数模思想在大学数学教学过程中的应用探讨

张建勇，张斌武

（河海大学 常州校区数理教学部，江苏 常州 213022）

数模思想在大学数学教学过程中的应用探讨

张建勇，张斌武

（河海大学 常州校区数理教学部，江苏 常州 213022）

针对数学及数学建模的重要性，探讨在大学数学教学过程中融入数模思想的原因和原则，并说明了如何在教学过程中融入数学建模，最后列举主干课程中较为适合的实际问题模型。

数学建模；数学教学；创新能力

数学与计算机技术的结合形成的数学技术［1］，使得数学广泛被应用到各领域，或与其他学科交叉产生新的学科，如：计量经济学、生物数学、地质数学等。数学成为了打开科学大门的钥匙。曾任美国总统尼克松科学顾问的科学院院士David在谈到数学时，称赞“‘高科技’的本质上就是数学技术”。数学在社会生活中的重要性不言而喻，尤其在二次世界大战以后，数学与社会的关系发生了根本性的变化。美国基金委把数学科学列为2002-2006该基金委五大创新项目之首时，Eisenstein评价说：“该创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化（Mathematization）。”［2］

进入20世纪以来，伴随着电子计算机的出现与飞速发展，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，数学建模也越来越受到人们的重视，尤其是在培养社会所需的各种人才的高等院校，数学建模作为广大师生学习、教学、科研和实践的一个重要部分，其发挥的作用越来越明显。数学建模在数学中起了举足轻重的作用，并为理论研究和工程应用之间架起一座桥梁，使数学与工程有机地结合在一起，使数学家和工程师可以通过建模无障碍地沟通与合作。欧几里德几何、万有引力定律、微积分学等等，都是科学发展史上数学建模应用的成功范例。

1 大学数学教学过程中渗透数学建模思想的目的

1.1 培养学生学习大学数学知识的兴趣，提高学生解决实际问题能力的需要

传统的大学数学教学模式降低了学生学习数学的兴趣，从而影响了学生应用数学知识解决实际问题的能力。在教学过程中如何培养学生学习数学的兴趣，并提高他们学以致用的能力，这是广大大学数学教师所面临的一个难题，而数学建模为我们提供了一个很好的途径。通过数模方法对一些实际问题进行巧妙处理，让学生体会到，数学不仅能传播理论知识和求解一些数学问题，还可以将其应用到实际问题中，让学生看到一些实际模型的来龙去脉。这不仅能提高学生的积极性，还可以使学生的自觉地去查看一些相关的资料，培养他们的兴趣。也可以结合数学建模课程和实际的数模比赛来培养学生的综合素质和能力。

1.2 扩大学生的知识面，提高学生综合能力的需要

数学建模需要多学科知识的交叉综合运用，这要求使用者具有广博的知识面和较强的综合能力［3］，主要包括：丰富灵活的想象能力、抽象思维的简化能力、发散思维的联想能力、娴熟的计算机操作能力、信息资料的查阅能力、科技论文的写作能力、团队协作的攻关的能力等。这些也是培养现代高素质人才所要具备的能力。大学生毕业后无论是进入社会还是继续深造，具有良好的综合能力，对于他们今后的发展大有益处的。

1.3 提高大学数学教学质量、丰富教学手法、教学内容及确立个人教学风格的需要

目前大学数学的教学方式仍然主要是教师讲授，学生听，学生很少能够真正地参与到课堂教学当中，学生的学习是被动的，缺乏积极性，从而导致课堂质量下降。教学手段由于受课程的限制，几乎都是老师借助黑板粉笔进行推导，即便是一些科目适合使用多媒体教学，也很难产生教师和学生之间很好的互动式教学，从而导致课堂乏味，降低学生的学习兴趣尤其是自主学习的兴趣。数学是历史很久且发展得相对很完善的学科，因此数学知识的更新相对缓慢，那么如何使用现有的手段使得课堂内容变得丰富起来呢？由于数学模型来源于实际生活中的问题，具有很好的开放性，求解方法不唯一，教师可以根据教学情况来选择讲解哪些模型。有些模型适合在课堂上讲授，有的适合作为小课题留给学生，让学生尝试建模求解，无论做的好与不好，对学生和教师来说，都是双赢的：学生在求解过程中利用的所学的知识，甚至是教材中涉及不到的知识，来提高他们的即学即用的能力，还可以培养他们的学习兴趣；教师可以丰富教学手段和教学内容，进一步提高教学质量。尤其年轻教师在这方面可以认真的思考一下，由于参加教学实践时问不长，教学经验相对缺乏，没有形成自己的教学风格，这时如果能尝试将数学建模在课堂中有所体现，对于形成自己的教学风格很有帮助，同时避免填鸭式的教学方法。

