基于预处理的单符号可译全分集准正交空时分组码设计

成文婧，刘伟，丁丁，魏急波

（国防科技大学 电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073）

1 引言

空时编码技术能够充分利用 MIMO(multiple input multiple output)系统中多个独立的传输通路获得分集增益，从而大幅提高信息传输的可靠性，被认为是新一代移动通信系统的关键技术之一。正交空时分组码(OSTBC, orthogonal space time block coding)[1,2]不仅可以达到全分集，而且是单符号可译的，即每个发送符号可以彼此独立地进行最大似然(ML, maximum likelihood)译码，译码复杂度与星座调制阶数成线性关系。然而，当发送天线数大于 2时，复星座下的OSTBC码速率均小于1[2]。为提高传输速率，文献[3]提出了准正交空时分组码(QOSTBC, quasi-orthogonal space time block coding)，该码可通过星座旋转[4]获得全分集，但需要使用成对符号联合ML译码，其译码复杂度与星座调制阶数的平方成正比。当发送天线数大于 4时，QOSTBC[3,4]的码速率仍然小于1。为此，文献[5,6]提出了分组可译的QOSTBC，码速率在任意发送天线数下都能达到 1。文献[7]系统研究了全分集QOSTBC的码速率、译码复杂度和分集阶数的最优折中问题，提出了 MGp-QOSTBC（multi-group decodable QOSTBC）构架，进一步完善了QOSTBC的理论研究。此外，文献[8]分析QOSTBC的等效信道矩阵特性，提出了一种基于预处理的发送策略，使QOSTBC可以实现单符号ML译码，但是该策略不能保证全分集，所以带来很大的性能损失[8]。

以上空时码[1～8]，其码字元素取自于集合(z表示空时编码前的符号)。后i来文献[9,10]提出了一种更一般的 QOSTBC(G-QOSTBC)，它扩大了码字元素的取值范围，让其元素取自更大的集合该码不但对任意的QAM星座都能达到全分集，而且不会带来星座图的扩展。但是这种码需要进行成对符号联合译码，译码复杂度较高。

本文从降低译码复杂度的角度出发，把预处理的思想应用于 G-QOSTBC中，使其能实现单符号ML译码。另外，设计合理的符号交织和星座旋转，在保证单符号ML译码的同时还达到了全分集和最大的编码增益。该编码方案的主要优势在于：与G-QOSTBC的性能几乎相近却具有更低的译码复杂度；与另一种全分集单符号可译码 CIOD (coordinate interleaved orthogonal design)[12]具有完全一致的误码率性能，但降低了峰均比。

符号说明：小写粗体表示向量，如r，矢量r的第k个元素表示为 rk；大写粗体表示矩阵，如H，矩阵H的第k列表示为 hk，矩阵H的第p行第q列的元素表示为 hp,q； Id表示大小为d的单位矩阵。(·)*、(·)T和(·)H分别表示对矩阵进行共轭、转置和共轭转置操作。det( )表示求矩阵的行列式。

2 系统模型

考虑发送天线数nT=4，接收天线数nR的MIMO系统，传输一个码字占用T=4个符号周期。系统模型如下：

假设 hp,q为准静态平衰落信道，它在一个码字时间内保持不变，在不同码字之间独立地变化。假设接收端完全已知信道状态信息，而发送端未知。

本文以下的设计都针对文献[10]提出的4× 4的G-QOSTBC，其码字如式(2)所示。

3 基于预处理的思想保证单符号最大似然可译

本节将从降低译码复杂度的角度出发，把预处理的思想应用于 G-QOSTBC中，推导基于预处理的单符号可译系统模型。

考虑接收天线数nR=1，联合式(1)和式(2)，得到以下模型：

式(3)可等价变换为

其中， n′是对n的某些分量做共轭处理，所以 n ′为白噪声向量。

由式(4)可推得

由于HHH为Hermite矩阵，所以其特征值均大于等于0。因此其特征值分解可以表示为

其中，特征向量矩阵V为常数矩阵，跟实际的信道无关（具体的分解过程参见附录1），这里给出结果。

假设接收端完全已知信道，所以在接收端可以对接收向量 y ′左乘 D-1VHHH有：

将式(4)和式(6)代入式(9)中，可得

可以证明， n′为白噪声。证明过程参见附录2。

由式(10)可以看出，在发送端做一定的预处理，可以保证在接收端单符号可译。具体来说，由于特征矩阵V是和信道无关的常数矩阵，可以在发送端对星座映射后的符号做预处理如式(11)所示。

则得到单符号可译码系统模型为

此时，接收端最大似然译码等价为寻找(s1, s2, s3, s4)使ML度量

最小。由于D是一个对角阵，所以ML度量可以写成4个独立的度量之和的形式，即

4 全分集设计和最大化编码增益

第3节提出的基于预处理的G-QOSTBC可以实现单符号可译，但是本节后面分析表示，这种处理不能获得全分集。本节将在第3节的基础上，通过合理的符号交织（重新安排每个符号的实部和虚部）和星座旋转来获得全分集并最大化编码增益。

