正弦波形参数拟合方法述评❋

梁志国,孟晓风

(1.北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,北京 100191;

2.长城计量测试技术研究所计量与校准技术国防科技重点实验室,北京 100095）

0 引 言

自然界中有许多现象可视为正弦现象,如振动、摆动、波动等,有许多技术借助于正弦波实现,如广播、电视、通讯、导航中的调频、调幅、调相等.从原理上讲,有许多问题可以归结为正弦问题.正弦参数的估计因而具有特别的意义和价值.数学上,幅度、频率、相位和直流偏移 4个参数唯一确定了一条正弦波形曲线.狭义的正弦模型即为其数学模型,仅包含 4个模型参数,这也是正弦参数估计的基本目标.实际上,人们所获得的物理世界的正弦波并非理想的数学模型,而是其数学波形的一种近似,或是其被污染后的一种表现形式.因此,有了广义的正弦模型即为其物理模型,除了其基本的 4个参数以外,又引出了众多的描述波形不理想程度的相应参数,例如噪声、谐波、次谐波、杂波、抖动、调制等参数.通常,人们进行正弦参数估计均使用有限长采样序列,序列长度、采样序列中含有的波形周期个数、采样量化误差、非线性误差等条件,都限制和影响了正弦参数的估计.而某些情况下,已知频率、已知直流偏移等条件又可以为其它参数的估计所借用.可以认为,实际工作中的正弦模型是一种物理模型基础上的条件模型,有多种特殊的已知条件,如采样序列“恰好”含有整数个信号波形周期的同步采样条件,或者信号频率已知,均可以极大简化正弦参数估计的难度.而量化误差、非同步采样、甚至仅有远少于一个波形周期的残周期条件下,将使得正弦参数估计变得极为困难,同时,也将增大估计误差.另外一些场合,人们仅需要估计某些单一的正弦波形参数,如频率、幅度或相位,这时,对其它参数的估计可以不予考虑或放在次要地位.

实际上,有多种正弦参数估计方法,如时域法、频域法、值域法、变换域法等,其特点各不相同,有的实时性好、有的精度高、有的鲁棒性好、有的可用于残缺波形估计等,不同的特点可适应不同的要求.本文所述内容,将主要介绍和讨论正弦波形参数拟合方法所取得的进展和面临的问题.

1 正弦参数的曲线拟合方法

用正弦波的一组有限长采样序列进行波形拟合,主要是通过改变拟合正弦函数的幅度、频率、相位和直流偏移,使拟合函数和采样序列各点的残差平方和最小,获得正弦波形序列最小二乘拟合结果.

1.1 三参数正弦曲线波形拟合

三参数正弦曲线波形拟合,特指信号频率已知时获取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法,它是一种闭合算法,无须迭代即能获得结果,没有收敛问题,具有良好的实用性,文献 [1]介绍了其算法.

1.2 四参数正弦曲线波形拟合

1.2.1 正弦曲线拟合方法的比较研究

四参数正弦曲线波形拟合,是从波形采集序列中估计出正弦波的幅度、频率、相位和直流分量.

John Kuffel等人 1987年从以下几个方面对正弦波拟合软件方法进行了比较[2]:①相对精度;②绝对精度;③ 效率;④收敛性;⑤运行时间;⑥残差形式;⑦鲁棒性.分别使用两种方法比较了几种拟合程序的性能:①仿真量化数据法——考查绝对精度;②实测数据法——考查相对精度.集中讨论了3种拟合程序与方法:

1)方法 1:单参数线性搜索(顺序搜索);

2)方法 2:初始预估计+单参数线性搜索(顺序搜索);

3)方法 3:基于一阶泰勒展开的牛顿迭代法.

其中,方法 1,2属于四参数顺序搜索法,而方法 3属于四参数同步搜索法.获得的结论是:①比较法可揭示拟合程序的限制和不足;② 初值估计对收敛性极为重要;③程序运行可能出现 3种结果:发散,收敛到局部最优值,收敛到总体最优值.

Terence R.M cComb等人 1989年比较了 7种不同的正弦波拟合软件编制方法[3]:

1)单纯形法.是选取一个最有代表性的(比搜索数据维数多一维)几何特征量作为单纯形,在四参数拟合中,单纯形是五面体,幅度 A、直流偏移 D、频率 f、相位 P的初始估计值以及其在 4个轴上每一轴中的映射,作为产生初始极值的开始点,该种估计较粗略,但速度很快,拟合方法包括移动和收缩该五面体直至残差的最小值足够小为止.

