“单子”哲学的数学基础初探

朱新春 史玉民（中国科学技术大学科技哲学部，安徽合肥，230026）

“单子”哲学的数学基础初探

朱新春 史玉民（中国科学技术大学科技哲学部，安徽合肥，230026）

莱布尼茨是个毕达哥拉斯主义者，同时在数学方面又有杰出成就，故而数学对其形而上学影响很大。单子哲学体系三个主要构成部分——单子论、连续律、前定和谐律，都有一定数学基础。通过数学，尤其是莱布尼茨本人的数学成就，能更好地理解单子理论。

莱布尼茨；单子；数学；连续律；前定和谐

一、莱布尼茨的数学化宇宙观

莱布尼茨是17世纪众多天才之一，与伽利略、笛卡尔等前辈一样也遵循数学化自然观。他在1677年写的《通向一种普遍文字》中就说：

“一个古老的谚语说：上帝依照重量、度量和数量创造了万物。可是有许多东西，即凡是不受力或动力影响的东西，并不能加以估量；任何不可分割成部分的东西也难以度量。另一方面，没有东西不被包摄在数量之中。因此，数量可以说是一个基本的形而上学的形式，算术是一种宇宙的静力学，在其中显示出事物的诸动力。在数之中隐藏了最深奥的秘密，这一直是从毕达哥拉斯时代以来的人们所确信的。毕达哥拉斯本人曾依照一个可靠的来源，把这个以及其它许多直观知识从东方传播至希腊。”［1］

莱布尼茨步毕达哥拉斯等人的后尘，把一切物体（概念）以及物体（概念）间的关系统统归结为数和数的联系，并进一步把物体（概念）都无条件地复原为数。他还认为宇宙是一个由数学-逻辑原则所统率的和谐整体，唯有数学和形而上学才是基本的科学，唯有理性才能阐明它。不仅如此，莱布尼茨还把认识也归结为数，他认为模糊表象和清晰表象之间的区别归根到底也仅仅是数量上的。莱布尼茨是著名的数学家，创立了微积分和二进制数字体系，而这些成果都直接影响着他的形而上学。

莱布尼茨曾明确表达其思经由经院哲学到机械论再到有机论的转变过程。哲学思想的转变与他的学术研究有重大关系，成熟单子哲学也正是奠基于他的科学成就，尤其是数学成就。有学者说“单子学说”是其数学的哲学基础，其实这不符合实情。莱布尼茨的二进制和微积分基本上在1672~1676年出使巴黎时就已初步完成，只是成果发表要晚一些。有关微积分的成果最早发表于1684年，二进制完成在1679年，在1705年才正式刊出。“单子”思想则是在1686~1697年才逐渐成熟。而且，莱布尼茨“总是宣称，他的逻辑学和数学与他的形而上学之间不存在鸿沟。还宣称，他的全部哲学是数学化的，是以数学的最深内核产生出来的”［2］。很多现代学者也认为：“莱布尼茨的哲学思想是以其数学工作为基础的，而不是相反。”［3］“我们可以在微积分学中读到单子论，或可以在射影几何中读到神全知。”［4］“莱布尼茨真正转向单子论的建立，是在他完成微积分主要工作以后。”［5］此外，莱布尼茨还强调，必然的真理适应于一切可能的世界，而数学又是必然真理的典范。因此，他的数学成果是其单子哲学的重要基础毋庸置疑。在思考莱布尼茨的“单子”理论时，从其数学成就及与之相关形而上学解释，可以深化对“神秘单子”的理解，而不致于停留在表面上。

二、二进制算术与“单子”的创造

在1679年，莱布尼茨就发现了二进制算术，但直到1705年才正式刊出面世。关于二进制算术的用途，莱布尼茨虽然对其未来作用充满信心，但对20世纪计算机科学发展的巨大意义，可能始料未及。就其当时而言，莱布尼茨并未指出二进制有什么实质性作用，只是把它用来解释《易经》卦图和作为其形而上学观点的证明。

从形而上学方面来说，莱布尼茨认为二进制算术是上帝创造世界的最好证明，在其致白晋（JoachimBouvet）的信中谈到二进制算术的意义时就明确指出：

“您已经充分体会到了它在宗教中的主要功用之一，亦即它是创世说的无与伦比的象征，也就是万物来源于唯一的上帝和无，没有什么先在的质料。并且，尽管不是绝对的无，但相对的无总是必然地存在于被造物中，只是各自的程度不同罢了。”［6］

