永磁体磁共能的计算方法

王 骞 邹继斌 付兴贺 唐 宇

（哈尔滨工业大学电气工程与自动化学院 哈尔滨 150001）

1 引言

虚功法作为一种计算电磁系统的电磁力或电磁转矩的常用方法，具有精度高、计算量小等诸多优点。当采用虚功法时，需要对系统中的磁能或磁共能进行计算。对于含有永磁体的系统，磁（共）能存在于以下区域：①非磁性区域，如气隙和铜线；②软磁材料，如铁心；③永磁体。如果认为铁心是理想的，即其磁导率为无穷大，则可以忽略铁心内的磁（共）能，系统的磁（共）能主要储存于气隙和永磁体中。对于永磁体内的磁能，已有较多文献进行研究[1-8]。但对于永磁体内磁共能的研究，却鲜有提及。

利用系统的磁能或磁共能计算电磁力为

式中 Fe——电磁力；

W，W′——系统的磁能、磁共能；

i——电流；

x——位移；

λ——系统的磁链。

对于某些系统，电流i恒定，而系统磁链λ 随位移x的变化而变化，此时式（1）不再适用；同时由于对永磁体内的磁共能没有明确的计算方法，不能保证用式（2）进行计算的正确性，因而使虚功法的应用受到了极大的限制。为了解决上述问题，必须明确地提出永磁体磁共能的计算方法。文献[9]简要地提出了永磁体内磁共能的计算方法，但没有对其物理意义进行阐述，并且其合理性也没有得到验证。

本文第二部分给出了永磁体内磁共能的计算方法，并对其物理意义进行了阐述；第三部分通过对一个含有恒定电流电励磁的理想永磁磁路所产生的电磁力进行计算，验证了该方法的正确性；第四部分对永磁体的实际退磁特性进行了考虑，并对“存在垂直于永磁体磁化方向上的磁场”的情况进行了分析；在此基础上，第五部分分别采用解析法和图解法对无传导电流时永磁体系统的磁共能进行了计算和分析。

2 永磁体磁共能的计算方法

根据文献[9]，磁共能W′被定义为电流i和位移x的函数，其表达式为

将磁能的表达式

代入式（3）得

式（5）对于软磁材料（H=0时B=0）是适用的。对于永磁体，由于当H=Hc（Hc为永磁体的矫顽力，为一负值）时，B才等于0，因而需对式（5）进行适当地修正以用于计算永磁体内的磁共能。

在本文中，推荐将永磁体的磁共能定义为

与式（5）相比，只是将积分的下限由 0变为Hc。

在该定义下，永磁体磁共能密度的表达式为

其大小如图1中阴影部分面积所示。

图1 推荐的永磁体磁共能密度的计算方法Fig.1 Recommended algorithm of stored co-energy density in a permanent magnet

该计算方法具有明确的物理意义：

（1）能量总是一个非负值，这是一个很自然的概念；式（6）的定义保证了永磁体内的磁共能始终是一个非负值（因为积分号中的B和dH均为非负值）。

（2）该定义与其他无源材料（即 Hc=0，如空气）的磁共能的计算方法是一致的，只需令式（6）中的Hc=0就变为了磁共能的原始计算公式，即式（5）。

对于具有理想特性的永磁材料，其退磁曲线为直线，即磁导率不随工作点位置的变化而变化（如图1所示），其退磁特性可表示为

式中 Br——永磁体的剩磁；

µr——永磁体的相对磁导率。

则永磁体的磁共能密度为

可以看出，该表达式与无源材料（如空气）磁共能密度的表达式是一致的。

3 实例验证

图2为一具有理想特性的磁路：铁心的磁导率为无穷大，永磁体的退磁曲线为直线，且忽略漏磁和气隙边缘效应的影响。将绕组中通一恒定电流，其磁动势用Fa来表示。

图2 含有恒定电流和理想永磁体的磁路示意图Fig.2 Schematic of a system with constant current and ideal permanent magnet

在以下各式中，用下标m表示永磁体，g表示气隙。

同式（8），永磁体的退磁曲线满足

根据安培环路定律和磁通连续性定律，有

联立式（10）～式（12），解之得

理想铁心的磁共能为 0，所以系统的磁共能包括气隙内的磁共能和永磁体内的磁共能，其表达式分别为

式中，d为磁路轴向长度。

由于i=constant，因而可以采用式（2）来计算系统的电磁力，其表达式为

则单位面积的力密度为

这个结果与用传统方法所得出的结论是一致的[2,10-11]，从而验证了文中提出的永磁体磁共能计算方法的正确性。

4 对永磁体实际退磁特性的考虑

永磁体的退磁曲线并非全是直线。事实上，对于有的永磁体，如部分铁氧体永磁体，或工作在高温环境下的稀土永磁体，其退磁曲线上的上半部分为直线，当超过膝点后，退磁曲线就急剧下降，如图3所示。

图3 部分永磁体的实际退磁曲线Fig.3 Practical demagnetization characteristics for some permanent magnets

下面分两种情况来计算具有上述退磁特性的永磁体的磁共能。

（1）退磁磁场强度不超过拐点。当退磁磁场强度不超过膝点时，回复线与退磁曲线的直线段相重合，此时永磁体磁共能的分析方法与前面的相一致，只是用cH′来代替 Hc，其中cH′为回复线的延长线与横轴的交点。磁共能密度的表达式依然为式（9）。