2)顺序搜索法.顺序对每一个参数在初始值上使用增量搜索法寻找其最优点.

3)C搜索法.使用变量耦的搜索技术.正弦拟合中,频率 f与相位 P为强力相关耦,幅度 A与直流偏移 D为强力相关耦,且频率 f与相位 P要弱于幅度 A与直流偏移 D的偶合程度.其过程为:首先估计值,将四参数分为两组,f,P与 A,D;令 f,P不变,用线性最小二乘拟合搜索 A,D最优值;令 A,D不变,用非线性最小二乘拟合搜索 f,P最优值;直至参数增量小于预设值为止.

4)牛顿(New ton)法.该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技术相结合的产物,搜索终止的判据可以是参数增量,或残差平方和.三种不同来源的牛顿法被指定为牛顿 a,b,c.

5)Marquard t法.即为牛顿法+最速下降法.它避免了牛顿法的发散问题,没有了速度损失问题,对于正弦拟合程序的收敛性、精度、残差、鲁棒性和运行时间等进行了判定比较.一般认为,残差有效值在其给定值的 10%以内,可认为是良好收敛,否则是不良收敛,或发散.获得的结论是:①所有程序均可以给出合理精度的收敛结果;②没有一种方法居于压倒优势地位;③残差有效值可能随拟合序列长度而变动;④从残差本身寻求拟合方法的信息只有在拟合软件对残差的贡献与残差有效值在同一数量级或大于残差有效值时才是有效的.

1.2.2 正弦曲线拟合的方法研究

为了解决正弦参数拟合问题,IEEE学会 1994年推荐了一种四参数正弦曲线拟合方法[1],包括两种基本算法:一种通过矩阵运算,另一种通过迭代过程,二者均需要良好的初始条件估计.当初始条件相同时,上述两个算法结果一致.但两者的收敛性不一样,使用矩阵算法比不使用矩阵算法的收敛速度要快,特别是信号周期数小于 5 h.

由此可见,与三参数正弦波曲线拟合不同,四参数正弦波曲线拟合是一个非线性迭代过程,没有解析公式可以直接应用获得结果.其迭代的初始值的估计非常重要,较大的初始误差将导致迭代发散,或收敛到局部最优值而非总体最优值上.为了解决这些问题,众多学者采取了多种措施:

Y.C.Jeng博士 1987年提出了一种高速高精度的正弦参数估计方法,使用加权最小二乘法进行正弦频率和相位的估计[4].1988年,又进一步提出了估计幅度和直流分量两个参数的算法,从而使得正弦参数估计趋于完整[5],该方法的主要思想是将四参数拟合分解为两个二参数拟合,因此全部过程可用公式计算,避免了迭代运算,两者结合可以快速估算 4个正弦参数.该算法具有相当高的准确度,而且其误差也是可以明确给出和控制的.

Felice Cennamo于 1992年总结综述了前人对于数字化测量系统动态特性的校准工作,提出了一种针对一个周期正弦采样信号的非迭代参数估计算法[6],并将其用于有效位数的评价,也是一种精度中等的快速计算方法.

N.Giaquninto 1997年提出了一种基于 New ton叠代的加权正弦波拟合算法[7],用来评价 A/D的有效位数,其过程是:

1)首先通过 DFT法估计信号频率;

2)使用量程判断,剔除量程外的采集值,以量程内的采集值形成拟合运算子序列,在信号频率已知情况下,以加权最小二乘法,用子序列估计其它模型参数,在加权残差平方和最小的情况下获得拟合残差有效值,以该有效值与幅度值之比,可计算出被评价 A/D的有效位数.

其基本思想也是将四参数拟合过程拆分成两步走,避免四参数非线性迭代带来的收敛问题.与以往的算法相比,其最大的特点是可以用来评价超量程的测量序列,但需要精确已知输入信号的概率分布密度!其公式对非正弦波形激励也具有普遍意义.D.Dallet 2006年使用了一种基于 DFT和 M USIC方法估计频率,然后进行三参数正弦波拟合的 A/D动态特性分析法是基于同样的道理[8].J.Q.Zhang 1997年提出的四参数正弦拟合方法也基于相同的思想[9],其主要贡献是使用一种非线性叠代方法获得信号频率估计值,然后在已知频率情况下,使用三参数最小二乘拟合算法获得最终结果.进而获得 A/D有效位数的评价结果.