莱布尼茨对这个思想感到很骄傲，以致他打算用一个刻有铭文的纪念章来纪念它。铭文是“G·W·莱布尼茨所发现的创造物的典型”以及“为了从无中派生出一切来，‘一’就够了”。他认为正像整个算术能从1和0中推导出来一样，整个宇宙也能这样由纯存在（神）和虚无中产生出来，神的创世活动因而也就是在一个而且是同一时刻他自身本质的自愿消减，以及可以从1和0的组合中推导出来的最完满的数学计算。在《单子论》中他写道：

按微生物指导书中革兰氏染色法对各菌株染色，辨别其为阳性菌或是阴性菌[29]，并在100倍油镜下观察其菌体形态、大小、有无芽孢及其着生位置等，毛霉菌采用乳酸石碳酸棉蓝染色。严谨观察、描述、拍照、记录。

“因此只有上帝是原始的统一或最初的单纯实体，一切创造出来的或派生的单子都是它的产物，可以说是凭借神性的一刹那的连续闪耀而产生的，神性是受到创造物的容受性的限制，对于创造物说，有限乃是它的本质。”［7］

莱布尼茨不光得到上帝创世的证明，而且对单子的属性也有了基本的认识，它们是不同程度地分有了上帝的本性。他说：

“在上帝之中有权力，权力是万物的源泉，又有知识，知识包含着观念的细节，最后更有意志，意志根据最佳原则造成种种变化或产物。这一切相应于创造出来的单子中的主体或基础、知觉能力和欲望能力。不过在上帝之中这些属性是绝对无限或完满的，而在创造出来的单子或‘隐德莱希’中，则只是按照具有完满性的程度而定的一些仿制品。”［7］

显然，上帝之中主要属性——权力、知识、意志，对应单子的属性——权力（主体）、知觉能力、欲望能力。他还明确指出，单子是上帝的仿制品，上帝是大宇宙，单子是小宇宙，那么上帝能够表象整个宇宙，单子也能表象整个宇宙，只是清晰程度不同；上帝是最高单子，最完满的存在，而其他等级的单子程度不等地分有了上帝的属性。从这里还可以看出，单子与上帝从本质上没有差别，只是程度上的差别。这种认识正如中国宋明理学中所强调的理一分殊。朱熹就把理一分殊作为其理一元论哲学的重要命题，从本体论角度指出，总合天地万物的理，只是一个理，分开来，每个事物都各自有一个理。然千差万殊的事物都是那个理一的体现。他说：“太极只是天地万物之理。在天地言，则天地中有太极；在万物言，则万物中各有太极。未有天地之先，毕竟是先有此理。动而生阳，亦只是理；静而生阴，亦只是理。”［8］王夫之认为，万物之大原惟天地，如由一向万，本大为一，即理一；末小而万，便是分殊。这包含着事物的同一性与差别性、普遍性与特殊性的关系。不过，王夫之的理气关系是朱熹的理气关系的颠倒，使理成为气的理，认为“有气必有理，则理既殊而气亦不同”，从而把理一分殊建立在了唯物论的基础之上。

莱布尼茨的单子思想是不断发展变化的，在单子思想初成之时，约在1685~1695年期间，兼有中国宋儒理气的双重性质，唯物主义色彩较为浓重；稍后一段时间，主要是“泛机体论”和万物有灵论双重色彩；到后期，其实体理论依然保有机体论和有灵论思想，但是“泛灵魂论（panpsychic）”的特征更加明显，神学色彩更为浓重。［9］

三、微积分与连续律

莱布尼茨在数学上的第二项成就就是发明微积分，于1684年和1686年分别发表的论述微分学和积分学论文，标志微积分正式创立。微分学提供了一个决定某一量在任一瞬间变化比率的一般方法，这个量是在和另一量的相互关系中连续变化的，因此，它是另一量的“函数”。莱布尼茨是第一个在现代意义上使用一个变量的“函数”这个词的人，即一个变量的值只为另一个变量所决定。积分是微分的逆转，它在于从给定的某一瞬间的值出发重建出一个整体来。换句话说，增加一个维数，从一个点的变化比率出发，可以重建一条完整的线，从一条线的变化比率出发，可以重建一个它所限定的面；从一个面出发，就能由旋转这个面而创造出来体。他的发现产生于一个无限系列聚敛于一极限上的看法。微分学是确定这种系列极限的一种方法，而积分学则是发现其总和的一种方法。

