对一个变质量系统重心的研究

洪雪芹 杨月春 石 红 吴 蓓 房艳萍 戴景生

(1.中原油田技术安全培训部,河南濮阳,457001;2.中国石油大学中原油田学习中心,河南濮阳 457001;3.中原油田第二高级中学,河南濮阳 457001)

1 引言

文献[1]中有这样一个问题:一个圆球形薄壳容器所受重力为 G,用一细线悬挂起来,如图1所示,现在容器里装满水,若在容器底部有一个小阀门,当小阀门打开让水慢慢流出,在此过程中,系统(包括容器和水)的重心位置

(A)慢慢下降.

(B)慢慢上升.

(C)先下降后上升.

(D)先上升后下降.

本题可以这样考虑,以小阀门所在位置为坐标原点,水平方向为 x方向,竖直方向为y方向建立直角坐标系xOy,y轴过“水球”球心,如图2所示.设“水球”的半径为 R.水未流出时,连同圆球形薄壳容器在内的系统的重心位置在y=R处,水流尽时,系统的重心位置也在y=R处,水在流动过程中“水球缺”的重心在 y=R以下,系统的重心位置也在y=R以下,故选择(C),即系统的重心位置先下降后上升.

据此可以想到:(1)水在流动过程中,系统的重心应该有一个最低位置,它在哪里?(2)从打开阀门开始,水流多长时间,系统的重心位置最低?(3)从打开阀门开始到水流尽,需要多长时间?

图1

图2

图3

2 对系统重心的研究

在 xOy平面与“水球”的截面圆内观察,水位线与圆周的交点P跟圆心连成的圆的半径为R,此R与y轴负方向的夹角为θ,如图2所示.设水的密度为 ρ,考虑半径为 r厚度为 dy的圆形薄水层,其 r=Rsinθ,纵坐标 y=RRcosθ,θ∈[0,180°],体积 dV=πr2dy,质量 dm=ρ dV=ρ πr2dy.

从图3看出,高度为 H的“水球缺”质量为

系统在地球附近,所占空间又很小,其重心与质心是重合的,计算重心位置与计算质心位置的方法一样.

根据物理学对物体质心的定义,高度为H的“水球缺”的质心坐标为

系统的质心坐标,也是重心坐标为

由式(1)看出,系统的重心坐标不仅与水面高度(由θ表现出来)有关,还与圆球形薄壳容器的质量跟水的总质量的比值有关.

3 水流时间的计算

假设上面的水面与大气连通且没有粘滞性,仅靠自身重力自由流出.水经阀门流出时,水面的坐标是流水时间的函数.设阀门是截面积为SB的圆孔,某时刻圆孔处水的流速为 vB,水面的高度为 y,经 dt时间后水面下降 dy,圆孔流出水的体积微分dVB=SBvBdt.在水面处,同一时间内流水体积的微分是dV=-πr2dy(水流出时体积增量为负值),根据流体连续性原理,SBvBdt=-πr2dy.结合伯努利方程求出,再利用 r=Rsinθ,得

两边积分得

4 结束语

从式(1)看出,系统重心坐标的最小值与圆球形薄壳容器的质量跟水的总质量的比值有关,对于不同的系统重心坐标的最小值不同,从打开阀门开始,到水流到系统重心最低时所用的时间也不同.

在求系统重心坐标最小值时,按照传统的办法是将yC系统对cosθ求导数,找出驻点,再求极值.本题这样做势必产生高次方程,高次方程非常难解.与其解复杂的高次方程,还不如借助计算机用逼近法[注]来寻找答案.

[注]关于数学上用逼近法求极值的进一步解释:因cosθ∈[-1,+1],故取 cosθ=-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1分别代入式(1)计算yC系统,用手持计算机可以很方便的计算出结果.再从yC系统最小的那个值对应的cosθ两侧分别取一个值代入式(1)计算 yC系统,比较其大小.循环进行,很快就找到最小的 yC系统,如用电脑编程计算就更快捷.逼近法求极值适用于已知函数在某个区间内有一个确定的极值的情形.

1 孙翔峰.《创新方案》高考总复习◦物理.北京:人民日报出版社,2006.3

2 吉永录.小孔泄流时间问题.物理教学,1984(3):42-43

3 肖士旬.理论力学简明教程.北京:人民教育出版社,1980.91-92

4 樊映川.高等数学讲义下册.北京:人民教育出版社,1980.138-140