该方法的优点是简单,运算速度快,避免了非线性迭代,缺点是对于数据序列的质量要求较高,当采样量化误差存在且 A/D位数小于 18 bits时,很难得到良好的拟合结果[10].

Peter Handel 2000年将 IEEEStd 1057中推荐的正弦波拟合算法与另一种一维频率非线性搜索拟合迭代法进行了比较[11],发现在高斯噪声或量化噪声的作用下,两者都有良好表现,但在涉及小数信号周期、信噪比较低等情况下,后者比前者更好.并介绍了该一维频率非线性搜索拟合迭代法的基本过程——使用了有限个频率网格,估计每个网格内的目标函数获得极值处便是拟合结果.

其基本思想是将可能的频率变化区间分成多个子区间,在每个子区间极值基础上,进一步获得总体极值,以避免单一区间搜索情况下的局部极值被认为总体极值的情况出现.局限性是应该同时提供子区间个数等的划分原则,以便确保获得全局收敛结果.

田社平等人 2005年使用遗传算法实现总体最优估计[12],以此实现四参数正弦参数的最小二乘估计,由于遗传算法原理本身可保证实现全局最优逼近,可避免收敛到局部最优点上,从而具有良好的收敛性.

文献[13]借助于三参数正弦波拟合方法构造出一种四参数正弦波拟合法,解决了四参数拟合的收敛性问题,拥有明确的收敛区间.因此该方法可以直接用于实现 AM,FM,PM信号的数字化解调.其缺点是运算速度较慢,精度中等.在此基础上,文献 [14]提出了一种用于解决不足一个波形周期的残周期正弦波拟合方法,可以在仅有 1/5个波形周期的条件下获得收敛的拟合结果.为解决超低频正弦波形估计与控制提供了一种理论技术手段.

希尔伯特变换一直可以用来进行正弦参数估计,但需要直流分量为零的严苛条件,因而限制了其实际应用,王慧等人 2009年借助于 Hilbert-Huang变换进行预处理[39],将正弦曲线的直流分量剔除,进而可以方便地运用希尔伯特变换手段估计出幅度、相位、频率参数,最后再从 Hilbert-Huang变换的趋势分量中获取直流分量估计值,也实现了四参数正弦波形拟合.

1.3 单参数正弦曲线拟合

很多情况下,并不需要获得全部的正弦波形参数,因而出现了相应的解决方法:

戴先中、唐统一 1989年提出了用准同步采样技术实现的正弦波序列频率和相位差的测量方法[15],特点是基于迭代算法.

Gerhard P.Hancke 1990年比较了 3种正弦信号频率的估算方法[16].①顺序正向相邻过零点法;②顺序正向多个过零点法;③曲线拟合法.给出了各自的误差特性.

Hocaog lu 1996年用双线性和二次型方法估计正弦信号的频率[17],由于采用多速率采样方式,对谐波、初相位等因素的影响可以不太敏感,适应性良好.

黄建人 1997年对正弦信号相位差和频率测量的迭代算法进行了研究,使用一种峰值附近 3个采样点的方法迭代而成,侧重实时性,但对噪声、失真的影响缺乏抑制性[18].

Lobos T.1997年提出了一种方法用于实时测量功率系统中的正弦波频率[19],通过加窗 DFT技术结合 Prony估计算法完成,可以在较大失真的情况下达到较高精度,响应时间约为 2个～ 3个信号周期.

P.K.Dash 2000年提出了一种使用扩展复数 Kalman滤波器,用于对有失真的正弦信号进行实时频率与幅度估计[20],仿真实验验证了该方法的实用性与有效性,它实际上给 FM和 AM信号的实时解调提供了另外一种途径.

L.Angrisani2002年使用一种改进的 Chirplet变换方法实现瞬时频率估计[21],可有 1% 的准确度,与其它方法不同,该方法可以同时解算出序列中含有的多个频率信息.可用于 FM信号解调.

A.Routray 2002年提出了一种扩展 Kalman滤波器,用来实时跟踪失真正弦波形的频率,具有良好的动态特性,但由于强调实时性而精度略低[22].

王肖芬 2005年使用小波分频法不断滤除高频分量,最终只剩低频基波分量,然后使用周期计点法进行频率测量[23],也可以采用剔除粗大误差点、使用抛物线插值确定极值点后进行估计,1 024点可以获得 10-7的误差效果.