连续性是莱布尼茨哲学的一个基本原则，如果说单子是莱布尼茨哲学的砖块，那么连续律则是它们的黏合剂，并按照前定和谐原则构建起了哲学大厦。“莱布尼茨就是用连续律来规范众多单子，使构成世界的无数单子和谐地成为一个整体。”［10］莱布尼茨所强调的连续性原则，亦即自然不飞跃的原则。

“这条法则主张，我们永远要经过程度上和部分上的中间阶段，才能从小到大，或者从大到小；并且从来没有一种运动是从静止中直接产生的，也不会从一种运动直接就回到静止，而只有经过一种较小的运动才能达到，正如我们绝不能通过一条线或一个长度而不先通过一条较短的线一样，虽然到现在为止那些建立运动法则的人都没有注意到这条法则，而认为一个物体能一下就接受一种与前此相反的运动。”［11］499-500

这就是莱布尼茨的连续性原则或自然不飞跃原则，“任何事物都不是一下造成的，这是我的一条最大的原则，并且是完全证实了的原则”［11］499。微积分的发现，为莱布尼茨的形而上学上的连续性原则提供了数学上证明。连续性定律就是莱布尼茨详细分析数学和生物学对象的实际情况之后概括出来的。他分析笛卡尔的解析几何学时，发现一切几何图形皆可用点的连续运动来把握，微积分进一步反映了不同几何图形的转化与连续。对解析几何和微积分这两门最新数学内容的哲学思考，在莱布尼茨的头脑中积淀为精辟的哲学思想，形成了一条哲学定律。连续性定律还是莱布尼茨考察生物学资料得出的结论。他研究生物学资料发现，宇宙是由不同等级的存在物构成的。宇宙从高级到低级、从有机物到无机物的连续状态，从实证方面强化了莱布尼茨的关于世界连续性的认识，让他相信世界的连续性是不容怀疑的事实。世界的连续性被概括为哲学定律，从而使无数的单子连接起来，组成了一个和谐的世界。同时，这条定律也为充足理由律提供了一个重要的本体论前提，若无连续性，事物就是没有联系的、孤立的存在，充足理由律就失去了基础。

笛卡尔认为物质实体的本质属性是广延，莱布尼茨认为既然是广延，那么一定是可分的。针对原子说，莱布尼茨也同样认为，尽管原子极其微小，但只要有形就必然还是可以再分割的；而且，如果原子是终极实体，那么由原子组成的复合物中间必然就会有缝隙，因此也就违反了连续律。他通过物理学的研究提出了无形无状的“力”作为实体，并以之统一了精神领域，后来又赋予这样实体以丰富的内涵，称为“形而上学”的点，最后名之为“单子”。莱布尼茨认为单子是基本实体，单子是无形无状的，作为形而上学的点，包含着宇宙总体的信息，是个小宇宙；整个宇宙是由无数单子构成的。可以看出，每个单子就如同一个微分点，这个点包含着整个宇宙函数的变化特征。

连续律是单子运动和联系的法则，最高单子——上帝和其他单子都遵循这一原则。最高单子——上帝，通过连续运动创造出了构成整个世界的全部单子。上帝，即最高单子具有最高完满性和最高量的积极实在性，包含着众多单子的全部内容，其他单子是上帝或太上单子在瞬间连续闪耀而产生的，并且程度不同地分有上帝的属性，一直达到极限状态；其他单子只是上帝的“派生物”，有限性是这些创造物的本质；尽管如此，由于它们分有最高单子——上帝的属性，总是具有上帝的全部特征，只是程度不同。创造出来的单子的运动变化也是遵循连续律的。莱布尼茨说：“一切创造出来的东西都有变化，因此，创造出来的单子也是这样的，而且这种变化在每个单子里都是连续的。”“既然一个单纯实体的任何现在状态都自然地是它以前状态的后果，那么，现在中就包孕了未来。”［7］再者，所有单子遵循着连续律组合在一起，任何两个单子之间是无缝隙的，或者说任何两个单子之间有无限个单子；无数单子组成充实的宇宙，没有虚空。由于一个单子能够反映整体及其变化规则，又是整体的构成部分，而整个宇宙又是由原初实体——上帝产生出。这种思想无疑与现代分形几何是一致的，一个分形几何上的点，其每一点服从总体的函数变化法则，反映整体图形的变化状况，是整个图形的极度微缩状态；而整个几何图形就是由无数点组成的，就如同由某一个点连续运动产生出来的。［4］