1.4 推动与深化大学数学教学改革的需要

以往的数学教学只注重知识的传授、公式的推导和定理的证明等，尽管这种教学方式发挥了一定的作用，但事实证明它不能有效地激发广大学生的求知欲，也不能有效地培养学生的创新意识和创新能力。当今社会信息高度发达，竞争日益激烈，无论是哪一方面的竞争，归根结底都是人才的竞争。如今的人才必须具备一定的创新意识和创新能力，否则很难适应信息时代的要求。培养更多的具有真正竞争实力的人才，已成为社会各方面尤其是高等院校面临的问题，这也是新时期对高等教育提出的新要求。事实上，如何培养学生的创新意识和创新能力一直是高等学校教学改革的重点和热点，也是高等学校教学改革研究的前沿课题，而数学建模在这方面具有独特的优势。

1.5 解决实际教学与传统教学学冲突的需要

传统的大学数学教学在培养现代大学生方面带来了很多弊端，这里只是简单的阐述一下。传统的大学数学教学仅仅围绕数学进行教学，不考虑数学的实际背景，更没有考虑数学的实际功用，这样使得学生只会求解数学题目，一旦在专业课中遇到相应的数学问题，也不会使用了。这种情况是常见的，即便是在《概率论与数理统计》中，很多人都忘记了导数和积分。传统的优秀课题教学虽然在教学设计上做得丝丝入扣，但是却严重束缚了教学中的灵活性和变通性；传统的评课标准，往往强调教学进程要安排合理，教学环节井井有条；教学内容面面俱全，但忽略学生学习中的实际需要。开设大学数学的主要目的是培养大学生的理性思考、逻辑思维能力和学以致用的能力。其中学以致用可以理解为这样两点，首先是作为后继专业课学习的重要工具，其次是应用数学和专业课知识解决实际问题。数学建模是理论联系实际的一个桥梁，在缓解或解决传统教学带来的冲突问题时，是有效的途径之一。

尽管将数学建模的思想融入到大学数学教学中很有必要，但数学模型的引入不是盲目的，要根据具体情况，做出正确的分析和决策。笔者认为应该遵循如下几个原则。

2 数学建模思想融入到大学数学教学的原则

2.1 源于实际，结合教材的原则

起初只要能引起学生兴趣就可以，要有简单的思路和求解方法，如用石块和秒表来测量山崖的高度的问题，高中期间利用自由落体运动公式，不考虑空气阻力和回声的时间就可以求解，但是结果很粗糙。如结合高等数学中的微积分知识，考虑空气对石块的阻力和回声时间，结果相对就要精确许多。

2.2 启发性、开放性的原则

启发性的题目可以很好地培养学生的发散思维能力并能将模型进一步的推广和应用。开放性的题目可以留给学生尽可能大的发挥空间，让学生最大可能的发挥自己的想象力和创造力。

2.3 不拘于形式的原则

教学过程中引入的数学模型可以课堂解决，有时也可以留作课后作业，根据学生的不同情况，做不同要求，学生可以独立完成，或者两个人一组来完成。因材施教，因地制宜，对于不同学校、不同院系专业的学生，引入的数学模型，要适合学生的专业特点。

2.4 尽早性的原则

时间越早越好，大一下学期最好，刚刚开始大学生活的学生容易接受教师的教育和引导，这时候学生有一定的高等数学知识。结合容易懂的实际问题模型，由浅入深结合适当灌输，把一些重要的概念、思想、方法讲解给学生，让学生明白认真学好数学的思想和方法的重要性。

2.5 教学与教学研究相结合的原则

结合教学过程中出现的问题，及时在课后与学生深入交流，反思教学中融入数学模型的利弊关系，分析其中的原因，认真做出总结，并作出合理的改进。这对年轻教师来说相当必要，因为教学研究对于自己的成长和教学风格的确立有极大地促进作用。

3 数学建模思想融入到大学数学教学的方法

3.1 首先让学生对数学建模有一个基本的了解

了解什么是数学建模，以及相关的步骤。简单地说，数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题的本质用数学方式（如函数、图形、图标、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）描述出来，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。主要步骤包括：问题的分析，模型的假设，模型的建立，模型的求解，结果的分析和检验，论文的写作和实际应用。

3.2 组织相关教师编写可以融入课堂教学的模型单元，特别是可以融入高等数学、概率论与数量统计、线性代数和数学实验四门课程的教学单元

主要提供可以融入各课程的实际问题的模型教学素材，包括问题的陈述、建模过程，求解验证，习题、小的研究课题和考题。教师在编写融入课堂的教学数模单元时，可以在一些班级中做一些问卷调查，了解学生想在所在的课堂上听到哪些方面的内容。只有站在学生的角度考虑，才能体现课堂的主体是学生，才能让学生更多地参与进来，才可以使得课堂教学更符合现代学生的特点。