（2）退磁磁场强度超过拐点。当退磁磁场强度超过拐点后，新的回复线不再与退磁曲线相重合，此时永磁体被部分永久去磁。设cH′为新的回复线的延长线与横轴的交点，则新的回复线的表达式为

则此时永磁体的磁共能密度为

综合以上两种情况可以看出，在考虑了永磁体的实际退磁特性后，永磁体的磁共能密度依然可以用式（9）来表示，因而用式（9）来计算永磁体的磁共能密度具有很强的适用性。

需要注意的是，本文以上部分的分析都是仅仅针对永磁体的磁化方向进行考虑的。当存在垂直于永磁体磁化方向的磁场作用于永磁体时，永磁体的磁共能密度应表示为

式中 Bpar——永磁体磁化方向上的磁通密度；

µpar——永磁体磁化方向上的相对磁导率；

Bper——垂直于永磁体磁化方向上的磁通密度；

µper——垂直于永磁体磁化方向上的相对磁导率。

5 无传导电流时永磁体系统的磁共能

如前所述，对于含有永磁体的系统，其磁共能主要分布在永磁体、气隙和铁心区域内，即

下面分别用解析法和图解法，来推导无传导电流时永磁体系统的磁共能的表达式。

5.1 解析法

假设铁心的磁化曲线是线性变化的，则铁心内的磁共能密度可表示为

此时式（22）可写为

式中 Vpm，Vair，Vsteel——永磁体、气隙和铁心所在区域的体积；

VS——气隙和铁心区域的体积之和。

对于无传导电流的永磁体系统，即电流密度J=0，在忽略位移电流的条件下，有

式中 A——矢量磁位；

Vtot——系统的总体积，Vtot=Vpm+VS;

a——Vtot的表面。

因 A与场源和观察点之间的距离成反比，H与距离二次方成反比，而面积与距离二次方成正比，所以当包围整个空间的表面a在无穷远处时，式（25）右边的积分项为 0[12]，则式（25）可写为

将其代入式（24）得

可以看出，无传导电流时永磁体系统的总磁共能可以表示为永磁体区域的体积分的形式，其中被积分项为永磁体的磁共能密度和外部等效磁共能密度之和，记为ω′。ω′的表达式为

其大小如图4中阴影部分面积所示。

图4 永磁体磁共能密度和系统外部等效磁共能密度Fig.4 Illustration of magnet co-energy density and equivalent external co-energy density of a permanent magnet system with no conductive current

因而永磁体系统的磁共能可表示为

对于上述结论，可以从以下方面来理解：

（1）由于系统中不存在电流，系统中的磁场全部是由永磁体产生的，故磁共能可表示为只与永磁体区域有关的形式。

（2）气隙和铁心对系统的磁共能的影响体现在永磁体工作点的变化上。当气隙或铁心的工作点发生变化，即系统的磁阻发生变化时，永磁体的工作点会发生变化，相应的系统的磁共能也将发生变化，从而产生电磁力或电磁转矩。

众所周知，电磁系统的运行遵循“磁阻最小”原理，即电磁力的方向是使磁路磁阻减小的方向，如图4中所示，外部特性从Oa变化为Ob；从图4中可以看出，系统的磁共能是增大的，这与式（2）所表示的物理意义是一致的，即电磁力的方向是使系统磁共能增大的方向，这也在一定程度上验证了本文提出的计算方法的合理性。

5.2 图解法

对图1中的永磁体退磁曲线，将纵坐标乘以永磁体提供每极磁通的截面积，横坐标乘以每对极磁路中永磁体磁化方向长度，即可得到图 5所示的φ= f( F)曲线。

图5 永磁体及外磁路的()f Fφ=曲线Fig.5 φ=f(F)curves for permanent magnet and external magnetic circuit

图中，曲线OM′为外磁路的()f Fφ=曲线，其非线性是由铁心的非线性所引起的，此时永磁体的工作点为点M。

系统的磁共能为永磁体的磁共能与外磁路的磁共能之和，可表示为

即永磁体系统的磁共能为闭合区域 FCMOFC的面积。

若忽略铁心的非线性，则外磁路的()f Fφ=曲线为线性，如直线 ON′所示，此时永磁体的工作点为点N，相应地，系统的磁共能为

即永磁体系统的磁共能为闭合区域 FCNOFC的面积，这与解析法得出的结论是一致的。

综上所述，对于无传导电流的永磁体系统，其磁共能可以表示为永磁体的体积分；且积分项仅与永磁体工作点有关，形式简洁，物理意义明确，这有利于简化对系统的性能分析。上述分析为“磁通—磁动势法[5]”的应用提供了理论基础，可以方便地用来对永磁电机的定位力/定位力矩进行计算和分析。

6 结论

推荐采用式（6）来计算永磁体内的磁共能。通过该方法，永磁体的磁共能密度可用式（9）来表示，该式与其他无源材料的表达式相一致，且对于永磁体的理想退磁特性和实际退磁特性，该式均适用，因而用式（9）来计算永磁体的磁共能密度具有很强的适用性；并且对于无传导电流的永磁体系统，系统的总磁共能可以表示为仅与永磁体体积分有关的形式，这极大地方便了对系统的性能分析。

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