莱布尼茨认为，“宇宙是一个由数学-逻辑原则所统率的和谐的整体，唯有数学和形而上学才是基本科学，唯有理性才能阐明它”［1］7。连续律作为无数单子的黏合剂和每个单子的变化法则，无疑有其数学上的基础。当然莱布尼茨还吸纳了当时其他科学最新成果，尤其是生物学上成就。①莱布尼茨吸纳了当时最新的生物学和其他科学成果，为其哲学思想提供经验基础。

四、函数律与前定和谐

前定和谐是莱布尼茨用以解决单子之间相互作用的形而上学公设，同时也是其哲学饱受非议之处。宇宙是由无数单子组成，单子是没有窗口的，每一个单子只按照它自己的创造性意图而行动，不受外在的影响。但是，独立的、“没有窗口的”单子之间是如何相互协调的呢？莱布尼茨采用了“前定和谐”来解释这个难题。关于前定和谐，莱布尼茨说：

“在单纯实体中，只有一个单子对另一个单子所发生的理想的影响，它只是通过上帝为中介，才能产生它的效果，因为在上帝的观念中，一个单子有理由要求上帝在万物发端之际规范其他单子时注意到它。因为一个单子既然不能对另一个单子的内部发生一种物理的影响，那就只有靠这种办法，一个单子才能为另一个单子所依赖。”［7］

前定和谐，实质就是万能的上帝在创造单子时就已经设定了它们的活动内容和方式，并且从总体上保证无数样式的活动彼此适应和协调一致。莱布尼茨进一步以此来解决“身-心”之间的关系。“灵魂遵循它自身的规律，形体也遵循它自身的规律，它们的会合一致，是由于一切实体之间的预定的和谐，因为一切实体都是同一宇宙的表象。”［7］490在莱布尼茨看来，单子之间并无因果关系，而是一种共时性的运动。莱布尼茨说：“在创造物之间，能动与被动是相互的。因为上帝比较两个单纯实体，发现每一个中间都有使它适应于另一个的理由，因此就某个方面说是能动的，从另一个观点看来则是被动的。”［7］因此，在单子之间并未有什么真正因果关系，虽然莱布尼茨提出了充足理由原则，但并不是因果性法则，充足理由是指事物存在的“条件、要求和趋向”。前定和谐学说受到了一些哲学家的嘲讽，实际上前定和谐理论远非其批判者所想象地那样简单。

休谟（David Hume，1711-1776）认为，因果律并非自明之理，也不能用逻辑证明。在他看来，我们所以认为一件事是另一件事的原因，是由于两件事的观念的联想关系所致，这种联想是由一件事在另一件事之前的一长串事件唤起的。这只不过是经验问题而已，在自然界里，事件是连接着的，但我们不能推断它们有因果关系。莱布尼茨也同样不承认因果关系，但是他采用数学的函数关系来解决这个问题。“不过莱布尼茨的学说，在某种方式上是比休谟更有成效些，因为休谟关心的仅仅是因果律，而莱布尼茨关心的是函数的规律，即这样的规律，它并不陈述什么东西引起了什么，而是陈述了一事物中的变化同另一事物的变化有着什么样的严格数学关系。在物理学中，函数扮演着比因果性更广泛得多的角色。”［12］关于自然运动遵循数学和谐法则的思想，古希腊就存在。毕达哥拉斯就认为：“数是基本的实在物，而且作为一个整体的宇宙是和谐的。就像音乐中基本音程的比率一样，在宇宙中也明显表现出简单的数学比率来（‘天体的和谐’）。”莱布尼茨接受了这两个观点。［13］莱布尼茨也曾用乐队来比喻这样的前定和谐。前文已经说过，莱布尼茨认为宇宙是一个数学-逻辑原则所统率的一个整体。实际上莱布尼茨的宇宙遵循一个微分方程，所有单子都互为自变量和因变量，在上帝写下这个方程时，它们都共同遵循函数法则，因而，一个单子变化，另一个也在变化，不是外部的因果关系，而是前定的和谐。单子作为一个实体，按照上帝最初赋予的内容进行活动，也就是说每个单子都有自己的“定义域”，因此，单子的变化就必然反映整体特征。后来，康德（Immanuel Kant，1724-1804）也试图废除因果律的概念，而代之以函数律。