由式(2)可知，

其中，

则

将式(9)代入式(13)和式(14)有

所以，将式(16)和式(17)代入式(15)可得

定义任意2个码字之差为ΔC，则

当Δs1≠0，Δs2=Δs3=Δs4=0时，ΔC≠0，代入式(19)可得，此时 d et(Δ CHΔC ) = 0，也就是说基于预处理的G-QOSTBC不能保证对于 ∀ ΔC≠0都有 d et(Δ CHΔC)＞0。所以该码是不能获得全分集的。

图1 发送端结构图

针对此问题，本文提出一种全分集的发送策略，具体处理流程如图1所示。其中是来自旋转星座 A = Aejθ的符号，经过符号交织和预处理后再进行 G-QOSTBC编码。通过合理地设计星座旋转角θ和符号交织，可以达到全分集同时保持单符号译码和最大化编码增益。前文已经介绍了预处理矩阵V的设计，本节后面将详细给出符号交织和星座旋转的方法。

把信号向量a中每个符号的实部和虚部重新组合，得到新的向量s如下：

其中 aiI表示 ai的实部， aiQ表示 ai的虚部，i= 1 ,… ,4 。

下面通过合理设计星座图来保证全分集和最大化编码增益。为此，首先给出文献[11]中对(CPD,coordinate product distance)的定义。

定义 1 对于任意 2个星座点 u = uI+ j uQ和v=vI+jvQ且u≠v，其CPD定义为：星座点集A的CPD为星座点集中任意 2个星座点的 CPD的最小值，即

将式(20)代入式(19)得到

此时 d et(Δ CHΔC)表达式中每个因式都包含a1, a2, a3, a44个符号的信息（实部信息或虚部信息）。当ΔC≠0时，Δ a1,Δ a2,Δ a3,Δ a4中至少有一个不为0。不妨假设Δa1≠0，Δ a2=Δ a3=Δ a4= 0 ，得到

分析 d et(Δ CHΔC)的表达式(22)，可以得到：设计星座A，使得 C PD(A)＞0，ak∈A，k= 1 ,2,3,4，则可保证该码达到全分集。这是因为全分集需要满足 ∀ ΔC≠0都有det(Δ CHΔC ) ＞ 0。根据式(22)，只要就能保证 d et(Δ CHΔC ) ＞ 0。也就是说，适当设计星座A使其 C PD＞ 0 ，则可以获得全分集。实际上将任意 C PD (A ) = 0的星座做一定的旋转θ即可保证其 C PD＞ 0 。

设计最优的旋转角θ，保证星座点集A的CPD最大，则可最大化编码增益。由式(22)可以看出，最大化编码增益即是使最大。这和最大化星座点集A的CPD是一致的。因而最优的旋转角应保证星座点集A的CPD最大。文献[11]中提出了一种全分集单符号可译码 CIOD，同样是利用最大化星座的 CPD来达到最大编码增益的。所以文献[11]中分析得到的 CIOD在不同类型星座下的最优旋转角同样适用于本文提出的空时码。例如，对于方形的 QAM 星座，其最佳的旋转角为arctan(2)/2。

至此，本节证明了通过合理设计符号交织和星座点集A，保证其 C PD＞ 0 ，且最大化此星座点集的CPD，则可以达到全分集和最大化编码增益。

文献[11]中得出，对于CIOD，其

与式(21)比较可以看出两者仅在系数上不同。但是本文的码利用了所有的空时单元，而CIOD只利用了一半的空时单元，所以式(23)中每个符号能量是式(21)中每个符号能量的 2倍，因此本文提出的码和CIOD具有相同的编码增益。然而，由于本文所设计的码利用了所有的空时单元，所以比CIOD具有更好的峰均比性能[11]。

由此，ML度量可以重写成f(a1)+f( a2)+f( a3)+f(a4)的形式，做单符号译码。

5 仿真结果

为了验证本文所提码的性能，本节对其性能进行了仿真分析，并与文献[10]提出的G-QOSTBC，文献[8]提出的基于预处理的QOSTBC，以及文献[11]提出的CIOD进行比较。调制方式为QPSK，其中G-QOSTBC采用的星座点集为CIOD以及本文提出的码都采用星座点集A = Aejθ，其中旋转角 θ = a rctan(2)/2。发送天线数nT= 4 ，且发送端能量归一化。信道为准静态平衰落Rayleigh信道，服从均值为0，方差为1的复高斯分布。

