“变换坐标,化曲为直”解物理实验问题

王锡忠

(华东师范大学附属东昌中学,上海 200120)

物理规律通常通过实验测出相关物理量的数据,利用作图法进行数据分析,寻找出规律.先由实验数据分析出定性关系,然后猜想物理量间的关系,建立坐标,作图验证.若作出的图线是直线,则物理关系便可确定,若作出的图线是曲线,则只能确定定性关系,而不能确定定量关系.适当变换坐标,将曲线转化为直线,便可确定定量关系.这就是“化曲为直”的物理思想.

实验1:在研究加速度与质量关系的实验中,控制物体所受外力不变,改变物体的质量 m,测出对应的加速度 a,将实验数据填入表1.

表1

如果作a-m图像如图1(a),是一曲线,不能确定a与m的定量关系,但由图线可猜想其为反比函数图像,即如果求出填入表 1,变换坐标,作图像如图1(b),则为过原点的一条直线,即可确定即加速度a与质量m成反比.

图1

例1.某研究性学习小组发现河水在缓慢流动时有一个规律,河中央流速最大,岸边速度几乎为零.为了研究河水流速与从岸边到中央距离的关系,学生小明设计了这样的测量仪器:如图2(a)所示,两端开口的“L”型玻璃管的水平部分置于待测的水流中,竖直部分露出水面,且露出水面部分的玻璃管足够长.当水流以速度 v正对“L”型玻璃管的水平部分开口端匀速流动时,管内外液面的高度差为h,且h随水流速度的增大而增大.为了进一步研究水流速度v与管内外水面高度差h的关系,该组学生进行了定量研究,得到了如表2的实验数据,并根据实验数据得到了vh图像,如图 2(c)所示.

表2

(1)根据表2的数据和图 2(c),请在图2(d)中确定纵轴所表示的物理量,并另作图像,若该图像的形状为________,说明猜想正确.

图2

(2)现利用上述测速器,如图2(b)所示,由河流南岸开始,每隔1 m测一次流速,得到数据如表3所示.

表3

根据v和h之间的关系完成表3的最后一行,对比表3中的数据,可以看出河中水流速度v与从南岸到河流中央距离x的关系为:______.

解析:(1)猜想图2(c)曲线为抛物线,即v2∝h,作v2-h图线,若为过原点的直线即可验证猜想.(具体作图解答过程略)

(2)分析同(1)略.

实验2:在研究温度不变时,一定质量的气体压强与体积关系的实验中,控制气体的温度不变,改变气体的体积V,测出对应的气体压强p,将实验数据填入表4.

如果作p-V图像如图3(a),是一曲线,不能确定 p与V的定量关系.如果求出填入表4,变换坐标,作图像如图3(b),为过原点的一条直线,即可确定即压强p与体积V成反比.

表4

图3

例2.为了测量所采集的某种植物种子的密度,一位学生进行了如下如图4(a)所示的实验.

(1)取适量的种子,用天平测出其质量,然后将几粒种子装入注射器内;

(2)将注射器和压强传感器相连,然后缓慢推动活塞至某一位置,记录活塞所在位置的刻度 V,压强传感器自动记录此时气体的压强p;

表5

(3)重复上述步骤,分别记录活塞在其他位置的刻度V和相应的气体的压强p,得到数据如表5所示.

(1)根据表5中数据,为了求出种子总体积,在图4(b)中应作该实验的________关系图线.

(2)根据所作图线,可求得种子的总体积约为_______ml(即cm3).

(3)如果测得这些种子的质量为7.86×10-3kg,则种子的密度为________kg/m3.

解析:设种子的总体积为 V0,则封闭气体的体积为(V-V0),由玻意耳定律得 p(V-V0)=C,若作 V-p图线,则为一曲线.公式变换得,求出填入表5,变换坐标描点作出图线,则为一条不过原点的直线,延长图线,与纵坐标交点的坐标值即为种子总体积 V0,由公式即可求出密度ρ.(具体作图解答过程略)

实验3:在用电流表、电阻箱由如图5电路测电源的电动势 E和内电阻r的实验中,改变电阻箱的阻值R,并读出对应的电流 I,填入表6.用作图的方法求 E、r.

图5

表6

例3.某学生要测量一节旧电池的电动势和内阻,实验器材有1个电流表、1个电阻箱 R、1个 2 Ω的定值电阻R0,一个开关和导线若干,该学生按如图6所示电路进行实验,测得的数据如表7所示.

图6

表7

(1)该学生为了用作图法来确定电池的电动势和内阻,在图7中应作该实验的_______关系图线.

(2)利用实验数据在给出的直角坐标系上画出正确的图像.

(3)由图像可知,该电池的电动势 E=_______V,内阻r=________Ω.

(4)若将器材中的电流表换为电压表,在图7中应作该实验的_____关系图线来确定该电池的电动势和内阻.

图7

解析:若将电源和定值电阻 R0等效成新的电源,新电源电动势仍为 E,内阻 r′=r+R0,根据上面的分析,由闭合电路欧姆定律进行公式变换得算出填入表7,变换坐标作图线,为一直线.由图线斜率k=E,纵坐标截距 b=-r′,即可求出电源内阻 r=r′-R0,电动势E.(具体作图解答过程略)

实验4:在用单摆测重力加速度的实验中,改变摆长L,测出所对应的周期 T,填入表8.用作图的方法求重力加速度g.

表8

例4.在用单摆测定重力加速度的实验中,将一单摆装置竖直悬于某一深度为h(未知)且开口向下的固定小筒中(单摆的下部分露于筒外),如图8(a)所示.将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁.如果本实验的长度测量工具只能测量出筒口下端到摆球球心之间的距离 l,并通过改变 l而测出对应的摆动周期T,再以 T2为纵轴、l为横轴,做出 T2-l图像,如图8(b)所示.则可以由此图像得出我们想要测量的物理量.

图8

(1)现有如下测量工具:(A)时钟;(B)秒表;(C)天平;(D)毫米刻度尺,本实验所需的测量工具有________.

(2)如果实验中所得到的 T2-l关系图像如图8所示,那么真正的图像应该是 a、b、c中的________.

(3)由图像可知,小筒的深度 h=________cm;当地重力加速度g=________m/s2.

综上,“变换坐标,化曲为直”解实验题的方法有两类,(1)在研究性实验中,首先要根据测量数据,作出两个所测量物理量之间的关系图像,根据图线形状猜想两个物理量之间的关系,再根据猜想变换坐标,作出图线验证猜想.(2)在验证性、测量性实验中,首先要根据两个所测量物理量之间满足的关系式,巧妙地进行公式变换,将公式转换为y=kx+b形式,再根据变换后的公式变换坐标,作出图线,数形结合,根据图线斜率和截距的物理意义解题.

“变换坐标,化曲为直”是解物理实验问题的常用方法之一,也是近年来高考出现频度比较高的方法之一.巧妙恰当地“变换坐标,化曲为直”,便可柳暗花明,数形结合使问题迎刃而解.