按照莱布尼茨观点，宇宙是由无数没有维度的和具有活力的点构成的，每个点都反映着所有其他的点，并和所有其他的点相和谐。加特勒·汤姆森（GarrettThomson）认为莱布尼茨这种观点与现代物理学某些观点有诸多一致之处。他引述了一个现代物理学的观点：“正是时空中这种由点所构成的事件是（相对性的）基本概念。在原则上，所有结构都必须被理解为普遍场中的形式，它们是所有时空点的函数。”［14］此外，海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）也强调：“能量实际上是构成所有基本粒子，所有原子，从而也是万物的实体，而且能量就是运动之物。”“在现代量子论中……基本粒子最后也还是数学形式”，“代表基本粒子的一些数学形式将是某种永恒的物质运动律的一些解”。［15］当然，并不能认为莱布尼茨走在了当代物理学的前面，但是可以看出莱布尼茨的前定和谐说是来自他的数学化宇宙观和卓越的数学成就，而并非是毫无根据的玄想。

莱布尼茨的单子哲学有三个基本范畴，即单子、连续律和前定和谐律。单子是构建其哲学大厦的砖块，连续律是粘合无数单子的黏合剂，而前定和谐是无数单子的相互联系和相互影响的法则。通过这三个方面，莱布尼茨本体论哲学大厦得以构建。其自创立之时就引起很多非议，怀特海虽然“把机体的假说作哲学的基础应当首先归功于莱布尼茨”，但也觉得“单子说过于新奇，所以就似乎都跑到了极端，超出了哲学的安全界限”［16］，这意指单子哲学的神秘主义色彩。事实上，莱布尼茨在几十个科学领域都取得了很杰出的成就，其哲学无疑有深厚的科学基础。数学是其最为推崇的理性知识类型，而其最杰出成就又在此领域。单子、连续律和前定和谐律，即其哲学本体论的三个基本范畴无疑都有数学上根据，故此，数学是深刻理解其哲学以及阐发其哲学深刻内涵的一个重要进路。

［1］ 莱布尼茨.自然哲学著作选［M］.祖庆年，译.北京：中国社会科学出版社，1985.

［2］ E·卡西勒.启蒙哲学［M］.济南：山东人民出版社，1988：27.

［3］ J.M.Child ed.The Early Manuscripts of Leibniz［J］.Open Court，1920.

［4］ 罗朗斯·布吉奥.单子与混沌-莱布尼茨哲学中充满活力的因素［J］.水金，译.第欧根尼，1994.

［5］ 蒙虎.关于莱布尼茨微积分的哲学背景［J］.首都师范大学学报：自然科学版，2004（1）.

［6］ 莱布尼茨致白晋的信［M］//孙小礼.莱布尼茨与中国.首都师范大学出版社，2006：188-189.

［7］ 莱布尼茨.单子论［M］//西方哲学原著选读.北京：商务印书馆，1981.

［8］ 朱熹，吕祖谦.朱子近思录［M］.上海古籍出版社，2000：135.

［9］ C.D.Broad.Leibniz［M］.Cambridge University Press，1975：87.

［10］ 安文涛，等编译.莱布尼茨与中国［M］.福州：福建人民出版社，1983.

［11］ 莱布尼茨.人类理智新论（序）［M］//西方哲学原著选读.北京：商务印书馆，1981.

［12］ S·汉姆普西耳.理性时代［M］.北京：光明出版社，1989：150.

［13］ Ross George Mac-Donald.Leibniz［M］.Oxford，1984.

［14］ 加勒特·汤姆森.莱布尼茨［M］.北京：中华书局，2002.

［15］ W·海森堡.物理学与哲学-现代科学中的革命［M］.范岱年，译.北京：科学出版社，1974.

［16］ 怀特海.科学与近代世界［M］.何钦，译.北京：商务印书馆，1962.

On Mathematical Base of Leibniz's Theory of Monads

Zhu Xinchun，Shi Yumin

Leibniz as a Pythagorean activist made great contributions in the mathematical field which influenced his metaphysics.The system of Monadology is mainly made up of three basic components，namely，the theory of monads，the principle of continuity and pre-established harmony which all have mathematical foundations.The theory of Monads would be well understood if we analyzed it through mathematics，especially Leibniz's mathematical achievements.

Leibniz；monad；mathematics；the principle of continuity；pre-established harmony

B516.22

A

朱新春（1972-），男，博士研究生，讲师，研究方向为科技哲学。