3.3 在课堂教学过程中讲述一些实际问题的数学模型

根据课时与学生的接受能力，有时可以只讲解建模的思路、模型的建立、模型的求解方法、验证方法和模型的推广中的一部分或几个部分。比如前面测量山崖高度的问题。如果不考虑空气阻力和回声所用的时间，利用自由落体运动假设t=4s，g=9.8m/s2，那么山崖的高度为78.4m。当讲微分学内容的时候，可以将这个作为一个例子，除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的就是空气阻力。假设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，由牛顿第二定律可得：为了求得山崖的高度，需要求解v，这时需要利用微分方程的知识，由于没有讲过，只需建立这个模型就已经足够了。等讲一阶微分方程的解法时，再接着讲解完全可以。解得，结合初始条件可得再次积分得到，根据初始条件h/t=0=0，得到假设4s，则可求得h≈73.6m，这显然比78.4米精确多了。该模型还可以修改，在考虑回声的时间，结果将更精确。从这个例子中可以看出，同一个模型可以分开来讲解。进一步考虑回声时间的模型，可以作为一个小的课题，让学生自由发挥。

3.4 改革传统的作业与考试成绩相结合的考核方式

在课堂教学中引入了数学建模后，传统的教学模式中的作业仍然占主导作用，用以巩固所学的知识，辅以一些小课题（简单的实际问题）的研究，这些小课题没有固定的方法可循，也没有固定的答案，教师只是根据实际情况提出一些具体要求，学生课后以小组为单位合作完成，提交书面的报告或论文，也可以独立完成，教师主要依据假设的合理性、建模的创新性、结果的合理性和表述的清晰性等原则进行评卷，并给出学生成绩，这个成绩也作为学生的最终成绩的一部分来考核。这种小课题的作用，学生之间可以相互的交流、讨论，达到了学生相互启发、相互学习、共同提高的目的。不仅改变了学生只会独立思考的习惯，而且增强了学生的团队合作精神和集思广益的实践创新能力，这也符合现代科研工作群体合作、联合攻关的特点，符合现代科学素质的培养要求。

4 大学数学中常用的数学模型

高等数学［4］中微分学部分常见的模型有运动模型、经济模型（边际成本）；最大最小值中常见模型有抛射物体模型、最大利润模型；积分学部分的模型有变力沿直线做功等；微分方程模型有弹簧振动、串联电路等模型。概率论与数理统计：概率部分的模型有彩票中奖问题等；统计部分学生的成绩分布统计等。在线性代数中，涉及向量、矩阵和线性方程的模型有魔方矩阵；特征值和特征向量中常见模型有昆虫的繁衍问题；以及与线性规划相结合的线性优化模型等。与数学建模紧密相关的数学实验［4，5］中，主要介绍一些常见软件的使用，如MATLAB、Lindo/lingo、Mathematics、Spss等软件，并借助这些软件可以对教材中的重要概念、方法、定理的重新认识。

上面提到的这些模型有的比较大，有的比较适中，能够在一门课程中讲述1-2个模型就可以了，而且不需要讲述的很详细，详细讲述应该是放在数学建模课程中进行的，这里讲述数学模型的目的在于激发学生学习数学的兴趣和增强学生应用数学的意识。

5 结束语

数学建模的思想和方法越来越受到社会各界的重视，如何能更有效地将数学建模思想融入大学数学教育是一个有待深入研究和实践的工作。我们认为以教研为工作基础，在教学工作中融入数学建模思想，是提高学生学习数学兴趣、且学以致用的好途径。培养学生观察分析、判断推理能力、创新能力和团队协作能力；能使学生潜移默化地接受科学研究方式的教育，使学生养成良好的分析问题、解决问题的习惯，为今后在工作岗位上为社会做出贡献奠定良好的基础。

但是，教师在讲解数学建模的方法等相关内容时，如果深入讲解，必然会受到学时的限制，如何解决这一个问题？另外，数学建模要求综合各个学科的知识，一般来讲，数学教师在这方面也会出现了困难，那么如何培训教师？这些都需要进一步探讨。

［1］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］Jackson， A.NSF launches major initiative in mathematics Notices of AMS［J］，2001,48(2)：190-192.

［3］韩中庚.数学建模方法及其应用［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］吴赣昌.高等数学(第三版)［M］.北京：中国人民大学出版社，2009.

［5］万中，曾金平.数学实验［M］.北京：科学出版社，2001.

Research on Application of Mathematical Modeling Idea in the Process of College Mathematics Teaching

ZHANG Jian-yong，ZHANG Bin-wu
(Department of Math&Physics,Changzhou Campus of Hehai University,Changzhou 213022,China)

In this paper,the causes and principles of penetrating mathematics and mathematical modeling ideas into the process of mathematics teaching are discussed,and the paper shows how to penetrate these idea into the process of mathematical teaching. Finally practical problem models are listed which can be used in the main course.

mathematical modeling;mathematical teaching;innovation

耿继祥）

G421

A

1672-3708（2010）06-0076-05

2010-10-26；

2010-11-24

张建勇（1978- ），男，山东临沂人，讲师，主要从事大学数学教学和大学生数学建模培训工作。