水分生产函数求解方法及比较

岳佳佳

（太原理工大学水利科学与工程学院，山西 太原 030024）

中国水资源严重短缺是经济社会发展，特别是农业经济发展的重要制约因素。为了保证农业经济的发展首先要提高灌溉水的利用效率，在作物生长期内根据作物需水要求将水量进行最优分配，以保证水的充分利用。这样就提出了作物水分生产函数这一概念。作物水分生产函数是指作物水分与生产函数之间的关系，是调控水分使之有利于作物生长的重要依据之一。因此，为了合理安排作物优化灌溉制度，合理利用现有的水资源，使作物达到最高产量，就要研究作物水分生产函数及其在实际中的应用。文章以玉米为研究对象分别基于Jensen模型和水分敏感指数积累函数模型求解水分敏感指数，并且对两种模型的精度进行比较。

1 基于Jensen模型的作物水分生产函数

1.1 水分生产函数模型

（1）Doorenbos-Kassan模型：

（2）Blank 模型[1]：

（3）Hiller-Clark 模型[2]：

（4）Singh 模型[3]：

（5）Jensen模型0

式中：Kyj：作物第ii阶段的产量反应系数；

ETmi：充分灌溉条件下作物阶段i的腾发量；

ETi非充分灌溉条件下阶段i的腾发量；

y：作物实际产量；

ym：作物最大产量；

λi：水分敏感指数。

1.2 水分生产函数模型参数求解方法[4]

基于Jensen模型的水分生产函数模型采用全阶段同时求解法，即利用模型结构的特征转化为多元线性回归分析方法求解。设某年有m组非充分灌溉试验，记为j=1，2，…，m。n个作物生长阶段，记为i=1，2，…，n。设m组试验中有一组充分灌溉，其余m-1组为非充分灌溉。为获得惟一可行解，应满足m-1>n+1。并尽可能的使m较大。试验中每个处理应至少重复两次，一般应经过2～3年试验。

以山西省1991年—1994年春玉米为研究对象求解水分敏感指数，分为播种-拔节，拔节-抽穗，抽穗-灌浆，灌浆-收获4个阶段，每个阶段做5个设计处理，并测出每个阶段的耗水量及产量，可得出水分敏感指数求解结果见表1，散点图见图1。

表1 春玉米水分敏感指数结果（坑测试验）

图1 春米水分敏感指数计算相对与实测产量比较

sss根据试验可以得出作物减产系数越大，水分敏感指数也越大，反之亦然。不同作物之间以及作物生长的不同阶段之间水分敏感指数值也不相同，这就反应了对产量的影响是不相同的。水分敏感指数是反映了作物和作物各阶段对缺水的敏感程度的指标。

2 以相对腾发量为基变量的一个过程模型

2.1 模型参数求解方法

王仰仁等提出了以相对蒸腾量自变量繁荣过程模型：

式中：λ（△ti）：水分敏感指数；

Z（t）：水分敏感指数积累曲线；

ti：作物生长阶段；

a，b，c为待定系数；

ET：作物腾发量。

这里采用模式搜索法求解参数。包括两种搜索方式，即试探性搜索和模式搜索。试探性搜索利用坐标轮换法沿不同的坐标方向搜索，得到合适的搜索方向。例如对于二维问题，从X0开始经过e1，e2两个方向的搜索得到新点X1，显然X1优于X0点。然后进行模式搜索，即在两连线方向移动相同的步长，得到Y1=2X1-X0，以Y1为起点进行试探性搜索，得到新点X2，然后以X1，X2方向进行模式搜索。

在试探性搜索中，各个坐标方向可以按一定的步长进行搜索，而不必考虑最优步长。当一次试探性搜索失败，则压缩步长重新搜索，直至搜索步长小于给定的精度要求。

2.2 求解过程及方法

根据山西省玉米的资料，已知玉米的腾发量，a，b，c未知，可假定为a=4.72，b=0.0637，c=0.916，根据公式可以求出各阶段的参数值。

具体过程如下:

（1）以（a0，b0，c0）T为起点进行试探性搜索。首先固定b=0.0637，c=0.9160，Q在a方向进行搜索，即a分别增减△a，计算相应的函数值，Q=（5.192，0.067,0.9160）=77421.85016>58696.97603，失败；Q=（4.248，0.0637，0.9160）=89245.60159>58696.97603,失败；所以 a方向步长减半即（△a，△b，△c）T=（0.236，0.00637，0.09160）T，Q（4.956，0.0637，0.9160）=63401.63>58696.603，失败；再继续使a的步长减半即 （△a，△b，△c）T=（0.118，0.00637，0.09160）T，Q=（4.838，0.0637，0.9160）=59720.38902>58696，97603，失败；Q=(4.602，0.0637，0.9160)=59301.20386>58696.97603,失败；再继续减半，即（△a，△b，△c）T=（0.0295，0.00637，0.09160）,Q（4.7495，0.0637，0.9160）=58683.1956<58696.97603，成功；Q（4.6905，0.0637，0.9160）=58900.8494>58696.97603，失败。

（2）然后以（4.6905.0.0637，0.9160）为起点,固定 a和 c，在 b方向进行搜索，方法同上；同理，固定a和b，在c方向上进行搜索。经过一次可得到一个新的起点（a1，b1，c1），令 Y1=2（a1，b1，c1）T-（a0，b0，c0）T，若 Q（Y1）搜索失败，则以（a1，b1，c1）为新起点同第（1）步一样继续搜索。

如此计算即使步长再小也没有最小值，因此最小点为（a*，b*，c*）=（4.7495，0.0637，0.9160）T，最小值为 Q*=58683.3。按上述方法求得水分敏感指数求解结果见表2，散点图见图2。

表2 春玉米水分敏感指数结果（坑测试验）

图2 春米水分敏感指数计算相对与实测产量比较

3 结果与讨论

λ是作物水分敏感指数，其值越大说明对水分越敏感，缺水引起的减产及不良影响越大。不同作物以及同一种作物的不同生长期间水分敏感指数也都不同，不同作物及作物不同阶段对水分的敏感程度不同。

由上可看出在春玉米受旱试验中，利用水分敏感积累曲线求的水分敏感参数要比Jensen模型求的更为精确。玉米的需水高峰期也是水分亏缺对产量影响最大的时期，在缺水时应首先保证这一时期的供水量。研究作物水分生产函数能够把有限的水资源进行优化配置，为制定灌溉制度和灌溉措施提供依据。

[1]H.J.Vaux，W.O.Pruitt，Crop-Water Pro duction Function，U.S.Academic Press,1SBN 0-12-024302-4，1983.

[2]R.J.Hanks，R.W.Hill，Modeling Crop Respones to Irrigation in Relation to Soil，Climate and Salinity，Utah State University，U.S.A.ISBN 0-08-025513-2，1980.

[3]P.Singh，H.Wolkewitz，R.Kumar，Comparative Functions for Wheat，Irrigation Science，U.S.A，1987.

[4]王仰仁，荣丰涛.山西省主要农作物水分生产函数中参数的试验研究.《水利学报》，1997.