几何画板在高中数学教学中的应用

刘 虹

浙江省富阳市第二中学 浙江富阳 311400

几何画板在高中数学教学中的应用

刘 虹

浙江省富阳市第二中学 浙江富阳 311400

几何画板是一款相对精确的数学作图软件，更是一个方便实用的“数学实验”，它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。本文结合几何画板在高中数学方面的实际应用，就几年来的对几何画板辅助教学的探索谈谈自己的一些体会。

高中代数教学 几何画板 动态教学 信息技术辅助教学

几何画板是一款优秀的专业学科教学平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。该软件短小精悍，功能强大，能动态表现相关对象的关系，它使枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“动态教学”，真正向创新型教育教学发展。作为高中数学教师应该如何合理、恰当的使用“何画板辅助教学呢？在此，本人就几年来的对几何画板辅助教学的探索谈谈自己的体会。

一、几何画板在教学中的作用

利用几何画板把计算机引入高中数学教学课堂，使高中数学的课堂教学和学生的学习得到优化，学生学习数学的兴趣得到提高，教学效果明显提高。对于在新课程改革下，利用几何画板进行数学课堂教学，通过探索与实践，主要得到以下几点体会：

1.调动学生学习的主动性，激发学生学习数学的兴趣

在教学中运用几何画板画出图形，按照老师提出的问题，拖动着点、线、面，测算着角、线段、面积，还有动画、移动、隐藏、变换等，有时还可以互相讨论并提出自己的猜想和发现，有时为自己的发现而大声疾呼，有时为一个问题而争论得面红耳赤，教室里可谓是生机盎然。这样的课堂才是“活”的课堂。在数学课堂中合理应用几何画板，改变学生学习的方式，激发了学生的学习兴趣，使得学生由“要我学”变为“我要学”。

2.由静到动，揭示几何精髓

几何是在运动中把握不变规律的科学，其精髓就是在不断变化的图形中，研究不变的几何规律。设想一下，我们能够在黑板上画出经过两点的所有的圆吗？我们能够在黑板上让一个点在椭圆上任意运动，并能看出这个点到两定点（椭圆的焦点）的距离之和是个固定的常数吗？只要一涉及运动，传统的教具就黯然失色。而用几何画板展现动态几何，打破了传统尺规的教学方法，为几何学的教改及创新教学模式注入了无限的活力。

3.把“数学实验”引入数学

有了几何画板，就为老师和学生提供了演示和学生动手做实验的可能性，传统教学中学生一般是从老师那里被动地接受事实，而几何画板给学生提供了更多的动手机会，学生以研究者的身份学习几何，突出了学生的主体地位，使学生由“听数学”转为“做数学”，从被动地学习变为主动地发现探索式学习。

4.改变课堂教学模式，提高教学效率，培养学生的创新精神

建构主义认为，学习者与周围环境的交互作用，对于学生学习内容的理解起着关键的作用，利用几何画板在变动的情况下，可以保持不变的数学关系，为学生创造了一种以学生为中心，使学生自主学习和协作学习的环境。使学生真正成为了数学课堂教学中的主体，而教师却成为了学习活动的设计者和组织者，真正在课堂教学中起到主导作用。

二、几何画板在高中数学中的应用

1.几何画板在高中代数中的应用

“函数”是中学数学代数中最基本、最重要的部分，它的概念和思维方式渗透在整个高中数学的各个环节，而且函数本身就是用来反映现实世界里的一种以动态形式存在的数量之间的关系。函数有三种重要的表示方式：解析式、表格和图像。在研究函数的一些重要的性质时，常常通过数形结合来解决一些数学问题。以前在传统教学中，为了解决这些数学问题时，我们往往徒手作图，但徒手作图并不是很精确，而且速度较慢；而应用几何画板，函数的精确图像可以快速、精确、直观的显示出来，这样可以大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。

(1)可直接绘制函数、导函数以及函数的切线，对研究函数的性质有指导性的作用。

(2)简洁、准确地实现函数图像的作图过程。

如：《指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的图像和性质》一节的教学中，利用几何画板进行列表、描点、绘图，得到函数图像的过程清晰、准确。

(3)能动态演示函数图像的变化，形象直观地理解函数解析式中参数的意义。

利用几何画板制图，可以随时调整各种参数，使图像在不同的参数下改变以便于比较。通过控制变量的变化，使学生更好地理解问题中各个变量的关系以及意义。而且师生间还可以很好的“协作”，允许学生对一切想探试的值进行探试，来加深对这一问题的认识。例如在讲授函数y＝Asin(ωx+φ)的图像时，要用几个课时的时间分别对A、ω、φ的不同取值做出图像，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索。现在用几何画板展示“y=Asin(ωx+φ)的图像”，让学生分别拖动控制按钮A、ω、φ，就可以真正观察到函数图像生成的变化过程及结果（如图1）。

图1

(4)能便于比较多个函数之间的图像关系。

要研究函数的性质，我们通常要在同一个平面直角坐标系中，根据函数的解析式作出一个或多个函数的图像，通过函数图像的比较对学生进行函数性质的教学。例如：在幂函数的教学中，要求作出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，的图像，并进行比较，显然如果用手工作图的话，不但耗费大量时间，更加无法保证精确性，像几个函数图像的公共点(1,1)就无法精确的呈现在学生面前，进而对函数性质的把握也就无法保证了。但是，利用几何画板我们就可以轻松解决上述问题，不但图像可以精确到点，更可节省大量时间来进行函数性质的研究（如图2）。

