23阶及32阶群的结构

何 美，刘小川

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009）

23阶及32阶群的结构

何 美，刘小川

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009）

通过有限群中元素的阶与群的阶的关系，利用有限群的定义讨论了23阶及32阶群的结构，在同构的意义下给出所有的23、32阶群.

有限群定义 置换群 循环群

1 符号意义

＜a＞表示由a生成的循环群.Sn表示n元置换群，其中元素用（i1,i2,…,ik）表示，其中i1，i2，…，ik是1到n的自然数.元素a的阶用o(a)表示，群G的阶用｜G｜表示.

2 理论基础

定义1如果一个带有一种二元运算·的有限集合G满足以下条件：

1）二元运算·(也叫乘法)满足结合律；2）二元运算·满足消去律.

则称集合G对于这个二元运算是一个有限群.

定义2如果一个带有一种二元运算·的有限集合G满足以下条件：

3）二元运算·（也叫乘法）满足结合律；

4）在代数运算表中，同一行、同一列中没有相同元素.则称集合G对于这个二元运算是一个有限群.定理1在有限群中，元素的阶是所在群的阶的因子.

定理2任意一个有限群都与一个置换群同构.

3 阶为23的群

｜G｜＝8

3.1 循环群

如果G中存在一个8阶元素，则G与G0＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8）＞同构.

3.2 非循环群

如果G中不存在8阶元素，则G中任意非单位元的元一定是2阶或4阶的.

如果存在a∈G，且o（a）＝4，则H＝｛1，a，a2，a3｝是G的子群.∀b∈G，b∈H，有Hb＝｛b，ab，a2b，a3b｝是G的子集，且H∩Hb＝Φ，H∪Hb＝G.

1)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝ab，则由如下运算表1:

表1 有2、4阶元素可换8阶群的运算表

于是得G与置换群G1＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，3）（2，4）（5，6），（1，4，3，2）（5，6），（5，6），（1，2，3，4）（5，6）｝同构.

2)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a3b，则由群的定义有以下运算,见表2：

表2 有2、4阶元素不可换8阶群的运算表

于是得G与置换群G2＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，2）（3，4），（2，4），（1，4）（2，3），（1，3）｝同构.

3)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a2b，则由群的定义的封闭性有以下运算：

ba2b＝（ba）（ab）＝a2bab＝a2（ba）b＝a2a2bb＝1，得 a2b＝b，这是不可能的，所以不存在这样的8阶群.

4)如果G中存在两个4阶元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a3b，由群的定义有以下运算表3：

表3 有两个4阶元素的8阶群的运算表

于是，G与四元数群 G3＝｛（1），（1，2，3，4）（5，8，7，6），（1，3）（2，4）（5，7）（6，8），（1，4，3，2）（5，6，7，8），（1，5，3，7）（2，6，4，8），（1，6，3，8）（2，7，4，5），（1，7，3，5）（2，8，4，6），（1，8，3，6）（2，5，4，7）｝同构.

5)如果G中存在两个4阶元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a2b，由群的定义的封闭性有以下运算：（ba）2＝（ba）（ba）＝a2bba＝a2b2a＝a≠1，（ba）4＝（ba）2（ba）2＝a2≠1，这是不可能的，所以不存在这样的8阶群.

6)如果G中存在两个4阶元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝ab，则（ab）2＝1，即ab是2阶元素，且是可交换的，于是的G与G1同构.

3.3 无4阶元素群

如果G中不存在8、4阶元素，则G中任意非单位元的元一定是2阶的，从而得到群G一定是交换群.

设有三个不等的二阶元素a，b，c，则a2＝1，b2＝1，c2＝1，ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，由群的定义有以下运算表4：

从而得G与置换群G4＝｛（1），（1，2），（3，4），（5，6），（1，2）（3，4），（1，2）（5，6），（3，4）（5，6），（1，2）（3，4）（5，6）｝同构.

于是得到，8阶群共有5个，即为G0，G1，G2，G3，G4.

表4 无8、4阶元素的8阶群的运算表

4 阶数为32的群

｜G｜＝9

4.1 9 阶循环群

如果 G中存在一个 9阶元素，则 G＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8，9）＞.

4.2 9 阶非循环群

如果G中不存在9阶元素，则G中任意非单位元的元一定是3阶的.

设a，b是两个不同的3阶元，则a3＝1，b3＝1，H1＝｛1，a，a2｝、H2＝｛1，b，b2｝是G的子群，且H1∩H2＝｛1｝，于是，G＝｛1，a，a2，b，b2，ab，a2b，ab2，a2b2｝，而且ba＝ab，否则，若ba＝a2b，则（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b）＝bab2＝a2bb2＝a2≠1；

若ba＝ab2，则（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ab2）（ba）（ba）＝a2ba＝a2ab2＝b2≠1；

若ba＝a2b2，则（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b2）＝baba3b2＝ba≠1；

所以ab＝ba.于是有如下运算表5：

所以，G与置换群G＝｛（1），（1，2，3），（1，3，2），（4，5，6），（4，6，5），（1，2，3）（4，5，6），（1，3，2）（4，5，6），（1，2，3）（4，6，5），（1，3，2）（4，6，5）｝同构.

于是得到，9阶群都是Abel群，共有两个.

表5 非循环9阶群的运算表

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The Structure of the Groups in Order 23and 32

HEMei,LIU X iao－chuan
（School ofMathematic and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

Based on the relationship of the order of group and element in finite group，using the definition of finite group，this paper discusse all the structure of the groups in order 32and 23in isomorphism.

O152

A

〔编辑 高海〕

1674-0874(2010)04-0012-03

2010-01-25

何美（1966-），女，山西大同人，副教授，研究方向：有限群.

W ords：the definition of finite group；permutation groups；cycle group