一种指数型变步长仿射投影算法

范永全， 周 波

（①西华大学 数学与计算机学院，四川 成都 610039；②中国电子科技集团第30研究所，四川 成都 610041）

0 引言

当输入序列为有色信号或有较强相关性时, 常用的最小均方算法(LMS)[1]以及归一化算法(NLMS)[2]的收敛速度和精度明显下降，仿射投影算法(APA)[3]较好地解决了上述问题,因而得到了广泛应用。类似于LMS算法，APA算法的步长选择影响算法的收敛速率和稳态失调。为了解决快速收敛和低失调之间的矛盾，需要对步长进行控制。文献[4]提出了一种度量滤波器距离最优性能的接近程度的准则，并推导出一种变步长APA(VS-APA)算法，该算法具有较高的估计精度，但收敛速度较慢。为此，文献[5]提出了改进的 VS-APA-FF算法，通过引入衰减矩阵对投影矩阵进行加权处理，来降低参数估计的均方偏差。该方法加快了收敛速度，但增加了算法运算量，并且当滤波器阶数较高时，经过衰减处理的投影矩阵容易出现病态，导致对投影误差的估计变差。为此，文献[6]对加权投影矩阵引入正则项，提高了上述方法的鲁棒性，但由于衰减因子带来的计算量仍然较大。文献[7]提出了基于时变平滑因子的VS-APA(VS-APA-VSF)算法。该算法采用投影的加权误差向量的范数作为判断优化距离的准则，从而把平滑因子在两个不同值之间切换。但该算法需要根据投影误差范数的变化趋势确定“触发点”，实现较为复杂。为此，本文提出了改进的指数型变步长 APA算法(VS-APA-EXP)，该方法将投影误差范数通过指数函数的映射直接得到平滑因子，实现更为简单。

1 变步长仿射投影算法(VS-APA)

考虑有色输入下的信道盲辨识问题，通过自适应调整滤波器权值使得滤波器输出能跟踪期望信号的变化。设Xk表示输入向量，且L为滤波器的抽头数，期望的滤波器输出dk可表示为：

其中Wo是未知的估计的权值向量，nk是零均值的高斯噪声。使用仿射投影算法(APA)，Wo的估计值可按下式计算：

Shin H.C.提出了一种次优的变步长APA算法[4]，本文以VS-APA表示：

2 改进的指数型VS-APA算法

VS-APA算法中平滑因子α对算法性能的影响如下：较小的α使得µ对误差敏感，从而初始收敛速度较快，但稳态失调偏大；而较大的α使得µ对误差化不太敏感，从而稳态失调较小，但算法收敛慢。VS-APA算法采用固定的平滑因子，难以找到收敛速率和失调的平衡点。为此，文献[7]提出可变平滑因子的VS-APA-VSF算法,其平滑因子α的更新策略为：

① α取较小值以便算法在权值更新的初始阶段，算法可以有效跟踪误差信号；

② 当权值接近最优时，α取较大值，使得步长平滑递减，从而收敛过程对误差信号的敏感度下降。此时，较大的α类似一个“减震器”，抑制权值偏离最优值。

该方案使用“触发点”将平滑因子分为两个级别：αmin和αmax，其中 0＜ αmin＜ αmax＜ 1。VS-APA-VSF算法把加权投影误差向量的范数作为判断权值矢量与最优值的接近程度，考察随迭代次数变化的特性，把下降曲线的第一个逆转点作为“触发点”，进行平滑因子 α的切换，相应的公式为：

其中kc是满足的第一点。在相同条件下该算法比VS-APA具有更好的收敛性能。在初始阶段VS-APA-VSF算法收敛加快，且稳态失调较小。但是该算法根据前后时刻的值的变化，确定“触发点”并切换平滑因子，实现复杂，不利于实际应用。为此本文提出了时变平滑因子指数更新策略，将的值通过指数函数 e-x直接映射为平滑因子α的值，该函数满足如下条件： α取值在(0,1)之间；越大，α越接近于0，否则越接近于1。从而得到如下平滑因子的转移函数

