质量分布均匀的圆盘对盘外质点引力的讨论

冯德强

(江苏省南菁高级中学,江苏江阴 214400)

近期某刊物刊登了一篇文章——《万有引力》复习之我见,谈到一个例子.半径为R质量为M的均匀等厚的大圆板的一侧挖掉半径为的内切的小圆板,并将挖出的放于距大圆板圆心为3R的地方,如图1,三个圆心在同一直线上,求月牙形板与小圆板之间的万有引力.

图1

文中提出了两种解法,并指出第1种解法是错的,而认为第2种解法是正确的.(解法1明显错误,故此处从略)原解法2如下:设完整的大圆板对相距3R的小圆板的万有引力为F1=这个力可以看成是月牙形圆板和要挖的那个小圆板作为整体对外边的那个小圆板的万有引力的合力,而要挖的那个小圆板对外边小圆板的万有引力为 F2=这样月牙形板对小圆板的万有引力就为F=F1-F2=

笔者认为,该解法2也是错误的.问题的根源在于:我们是否可以把质量分布均匀的圆盘对盘外质点的引力等效为盘心对质点的引力?答案是否定的!除非圆盘与盘外质点相距无穷远,可将圆盘视为质点.本文将详细地研究处理引力问题时的等效问题,与读者共同讨论.

众所周知,如果将原题中的圆板改为质量分布均匀的球体,我们是可以按照原文中的方法来处理的.而实际上也只有质量对称分布的球体(球壳、球面),在计算对球外一质点才可以等效为质量集中到球心进行计算.证明如下:我们只需证明质量均匀分布的薄球壳对球外质点引力问题即可(对球内任一质点的引力为零,此处不证).

思路1:用类比法考虑,由于万有引力定律与库仑定律的相似性,可用电场高斯定理证明均匀带电球壳对球外点电荷的电场力等效于电荷集中于球心对点电荷的库仑力.因此质量均匀分布的薄球壳对球外质点引力也可如此等效.

思路2:结合数学积分推导.设质量均匀分布的薄球壳的密度为 ρ,O为球心,球半径为 r,球壳的厚度为 t,且t≪r,球壳外质点质量为 m,位于 P点,OP=R,如图2.

图2

设在球壳 A点处的一个质元对m的引力为F1,由球壳的对称性,可以找到与 A对称的B点处取一个与A点处的质元相同的质元,并设该质元对m的引力为F2.与OP连线的夹角为 α.易知,F1与 F2的合力必沿PO连线方向.我们在球壳上取一环带,环的半径为 rsinθ,周长为 2πrsinθ,宽为 rdθ,θ为由环到球心O 的连线与OP的夹角,dθ为连接球心与环带的两侧的球半径间的夹角.已知球壳的厚度为 t,因此,环带的体积为

环带的质量为

由于环带上各质元到P的连线与OP的夹角都相等,均为 α,各质元到P点的距离也都相等,均为 x,所以环带对质点的引力的大小为

式中 x、α和θ间满足下列关系

根据余弦定理,有 x2=R2+r2-2Rrcosθ.

对上式等号两端进行微分,得 2xdx=2Rrsinθ dθ,联立以上各式,消去α和θ化简后得

就是整个环带对质点的引力.

整个球壳可以看作是由一系列环带组成,所有这些环带的圆心都在OP连线及其延长线上,到P点的距离各不相同,最小 R-r,最大 R+r.即变量 x的范围从R-r到R+r.故球壳对质点的总的引力为

下面讨论质量均匀分布的圆盘对盘外质点的引力问题,实际上我们只需研究质量均匀的圆环即可.因为圆盘可以看作有无数圆环组成.

首先讨论圆环对在过圆心的垂直轴上的点的引力.

如图3,圆环单位长度质量为λ,半径为 R,在其过圆心 O的垂直轴上距离O点为x处有一质点P,质量为 m.求圆环对 P的引力.取环上关于 O点中心对称的微元 A、B,长为 ΔL.质量为 Δm.对 P点的引力分别为F1和F2.由于对称性,F1和F2大小相等,方向均与 PO连线夹角为α.易知 F1和 F2的合力必沿 PO方向.因此整个圆环对P点的引力必沿PO方向.大小计算过程如下:

图3

其次讨论圆环对环外且与圆环在同一平面上的质点的引力.

在这种情形下,要定量计算非常困难.笔者试从定性分析的角度说明,圆环对环外且与圆环在同一平面上的质点的引力不能等效为质量集中到环心对质点的引力.借助均匀球面模型,如图4,在球面上取上下对称的两个面元ΔS,将整个球面看作由此两面元与剩余部分组成.当面元无限小时(实际不可能做到),由于剩余部分即可视为整个球面,而整个球面对P点引力可等效为球心对P点引力,因此此时的面元对P点引力也可等效至球心.设想面元逐渐增大,则通过前面类似的计算可知:两个面元对P的引力的等效点应在球心偏左位置,而除两面元以外的球面部分对P的引力的等效点在球心偏右位置(这样合效果才会在球心).依次推得,当面元无限接近半球面时,球面的剩余部分对 P的引力才可等效于球心.实际上这是不可能做到的.也就是说,当面元取得接近半球面时,剩余部分即为一圆环而且与P在同一平面上,由上面推理知,其对P的引力的等效点应在圆心偏右的位置.而一定不在圆心.

也许有读者会简单地认为,把圆环分为两个半圆环,其中一个离考察点近,另一个离考察点远.又因为引力表达式中分母上有距离平方关系,近的半圆环对考察点的引力要比远的半圆环对考察点的引力要大得多,所以等效点必在圆心靠近考察点的一侧.笔者认为不能这样简单的理解,因为球面不也可以这样考虑吗?但结论却不同.

图4