拔河比赛的力学分析

神 鹏

(江苏省铜山县茅村中学,江苏铜山 221135)

拔河比赛是学校经常开展的群众性体育活动之一,学生比较熟悉.有些学生以为:胜利的一方对绳子的拉力比失败一方对绳子的拉力要大.当物理课讲到牛顿第三定律,在不计绳子质量的情况下,双方的相互拉力大小相等时,他们并不很理解,经常会问:“拔河双方相互拉力大小相等,为什么还会有胜负之分呢?”解释好这一问题,对学生掌握牛顿第三定律是有益的.

为了便于分析研究这一问题,我们首先假定拔河双方均只有一人参加比赛,画出力的示意图.对甲乙双方的受力情况进行分析,如图1所示.

图1

甲受4力作用:重力 m1g(m1为甲的质量);地面对甲的支持 N1;地面对甲的摩擦力 f1;乙对甲的拉力F21.乙受4力作用:重力 m2g(m2为乙的质量);地面对乙的支持力N2;地面对乙的摩擦力 f2;甲对乙的拉力F12.

下面对拔河比赛问题做出具体分析.

1 从力矩作用分析转动效果

在甲、乙双方拉紧绳子,做好拔河比赛的准备,但开始比赛的号令尚未下达之前,每一方都已处于力矩平衡状态.先分析甲,参看图2.将甲的等效立足点记为O1(由于两脚前后分开而立,这个立足点应理解为地对两脚的支持力的合力作用点),支持力 N1和摩擦力 f1均通过 O1,故对 O1而言无力矩作用.设O1到拉力 F21的作用线的距离为h,到重力 m1g的作用线的距离为a;则F21对O1的力矩大小为:M1=F21◦h(顺时针力矩);m1g对 O1的力矩大小为M2=m1g◦a(逆时针力矩).由于甲处于力矩平衡状态,所以M1=M2.

对乙来说,也有类似情况,参看图3.支持力N2和摩擦力f2均通过O2(O2为乙的等效立足点),故无力矩作用.设O2到拉力F12的作用线的距离为h(设绳是水平的),O2到重力的作用线的距离为b,则:F12对 O2的力矩大小为M3=F12◦h(逆时针力矩);m2g对O2的力矩大小为 M4=m2g◦b(顺时针力矩).由于乙也处于力矩平衡状态,所以M3=M4.

图2

图3

上述分析说明:要维持身体平衡,不但身体要向自己后方倾斜,而且倾斜程度必须满足平衡条件对重力臂的要求,在双方都处于力矩平衡时,很明显有 M2=M4.

拔河开始后,设甲的身体又向后倾斜了一些,重力臂a加大,重力矩M2增大.为了维持力矩平衡,甲对绳子的拉力就要增大.依牛顿第三定律,绳子对甲的拉力相应增大.即使甲尚未达到新的力矩平衡,绳子张力的增加也会导致乙受到的力矩 M3的增大.倘若乙尚未改变姿式,即b未变,则 M3＞M4,乙的平衡遭到破坏,将以 O2为轴向逆时针方向转动.转动开始后,重力臂逐渐减小,若乙不改变其立足点,身体必须前倾.为了防止前倾,其立足点必须向前移动,以迅速增加重力臂 b,从而获得较大的重力矩 M4,以求与已经增大了的 M3取得平衡.即使能达到新的平衡,乙离决定胜负的分界线的距离也变近了些.

从上述分析中看到,无论是对维持力矩平衡来说,还是对争取胜利来说,重力矩都起一定作用.而重力矩的大小又由重力大小和重力臂大小的乘积来决定,由此我们可以得出两点认识:(1)拔河队员的体重越大越好;(2)拔河比赛中,在脚下不打滑的前提下,身体越向后倾斜越好.

2 用牛顿第二定律分析平动效果

在拔河比赛进行过程中,每一方都使自己的身体尽量向后倾斜.这个倾斜是以脚下不打滑为前提条件的.这就是说,脚基本上处于将要滑动又尚未滑动的状态.因此我们可以近似认为,鞋底与地面之间的摩擦为最大静摩擦.

设甲与地面之间的静摩擦系数为μ1,乙与地面之间的静摩擦系数为 μ2,则有

为了讨论方便,先认为每一方在竖直方向上是平衡的,则有 N1=m1g,N2=m2g;于是(1)、(2)式可以分别写为

现再假定绳是水平的,m1＞m2,μ1＞μ2,我们分下面两步对水平运动做些分析.

