非线性聚焦生成畸形波规律之研究

张运秋，胡金鹏，张宁川

（1.中科院广州能源研究所中国科学院可再生能源与天然气水合物重点实验室，广州510640；2.华南理工大学土木与交通学院，广州510641；3.大连理工大学海岸和近海工程国家重点试验室，大连116023）

畸形波是极值波中的一种特例，因其对船舶、采油平台等海洋结构极具危害而倍受关注。其波高具有以下特征：（1）波高大于2倍有效波高；（2）波高大于2倍相邻波高；（3）波峰大于0.65倍波高。畸形波的发生具有不确定性和瞬时性，很难完全通过现场观测来获得畸形波在多种条件下的发生规律，因而有必要运用数值探索其发生规律。

大量研究结果表明，非线性聚焦是畸形波生成的一种可能机理，可通过边带不稳定性实现，该不稳定性可引起边带扰动在波列聚焦点处随时间成指数增长而生成一个大波［1］。这方面的数值模拟可通过深水非线性薛定谔方程、DS系统、Zakharov方程、完全非线性方程实现。Onorato等［2］采用三阶非线性薛定谔方程研究了以JONSWAP谱为特征的随机波状态下畸形波的生成，认为Phillip参数α和峰高因子γ值较大时，易产生畸形波；Janssen［3］用Zakharov方程模拟后，指出非线性聚焦可以克服线性色散引起的能量分散，当波足够陡时会出现畸形波，并且具有窄带谱和大波陡的波有利于畸形波的出现；Fochesat［4］等建立了三维波浪数值水槽，求解了完全非线性势流方程，指出入射角度和水深影响畸形波的运动和几何特性；张运秋等［5-6］通过四阶修正非线性薛定谔方程研究了边带扰动和JONSWAP谱描述的随机波条件下的畸形波生成，指出减小边带不稳定性范围内扰动频带宽度、增加谱参数α和峰高因子γ有利于畸形波的生成，而且随机初相位的选取对畸形波的生成有重要影响。

上述研究结果探讨了多种条件下畸形波的生成规律，但边带扰动条件下畸形波的生成规律还缺乏系统研究，本文将以四阶修正非线性薛定谔方程为基础，针对波列演化的边带不稳定性，系统地研究边带扰动条件下畸形波的生成规律。

1 数值模型

1.1 控制方程

假定A为一阶Stokes波的复波包，φ为平均流的势，在群速度移动的坐标系统下满足控制深水波列演化的四阶修正非线性薛定谔方程，具体见参考文献［5-7］。该方程为高阶非线性方程，采用伪谱方法求解。由已知的复波包求得无因次的自由波面ζ为

式中无因次变量与有因次变量存在的变换关系为

式中：ε=ka为波陡；a为载波振幅；ω为载波频率；k为相应的波数；λ为使ξ的计算域为2π的尺度因子；x为波浪传播方向的水平坐标；t为时间坐标；A′、φ′和ζ′为相应的有因次变量。

1.2 初始条件

由载波（v=0）加一对边带（v=±1）扰动形成的边带扰动条件如下

式中：S、a分别对应边带的初始振幅和相位。

根据Dysthe［8］的不稳定性标准，当满足下列条件时边带（v=±1）是不稳定的，会导致边带扰动成指数增长

式中：Δk为波数扰动。根据色散关系式可得Δω/ω=Δk/（2k），当λ变小时，波数扰动Δk变小，即扰动频率带宽Δω变窄，不稳定边带的模式增多。

计算中载波的基频取f=2 Hz，为了在短时间内获得最大线性的增长，取边带扰动的初始相位a=-0.25 π。

2 数值结果

2.1 畸形波的生成示例

取波陡ka=0.15，边带扰动振幅S=0.05。根据式（3）可知尺度因子取0<λ<1.146时，边带扰动是不稳定的，计算中主要选λ=1.2，1.1，1.0，…，0.2，0.1来研究畸形波的生成。图1给出了尺度因子λ取不同值时初始波列及其演化过程中生成的畸形波波列示例。由图1可看出含有边带扰动的初始波列近于正弦波，波峰和波谷有极其微小的变化，而当畸形波出现时，这种类正弦波的波形节奏被破坏，大部分时间里较为规则的波形会突然升起一个高而陡的峰，两侧形成相对较浅的谷，波面左右不对称，具有明显的非线性特点。另外，当λ=0.3，0.2时，即有3对及3对以上边带不稳定时，波列演化空间的某个位置处在一个周期为2 π的域上偶尔会出现2个畸形波，这说明多对不稳定边带的相互作用可促进畸形波的生成。

2.2 畸形波的生成规律

2.2.1 畸形波的生成随波陡的变化

取波陡ka=0.1，0.15，0.2，S=0.05，图2给出了一对边带扰动条件下（式（2）），波列演化过程中畸形波的生成概率。在此，畸形波的生成概率是指初始波列演化过程中在空间上有畸形波出现的可能性。当ka=0.1而其他参数条件不变时，尺度因子λ的不稳定域为0<λ<1.228。由于初始波陡较小，边带不稳定性的发展较慢，所进行的模拟中，仅λ=0.1时有畸形波出现，但其生成概率仅为0.006 7%，远低于ka=0.15时的概率；当ka=0.15而其他参数条件不变时，根据前面的模拟统计可知，尺度因子0.85<λ≤1.2时，畸形波的生成概率为零，但当λ≤0.85时，畸形波具有一定的发生概率，且随着λ的减小，即不稳定边带的数目逐渐增多，有逐步上升的趋势。显然，多对不稳定边带的相互作用在很大程度上增加了畸形波的发生概率；当ka=0.2而其他参数条件不变时，尺度因子λ的不稳定域为0<λ<1.07。采用较大的初始波陡可加快非线性的发展，使得边带的不稳定性快速显著地表现出来。

