“微元法”在高中物理教学中的渗透

蔡丽芬 王 飞

(1.南京师范大学物理科学与技术学院,江苏南京 210097;2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034)

“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取出有代表性的极小的一部分进行分析处理,再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法.“微元法”是高中物理涉及到的一种数学方法之一,渗透着微积分的思想,是物理学发展过程中最重要的科学思维方法之一,是牛顿力学的数学基础.微元法对中学生来说显得有一定的难度(属于较高要求).但在人教版的高中物理新教材中恰当地选择了一些物理问题进行“微元法”的渗透,使学生逐步对“微元法”了解、熟悉,层次较高的学生甚至能利用“微元法”解决一些实际问题,近几年的江苏高考中也将微元法的应用作为对较高层次学生的要求.

1 “微元法”在新教材中的呈现

人教版的高中物理新教材强调方法,对科学方法的学习做了系统化、结构化的处理,在整个必修教材中对微元法采用了逐步渗透的方法.现将涉及内容统计如表1.

表1

从表1可以看出,新版教材的必修部分在各个章节都将“微元法”以多样化的形式展现给学生,使学生在潜移默化中对“微元法”有所认识、了解、熟悉.

2 课堂内外对“微元法”的渗透

教师除了让学生通过教材对“微元法”的思想有所了解之外,还可以在平时的教学中经常性的补充一些微元法的应用问题,使学生在实践中对“微元法”领悟更深,丰富学生处理问题的手段,拓展学生的思维.现笔者从以下几个方面举些例子.

(1)利用微元法将变力做功转化为恒力做功.

例1.如图1(a)所示,某个力 F=10 N作用于半径 R=1 m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变,但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致,则转动1周,这个力F做的总功为多少?

图1

解析:由于力F的方向与作用点的速度方向一致,因此力F做功不为零,且此力不为恒力.可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究.如图1(b)所示,当各小段的弧长Δs足够小(Δs→0)时,在这 Δs内F 的方向几乎与该小段的位移重合,每一小段里恒力 F做功 ΔW=FΔs,则 F做的总功为 W=FΔs1+FΔs2+FΔs3…=F◦2πR=20πJ.

这等效于将本来是曲线的圆周拉直.在这里,力 F所做的功相当于力和物体运动路程的乘积.

(2)利用微元法“化曲为直”求曲线运动的瞬时速度

例2.某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行,它的近日点A离太阳的距离为a,行星经过近日点 A时的速度为vA,行星的远日点B离太阳的距离为b,如图2所示,求它经过远日点B时的速度vB的大小.

图2

解析:由开普勒第二定律可得,近日点速度大,远日点速度小,具体大小关系如何?在这里我们可以利用微元法在近日点和远日点分别取很短的时间Δt,如图2所示,在Δt内可认为行星做匀速直线运动,扫过的面积即三角形面积,根据开普勒第二定律有

所以

(3)利用微元法“化整为零”从局部求整体

例3.杯子中装有半杯水,当杯子以恒定的加速度 a向右运动时,液面形状如何?

图3

解析:此问题若直接取杯中水研究很难突破液面形状问题,我们可在液面上任取一薄薄的微液片,如图3所示,设其质量为Δm,微液片受向下的重力G和内部液体的弹力N,因其加速度水平向右,所以G、N的合力F必水平向右,设液面与水平面的夹角为θ.由牛顿第二定律有F=Δmgtanθ=Δma.所以

(4)利用微元法将一般回归到特殊

例4.如图4所示,均匀带电圆环的带电荷量为+Q,半径为 R,圆心为 O,P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点,OP=L,P点的场强为多少?

图4

解析:本题中的带电体为一般带电体,而非点电荷,所以不能直接运用点电荷电场公式.但我们可以利用微元法将一般带电体的场强计算转化为点电荷场强的计算,即在圆环上取一小段Δl,设圆环上电荷的分布密度为ρ,则该小段的带电荷量Δq=ρ◦Δl,在 P点产生的场强:E=而r2=R2+L2,P点处的场强又可分解为

因为圆环上电荷分布具有对称性,所以y轴方向的合电场为0.则 P点的场强为

通过上面的举例我们可以看出,“微元法”使曲与直统一起来了,使变与不变统一起来了,使一般与特殊统一起来了.通过对教材的认识,通过平时的训练,相信学生在教师的引导下必定能够逐渐领会微元法的奇妙之处,达到一通而百通. (收稿日期:2010-02-01)