杜文超等人 2009年提出了一种基于相位匹配原理的正弦频率估计算法[40],认为 DFT运算只是一种在相位匹配条件下的一组矢量的最大和运算.据此可以任意选定频率范围,并在此范围内进行“相位匹配”后寻求最优,以获得正弦频率估计值.

1.4 其它形式的正弦曲线拟合

广义的正弦模型以及周期信号均可用多频正弦波形来表述和近似,因而常用多频正弦理论和方法处理其波形拟合问题,各种多频正弦拟合方法多基于基波频率已知,或首先估计出基波频率,然后进行“多频正弦参数”估计,或借助于 DFT的频域分析手段结合拟合估计.其拟合精度要低于四参数正弦拟合法,但可以给出多个频率分量参数.

C.Offelli 1990年提出一种快速高精度的频域算法,可以解决多频正弦信号的幅度、频率、相位等参数的实时测量[24],与其它传统方法不同之处在于,它可以在很短的样本点情况下获得该结果.使得实时追踪时变信号参数变成可能.

Rik Pintelon 1996年提出的多谐波正弦波形拟合过程,主要使用最小二乘最优化方式,以矩阵方程方式求解参数[25].它解决了非线性系统误差在非精确同步采样情况下带来的不确定度,尤其是不再要求拟合序列所含信号周期大于 5,也不必要工作于同步采样方式.

J.Schoukens 1997年用经过改进的可以同时辨识基波和谐波的正弦波拟合算法[26],获得正弦激励下的各次响应,并推导出时基失真和抖动结果.结果表明:①初始估计已经可以获得非常高的准确度;②使用该方法并不要求采样没有混叠现象的限制.为时基失真和抖动的测量提供了进一步的应用有效性证明.

喻胜 2000年提出了一种提取噪声中正弦信号的总体最小二乘法[27].属于从多频正弦序列中估计各频率及其幅值,该方法需要有相位均匀分布的多样本前提.

P.Carbone 2001年针对多频正弦参数估计问题,指出加窗 DFT并不总是给出高精度结果,在某些情况下将出现较差结果,给出了避免较差结果出现的条件判据[28].

G.Simon 2002年提出的用于多频正弦的周期信号最小二乘拟合方法[29],也是首先通过最小二乘算法估计出信号周期,然后使用三参数算法计算出各谐波分量,与原来的矩阵方法相比,具有运算量小、方差与精度均相近的优点.

T.Andersson 2005年研究了一种可以自动识别频率数目的多频正弦信号拟合算法[30],在高信噪比时效果良好.P.M.Ram os则使用多谐波正弦拟合法估计周期信号波形[31],算法简单易用.

2 正弦拟合的效果评估

正弦波拟合方法的优劣评价与比较问题以及它们的影响因素问题,是每一个用户尤其关心的.

John P.Deyst 1995年给出了正弦波四参数最小二乘拟合算法获得参数的误差界[32],使用蒙特卡罗搜索仿真法等对于各种可以想象的条件变化进行了细致研究,得到了切实有效的明确结论,并分别以经验公式、误差界曲线等形式,给出了 4个拟合参数随谐波次数和幅度、噪声、抖动、序列长度、序列所含信号周期个数等条件参量变化而变化的规律,是极为重要的基础性研究工作.基本结论是:拟合获得的4个参数的误差界随着谐波阶次、序列长度、序列所含信号周期个数增大而变窄,随着谐波幅度、噪声、波形抖动的降低而变窄.每个参数的误差界应该在一个确定区间内变化,最小误差界即是其 Cramer-Rao界.

文献 [33]则提出了一种四参数拟合软件评价体系,包含众多拟合软件参数指标,用于评价和比较不同的拟合软件.具体指标为:①最大记录序列长度;②每个正弦周期最少采样点数;③序列中最少信号周期数;④噪声收敛条件;⑤幅度拟合不确定度;⑥频率拟合不确定度;⑦相位拟合不确定度;⑧直流分量拟合不确定度;⑨由软件带来的拟合残差方均根.

该指标的缺点之一是没有列出收敛速度参数指标.原因之一是由于软件运算速度是一个相对指标,除了与算法复杂性有关外,还与软件收敛判据、计算机软件环境、硬件资源等有关,不具有绝对意义和价值.另外的不足是未能引入鲁棒性指标.

T.Andersson 2006年给出了 IEEE Standard 1057标准中所推荐的正弦波拟合法在高斯噪声下的Cram er-Rao界[34],数值仿真也表明了它在量化噪声条件下的有效性.给出了使用三参数还是四参数拟合法的判据,频率已知且定长样本序列和确定信噪比情况下,三参数正弦波拟合法要优于四参数正弦波拟合法.