其中 exp(·)表示以 e为底的指数函数，从而可得到本文的VS-APA-EXP算法。根据不同的值，可直接得到平滑因子α的值，无需判断“触发点”并切换平滑因子。图1(a),图1 (b)分别为投影误差的范数与平滑因子α值随迭代次数的变化曲线。可以看出，当权值偏差较大时，较大的值对应较小的α值；反之当较小时对应较大的α值。因此，这种指数更新方案刚好满足算法对平滑因子的要求。本文提出的VS-APA-EXP算法总结如下：

初始化：

迭代计算：

图1 与α值的变化曲线

3 仿真结果

下面通过有色噪声下的信道参数的盲辨识来验证本文算法(VS-APA-EXP)的性能，并与固定平滑因子的 VS-APA算法[4]、VS-APA-VSF[7]算法和常规的 APA算法比较。未知信道用L个抽头的FIR滤波器建模。并且假设自适应滤波器与未知信道的抽头数相同。有色输入信号是通过把高斯随机序列通过如下的二阶系统[8]而产生的。

加入测量噪声使得 SNR=30 dB。常规 APA算法的步长μ= 0.01，VS-APA算法采用固定的平滑因子α=0.99,μmax=1。图2,图3为几种APA算法在有色输入信号下采用不同数据重用因子P时的均方偏差(MSD)收敛曲线的比较，对应参数的取值参见图下的说明文字，仿真结果为 50运行取平均值。

图2为P=4时的MSD性能曲线，其中。可以看出，APA算法均方偏差和稳态失调都比较大；VS-APA算法优于常规APA算法，但收敛较慢；VS-APA-VSF算法略好于 VS-APA算法；本文算法的MSD性能比VS-APA和VS-APA-VSF改善了10 dB以上，且收敛速度较快。图3为P=8时的MSD性能曲线，与上图具有类似的结果。本文算法的MSD比VS-APA算法改善了5 dB左右，比VS-APA-VSF算法改善了7 dB。

图2 均方偏差收敛曲线, P=4,L=8,C=0.1

图3 均方偏差收敛曲线, P=8,L=16,C=0.15

4 结语

针对文献[7]提出的VS-APA-VSF算法实现复杂的问题，本文提出一种改进的指数型变步长仿射投影算法，将投影误差范数的估计值通过指数函数的映射直接得到平滑因子α的值。该方法实现简单，无需切换平滑因子。与常规的 APA算法、以及VS-APA[4,7]中的算法相比，本文算法具有更快的收敛速度和更小的均方偏差。本文算法的有效性通过有色输入下的信道辨识得到了验证，并且对类似的自适应信号处理问题有重要的参考价值。

[1] 孙静，陶智，顾济华，等.基于 LMS自适应滤波的耳语音增强的研究[J].通信技术, 2007,40（12）:394-396.

[2] 任晓亚，宋爱民.自适应算法在干扰抵消器应用中的比较研究[J] .通信技术,2007,40（12）:48-50.

[3] 西蒙·赫金.自适应滤波器原理[M].第 4版.北京：电子工业出版社,2003:261-267.

[4] Shin H C, Sayed A H, Song W J. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms[J].IEEE Signal Processing Letters.2004,11(02):132-135.

[5] Dai T, Shahrrava B, Chen X. A Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted Projection Matrix[C]. SK,Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Saskatoon: 2005:320-323.

[6] Dai T, Adler A, Shahrrava B. Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted and Regularized Projection Matrix[C].Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Ottawa, 2006:1201-1204.

[7] Dai T, Shahrrava B. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms with Variable Smoothing Factor[C].OH,USA: IEEE International 48th Midwest Symposium on Circuits and Systems-Cincinnati, 2005:1530-1532.

[8] Choi Y S, Shin H C, Song W J. Adaptive Regularization Matrix for Affine Projection Algorithms [J].IEEE Trans Circuits System II. 2007, 54(12):1087-1091.