(1)比赛开始时,设乙是在已经获得了最大静摩擦力的条件下,维持其水平方向的平衡的(见图 4).依 ∑Fx=0有如下关系式:

此时甲也应该是平衡的(见图5),依 ∑Fx=0有如下关系式

很明显,甲受到的摩擦力数值上与 μ2m2g相等.这就是说,甲还有进一步利用脚下摩擦力的可能,而乙脚下的摩擦力已不能再增加.

图4

图5

(2)比赛开始后,双方通过绳子相互作用.将双方视为一个整体,相互作用即为内力.当甲脚下获得了最大静摩擦力时,依牛顿第二定律列出整体的动力学方程如下

(7)式中,ax为整体水平运动的加速度.很明显,ax的方向与μ1m1g的方向相同,即整体将开始向甲的方向移动.这是甲方取胜的有利开端.

从(7)式看出,只要 μ1m1g＞μ2m2g,就会有上述结论.而且不仅仅当 m1＞m2、μ1＞μ2时如此,当 m1=m2、μ1＞μ2或 m1＞m2、μ1=μ2时,也一定如此.这使我们认识到:拔河队员的体重越大越好;所穿鞋的底子越粗糙越好.

3 对拔河技术的力学原理的分析

先从拔河时队员的准备姿式谈起.我们看到,双方队员除了身体向后倾斜之外,一般重心都尽量压低.重心压低时,双腿屈折,似蹲似坐.现将甲方的准备姿式画出,如图6所示.取这种姿式,由于减小了拉力的力臂,对力矩平衡是有利的,但更重要的是可以得到较大的最大静摩擦力.

在脚下不打滑的条件下,当甲做用力蹬地、迅速挺身这一技术动作时,其重心向上、向后同时发生位移,而且重心位移的开始阶段必然是加速的.设重心加速度向上的分量为 ay,将牛顿第二定律用于竖直方向,则有

所以

将(8)式代入(1)式,可得

图6

图7

(9)式表明,当甲做用力蹬地、迅速挺身这一技术动作时,由于增大了脚与地面间的压力,可以获得地面给予他的较大的静摩擦力,而且这一瞬间的摩擦力可以大于μ1m1g.这个摩擦力究竟能大到什么程度,取决于技术动作的质量好坏.由此可见,用力蹬地、迅速挺身这一技术动作,在拔河比赛中有重要作用.这一技术动作完成的好坏,主要由身体条件决定.一般说来,身体健壮、肌肉发达、动作整齐者往往占有优势.绝不能将此理解为胜利的一方对绳子的拉力大于失败的一方对绳子的拉力.学生在这个问题上发生的误解,原因多出在这里.

在拔河比赛中,相互拉力基本上是在水平方向上,一方身体重心的加速上移,基本上不受对方的制约.只要自己原来的身体姿式正确,重心较低,身体获得向上的瞬时加速度是不成问题的.在产生向上的加速度的同时,脚下就获得了较大的静摩擦力,只要这个摩擦力大于对方与地之间的摩擦力,身体重心的后移也就变为现实.一次蹬地、挺身的动作完成以后,甲的姿式如图7所示.在甲的立足点不变的情况下,重心已后移,这就加大了重力矩.此后甲应该乘势再降低重心,适当地改变立足点,做好下次用力蹬地、迅速挺身的准备.

人手的握力大小,对拔河的胜负也有一定影响.拔河时,手与绳子之间不应该有相对滑动.这就对手握绳子的压力大小提出了一定要求.设手与绳子之间的静摩擦系数为μ0,手握绳子时对绳子的压力最大为Nmax,则手与绳子之间的静摩擦力最多为μ0Nmax.当对方对绳子的拉力大于自己的手与绳子之间的最大静摩擦力时,手与绳子之间就会发生滑动,滑动摩擦力又较最大静摩擦力小一些,于是对方连同绳子一起向其后方的运动已无法阻止,失败已无法挽救.前边提到的蹬地动作,主要是由下肢肌肉的协调配合完成,而握力的大小主要与上肢肌肉发达程度有关.如果队员一做蹬地动作,手与绳子之间就滑动,蹬地动作也是无效的.这就要求拔河队员的四肢都应该健壮有力.