A.Moschitta 2007年研究了量化噪声影响下的正弦参数估计误差的 Cram er-Rao下界[35],给出了基于统计分析手段的精确模型.

所有这些工作,均可为四参数正弦曲线拟合提供指导和参考依据.

3 降低估计误差的手段

通过上述讨论可知,正弦参数的拟合误差不可避免,并且已经知晓它们的影响因素,人们在获取测量序列时,可通过控制外界条件,使得最终拟合误差尽量小.尽管如此,限于客观应用条件,仍不能尽如人意.这时,使用滤波等手段对正弦序列进行预处理后再进行拟合将是降低拟合误差界的一个有效手段.但多数滤波器在滤除测量序列噪声和谐波过程中,不可避免地将对正弦波形的 4个拟合参数造成影响,这是人们所不希望的.

文献 [36]专门针对正弦波采样序列提出了一种滤波器,可用于正弦拟合的预处理,主要用来消除谐波因素影响,以便降低拟合误差.其特点是理论上可以滤除全部偶次谐波和任意指定的奇次谐波,且对 4个待拟合的正弦波模型参数没有影响.

I.Kollar 2005年针对正弦波拟合的局限:面对的不是正态噪声,而是量化噪声、非线性、失码等确定性误差,为了降低它们给拟合结果带来的误差,推荐对采样数据进行预处理,剔除粗大误差再进行拟合的方式[37].

笔者曾试图使用小波消噪手段对正弦采样序列进行预处理,主要用来消除量化噪声因素的影响,以期达到降低拟合误差的目的,尚未获得良好效果.研究表明,参数选择合理的情况下,小波变换可以获得非常光滑的降噪滤波效果,但正弦波的失真度降低很少,或者反而升高,4个参数拟合误差并未明显降低,很多时候反而升高.

4 讨 论

综上所述可见,人们对于四参数正弦波曲线拟合的各方面问题均进行了研究,从不同方法的比较研究,到收敛性、鲁棒性、软件指标、误差界问题,一直到降低拟合误差的滤波手段.针对拟合算法本身,到目前为止,人们基本上解决了其收敛性问题,使用的方法先后有:①提高初始估计值的精度;②将正弦波的 4个参数拆开分别估计,以绕开四参数非线性迭代的收敛问题;例如先估计频率,再使用三参数算法获取另外三个参数;先估计频率和相位,再估计幅度和直流偏移等.③将频率搜索区间划分为多个子区间的网格法;④研究具有明确收敛区间和收敛条件的新算法;例如遗传算法、组合希尔伯特变换和希尔伯特黄变换等.

针对四参数正弦波的条件物理模型方式,人们研究了不同的解决途径,除了包含多个波形周期的一般条件外,还专门研究了针对含有一个波形周期序列的拟合算法,以及仅有部分波形周期的残周期条件下的正弦波拟合算法,丰富和发展了正弦问题的理论技术手段,未来的算法研究将着眼于如何提高拟合速度、增强实时性以及提高算法的鲁棒性.

关于正弦拟合算法本身的评价以及拟合误差的研究也有了明显的进展,人们已经明确了拟合误差都与哪些因素有关,并以蒙特卡罗仿真手段获得了不同条件下的误差界估计结果,针对高斯噪声和量化噪声两种情况,已经给出了其拟合误差的下确界—— Cramer-Rao界.软件指标的研究也有了一些进展,已经建立起了初步的评价体系和手段,可以直接用于不同拟合软件的评价和比较.

对于降低拟合误差的手段研究也有了一些进展,已经有专门用于正弦波序列的滤波器,滤除谐波因素的影响,小波降噪手段的应用研究也被使用过,尚未获得理想效果.

另外,对于正弦波形单个参数的估计算法,如频率、幅度和相位等的研究,也获得了一些有价值的结论,并可望直接用于 FM,AM信号的数字化解调.而多频正弦参数估计理论和方法,无疑是物理模型下正弦参数估计的一种有效补充和完善,对于其谐波、失真、噪声等的参数估计具有明显的意义和价值.

这些研究工作,已经逐步形成了一个理论技术体系,并在被不断完善、发展和直接应用于自然界中正弦问题的分析与解决.

鸣谢:本文所述工作,得到了航空科学基金(残周期正弦波形的四参数拟合算法研究)的支持,谨致谢忱.

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