5.1 本文的编码方案的性能以及与其他码的比较

图 2给出了接收天线数nR=1和nR=2下的性能曲线。从图2可以看出，相比与文献[8]基于预处理的 QOSTBC方案，本文的编码方案在误码率为10-3，接收天线数为1和2时，分别约有3dB和1.3dB的性能增益。与CIOD相比，本文提出的码具有相同的性能且二者都可以实现单符号ML译码。但是CIOD一半的空时单元始终是 0，也就是说码字能量只集中在另一半空时单元上。而本文提出的码，码字能量分布在所有空时单元内，所以峰均比(PAR)较CIOD要低。相对于G-QOSTBC而言，本文的码仅有非常小的性能损失，这是由于编码增益有稍许降低。根据文献[4]对编码增益的定义可以推出，QPSK调制下，G-QOSTBC的编码增益为0.353 6，而本文所提的码的编码增益为 0.334 4，稍微低一点。但是，带来的好处是译码复杂度大大降低，特别是在高阶调制时，这种降低更为明显。

图2 4天线系统下基于预处理的QOSTBC、G-QOSTBC、CIOD以及本文的码的性能曲线

5.2 复杂度分析

以接收天线数目nR=1为例，对本文的编码方案和文献[11]提出的 G-QSTBC的译码复杂度进行分析。本文的编码方案可以单符号ML译码，对于M阶调制，其乘法次数为16M，加法次数为12M，比较次数为4(M-1)。G-QOSTBC需要成对符号联合译码，其乘法次数为 80M2，加法次数为 46M2，比较次数为 2(M2-1)。可以看出，本文方案的译码复杂度是和M成正比的，而G-QOSTBC的译码复杂度是和 M2成正比的。所以在同样阶数的调制方式下，单符号译码具有更低的复杂度。

表1～表3分别给出接收天线数为1时，不同调制阶数下单符号译码和成对符号译码的乘法次数，加法次数和比较次数。

表1 单符号译码和成对符号译码的乘法次数

表2 单符号译码和成对符号译码的加法次数

表3 单符号译码和成对符号译码的比较次数

5.3 峰均比分析

仿真时保证码字的平均功率等于 1，那么码字的峰均比等于其峰值功率。计算码字峰值功率时，需要考虑所有可能发送码字的所有空时单元的最大功率。例如，本文的编码方案中，信号向量中包含4个符号，每个符号采用M阶调制时，共有 M4个相异的信号向量。对于每个信号向量，做符号交织，预处理和G-OSTBC调制后，则得到 M4个相异的码字，每个码字都存在16个空时单元。通过计算机搜索的方法先找到每个码字的16个空时单元中的峰值功率，再比较所有 M4个码字的峰值功率的最大值，从而得到本文编码方案的峰值功率。

图3比较了本文的编码方案和CIOD在不同调制星座下的峰值功率。可见，该编码方案比 CIOD大大降低了峰值功率，从而降低了峰均比。

图3 4天线系统下CIOD以及本文的码的峰均比性能

6 结束语

本文主要从降低译码复杂度的角度出发，改进了文献[10]的 G-QOSTBC，提出了一种新的发送策略，该策略可以实现单符号最大似然译码，同时保证全分集和最大编码增益。该发送策略首先将比特信息做旋转星座映射，经过符号交织和预处理后，进行G-QOSTBC编码。它相对于G-QOSTBC仅有非常小的性能损失，但译码复杂度却大大降低，特别在高阶调制时降低得更为明显。通过分析得到，本文所提的码的最优旋转角和最大编码增益都与CIOD相同，目前4 4×CIOD在各种星座下的最优旋转角都可直接应用于本文所提的码。但是由于CIOD仅使用了一半的空时单元，所以本文所提的码比CIOD具有更低的峰均比。从另一方面而言，本文也说明：预处理方法结合适当的符号交织和星座旋转，不但能降低 G-QOSTBC的复杂度，而且还能达到全分集，因此推测这种方案对所有的QOSTBC都是可行的，同时这也是笔者进一步要研究的工作。

附录1 HHH的特征值分解推导

首先求HHH的特征值。

令其等于0，得其特征值为

解方程组 (λ3I-HHH) x=0，求得其对应的特征向量为

则HHH的特征值分解表达式为 HHH= VDDVH

附录2 证明 ′′n为白噪声

奇异值分解定理[12]：若 A =(aij)N×N为满秩矩阵，λ1, λ2,… ,λN为AHA的特征值，则为A的奇异值，且A有如下的奇异值分解：其中 UA和 VA为N阶的酉矩阵，且分别为 A AH和 AHA的特征向量矩阵，

根据以上奇异值分解定理，则对 H做奇异值分解为H =UDVH，其中V和U为酉矩阵，V为HHH的特征向量矩阵，如式(7)所示。D为对角阵，其对角元素为HHH的特征值的平方根，如式(8)所示。

则n′= D-1VHHHn ′= D-1VH( UDVH)Hn ′= UHn′。由于 n′为白噪声，且U为酉矩阵，所以 n′为白噪声。

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