图2

(5)动态地演示函数中的对称关系。

在讲解三角函数的中心对称与轴对称时，利用几何画板的功能可以制作旋转动画，动态地演示函数的对称关系。特别是正切函数的对称问题中，学生对对称点比较好发现和理解，往往是对对称中心掌握得不很理想。利用几何画板制作旋转动画（如图3）就可以欣赏正切函数图像旋转后与原图像重合的动态过程。

图3

几何画板除了在函数教学方面的应用以外，在高中代数的其他教学方面也有很多用途。如在解决方程和不等式的解的情况、研究递推公式中an+1和an间的关系等等。

2.几何画板在高中立体几何中的应用(可考虑用立体几何画板来替代)

立体几何是以公理为基础的，根据图形的点、线、面的关系来研究三维空间图形的性质。在教学过程中我们通常是在一个平面中作出一个三维空间的图形，而由于多数学生缺乏丰富的空间想象能力，且依赖于平面图形的直观感，从而这部分学生往往把平面中的三维空间图形直观的看成二维的平面图形，但二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，因此在解决三维空间图形问题时往往产生严重的偏差。为了引导学生走出这个误区，在以往的教学中，我们通常拿实物，对学生进行讲解，并逐步引导学生走近平面中的三维空间图形，逐步培养学生的空间想象能力，速度较慢。而利用几何画板通过拖动一些点使平面中的三维空间图形运动起来，从不同的角度把三维空间图形中各个元素之间的位置关系和度量关系生动的展现在学生的面前，从而把学生的直观认识和抽象认识巧妙的联系起来，这样更能帮助学生理解和接受在平面中的三维空间图形，更能培养学生的空间想象能力。这极大地激发了学生学习几何的兴趣，也使学生对几何的“动”的特点有了深刻的、具体的理解，为以后用运动的观点思考、研究几何问题打下基础。

3.几何画板在高中平面解析几何教学中的应用

平面解析几何的实质是利用代数的方法来研究平面几何问题的一门数学学科。

(1)轨迹问题：求轨迹的基本思路和基本方法是：①根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系；②在轨迹上任取一点，且设点的坐标；③列出相关的恒等式，并化简恒等式；④得到轨迹的方程。

通过建立点的轨迹方程，把所研究的平面曲线转化为研究数的问题，再通过解决数的问题来解决平面曲线的问题，但是曲线与方程之间的对应关系比较抽象，学生不是很能理解，但通过几何画板利用点的运动把几何图形生动的展现在学生面前，从而使学生直观看到的点的变化，也可以容易决定如何建立适当的平面直角坐标系。

(2)线性规划中，通过目标函数图象的动态运动能展现问题的本质。特别借助于网格可以更轻松地解决实际应用中的整点问题。

(3)直线与圆锥曲线的位置关系。如：在研究直线l:y=x+b和半圆的交点的个数情况时（如图4）。直线l是指在b的取值不同时的一组平行直线，可以利用“几何画板”在y轴上任取一点A，且过点作出斜率为l的直线l，通过拖运点A，就能得到一组动态的直线，同时使学生直观的看到直线l与半圆的交点的变化情况，较容易得出结论。能进一步的培养学生利用数形结合来解决解析几何问题的能力。

图4

三、关于“几何画板”的一些思考

1.在课件制作过程中一定要注意不能用计算机代替教师的工作,也不能放弃粉笔和黑板；计算机只能起辅助教学的功效。教师生动的讲授、师生相互间的交流、学生的练习,是教学过程中必不可少的环节。教师必须处理好计算机辅助的含义,才能做好课件、发挥课件的真正作用,完成教学任务。

2.关于几何画板课件的制作，不是所有的课件都要制作，一些基本的素材可以收集为己用，但要结合学生实际，不要为了课件而课件。教学过程中运用几何画板时，教师必须准确把握几何关系。所以，一个教师要想使用几何画板作为教学辅助工具上好数学课,必须认真备课,精心编排自己的教学课件。一个课件的演示在课堂也许只要几分钟，课外却要有几个小时,甚至更多时间的思考和制作,这就需要教师在教学设计方面付出更多的时间和精力,才能收到良好的教学效果。

3.鉴于几何画板的动态和形象生动等特点,可以充分调动学生学习数学的积极性,激发学习兴趣,变学生的“要我学”为“我要学”。如果有条件，可以对学生进行培训，让学生们掌握几何画板，并在课堂上使学生们直接参与到课堂教学活动中，在动手操作中学习数学、钻研数学。这恰好符合新课标的教学理念，从学生的最近思维点入手组织教学活动，教学行为更要具有针对性。

4.教学过程要注重“问题引导学习”，而这种由问题引入进而实验探究的教学模式下，不再是直接由教师给出结论，而是由师生共同进行问题探究、观察现象、度量数据、分析统计、归纳总结、猜想验证、得到结论，形成“猜想”→“演示”→“证明”→“探究”的教学模式，课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习（研究）兴趣，不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣，学生动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到了很好的锻炼，教学效果也比较好。

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2010-01-29

刘虹，本科，中教一级。