid-rectangle formula; Mediant; Asymptotic behavior; Algebraic accuracy

book=1,ebook=15

O 172.2

A

1671-4326(2010)01-0047-04

2009-09-21

北京市教育委员会科技发展计划面上项目（KM201010012010）；北京服装学院大学生训练计划项目（110901000801）

周 旭（1989—），男，江苏扬州人，北京服装学院材料科学与工程学院本科生；

丁丽兵（1988—），女，河北邢台人，北京服装学院材料科学与工程学院本科生；

庹云义（1986—），男，重庆彭水苗族土家族人，北京服装学院材料科学与工程学院本科生；

王成伟（1962—），男，山东烟台人，北京服装学院基础教学部副教授，硕士.