由图2可看到，在边带不稳定范围之外的模拟中（λ=1.1，1.2）没有畸形波出现，而在刚刚满足边带不稳定性范围的λ=1.0处就具有一定的畸形波发生概率，之后随着尺度因子的减小，畸形波的发生概率不断增长，但当λ=0.8，0.775时，畸形波的发生概率急剧降低，主要是由于统计过程中较大的波如果位于波列中的第一个或最后一个，则无法满足畸形波特征中大于相邻波高2倍的条件，因而在可能生成的位置而低估了其发生概率，但从总的趋势上来看，随着λ的减小，畸形波的发生概率增长，而且与ka=0.15时相同条件的模拟相比，其发生概率均大于后者。

2.2.2 畸形波的生成随初始边带扰动振幅的变化

取含有一对边带扰动的波列为初始条件（式（2）），扰动振幅为 S=0.01，0.05，0.1，0.15，波陡为 ka=0.15。图 3 给出了这些条件下初始波列演化过程中畸形波的生成概率。当1.0≤λ≤1.2时，各次模拟中均无畸形波出现，当λ≤0.9时开始有畸形波生成，生成概率基本上随着初始扰动振幅的增长而增长，并且也随着尺度因子的减小而增长。

2.2.3 畸形波的生成随初始边带扰动数目的变化

取 1对边带（v=±1）扰动（式（2））作为初始条件，还采用2 对边带（v=±1，±2）扰动（式（4））及 3 对边带（v=±1，±2，±3）扰动（式（5））形成的复波包作为初始条件，模拟波陡ka=0.15，0.2时初始波列的演化

式中：边带的初始振幅S=0.05。

图4给出了1对、2对及3对初始边带扰动条件下波列演化过程中畸形波的生成概率。由图4可看出，当ka=0.15时，λ≤0.85时进行的各次模拟中有畸形波生成，3对初始边带扰动的模拟与2对初始边带扰动相比，前者畸形波生成概率基本上大于后者，但是与1对初始边带扰动时的模拟相比，除了λ=0.85，0.7，0.6之外，其他各次模拟没有相似的规律；而2对初始边带扰动的模拟与1对初始边带扰动相比，仅有λ=0.85，0.7，0.6时，前者的畸形波生成概率大于后者。当ka=0.2时，λ≤1.0时所进行的模拟中，畸形波的发生概率大于零，3对初始边带扰动时的模拟畸形波的生成概率多数大于2对初始边带扰动，而基本上均大于1对初始边带扰动；2对初始边带扰动条件下畸形波的生成概率基本上均大于1对初始边带扰动。因此可知初始边带扰动数目的增长有增加畸形波发生概率的趋势。

3 结语

本文以控制深水波列演化的四阶修正非线性薛定谔方程为基础，研究了边带扰动条件下，通过非线性聚焦生成畸形波的规律，得到如下结论：

（1）畸形波的生成随着不稳定域中不稳定边带数目的增加而增加；

（2）当波陡大于0.1且边带扰动满足不稳定性条件时，畸形波的生成随着波陡的增加而增加；

（3）边带不稳定性满足的前提下，畸形波的生成随着初始边带扰动振幅和数目的增加而增加。

［1］Kharif C，Pelinovsky E.Physical mechanisms of the rogue wave phenomenon［J］.European Journal of Mechanics B/Fluids，2003，22（6）：603-634.

［2］Onorato M，Osborne A R，Serio M,et al.Freak waves in random oceanic sea states［J］.Physical Review Letters，2001，86（25）：5 831-5 834.

［3］Janssen P A E M.Nonlinear Four-Wave Interactions and Freak Waves［J］.Journal of Physical Oceanography，2003，33（4）：863-884.

［4］Fochesato，Christophe，Grilli S,et al.Numerical modeling of extreme rogue waves generated by direction energy fields［J］.Wave Motion，2007，44（5）：395-416.

［5］张运秋，张宁川，裴玉国.畸形波数值模拟的一个有效模型［J］.大连理工大学学报，2008（3）：406-410.ZHANG Y Q，ZHANG N C，PEI Y G.An efficient model for numerical simulation of freak waves［J］.Journal of Dalian University of Technology，2008（3）：406-410.

［6］Zhang Yunqiu，Zhang Ningchuan，Hu Jinpeng.Efficient simulation of freak waves in random oceanic sea states［J］.China Ocean Engineering，2009，23（1）：157-165.

［7］Lo E，Mei C C.A numerical study of water-wave modulation based on a higher-order nonlinear Schroedinger equation［J］.Journal of Fluid Mechanics，1985，150：395-416.

［8］Dysthe K B.Note on a modification to the nonlinear Schroedinger equation for application to deep water waves［J］.Proceedings of the Royal Society of London Series A-Mathematical Physical and Engineering Sciences，1979，369：105-114.