相对论量子力学方程的求解新方案

刘雅超，黎 明

(西安理工大学应用物理系, 陕西 西安 710048)

0 引 言

自从相对论量子力学诞生以来，取得了巨大的成就，同时也伴随着一些未能解决的理论困难，其中最主要的是负能解问题[1].历史上，Dirac曾为此提出著名的“负能电子海”假设[2]，将真空解释为充满负能电子的海洋, 由Pauli不相容原理保证真空的稳定性.而将真空中负能电子的空穴解释为有着正能量，正电荷的正电子(Positron).如今，负能电子海的真空观念已被抛弃，而正反粒子的观念在量子场论中保留了下来.量子场论的基本观点是粒子有正反，能量只有正[1]；而现有相对论量子力学的求解却不能回避负能解，它的结论只能是电子无反正，能量有正负.这使得从量子力学到量子场论的过度理论——相对论量子力学处于尴尬的境地.

在相对论量子力学里，把负能量的电子解释为正能量的正电子，以便向场论靠拢[3-4].而在量子场论的Feynman图计算中，却又要将正电子处理为逆着时间轴演化的负能电子，并且能量的积分依然是从负无穷到正无穷[5].尽管如此，许多支持场论的人都对相对论量子力学不屑一顾，认为该理论逻辑不自洽，结论不可靠.他们忘了，场论的基本观念和方程都直接来自相对论量子力学.

在此，笔者关注的是相对论量子力学和量子场论的协调一致性问题.负能解困难或可避免[6]，或另有深意[7].笔者认为，问题出在数学的求解而不在物理的方程.所以，目标是寻找一个新的求解方案，在相对论量子力学里贯彻粒子有正反的观念，坚持能量只为正的原则，最终通过新方案求解相对论量子力学方程得到与量子场论一致的自由粒子的正交归一平面波解.本文首先回顾量子力学和相对论量子力学的传统求解方案及其主要结果，然后在对场论中正反自由旋量粒子波函数的对比分析中映入新的求解方案，最后通过对Dirac 方程的重新求解验证了新方案.

1 传统量子力学求解方案

从非相对论量子力学到相对论量子力学，理论从低能量走向高能量，从单粒子变成包含正反粒子，当存在相互作用时还会出现粒子的产生和湮灭.在这个过程中，非相对论量子力学一些要求就不再适用于相对论量子力学，例如波函数的正定性和归一性.但在相对论量子力学的求解方案中，波函数的相位因子部分，未加详细审查，直接沿用了非相对论量子力学的旧形式.而这是造成相对论量子力学中负能量困难的根本原因.在此首先对已有理论及其求解方法做个回顾.

1.1 非相对论量子力学

在非相对论量子力学中，粒子波函数 满足的基本方程是Schrodinger方程：

(1)

(2)

(3)

求解方案是设波函数的形式为debrogile波

ψ=Aexp[i(P,r-Et)/ħ]

(4)

P是粒子的动量矢量，E代表粒子能量.代入(3)解本征值问题，得能谱

(5)

满足非相对论动能关系.可知自由粒子的动能非负.

1.2 相对论量子力学

在相对论量子力学中，自由Dirac粒子的基本方程是Dirac方程

(6)

(7)

ψ=U(Pexp[i(P·r-Et)/ħ=

(8)

其中φ,χ是二分量旋量.代入(6)求解得能量的本征值

(9)

ψ(P,E+)=U+(P)exp[i(P·r-Ept)/ħ=

(10-a)

ψ(P,E-)=U-(P)exp[i(P·r+Ept)/ħ]=

(10-b)

(11)

在场论中用到的正粒子和反粒子的波函数形式是

ψ(+)=ψ(P,E+)=uα(p)exp[i(P,r-Ept)/ħ]=

(12-a)

ψ(-)=ψ(-P,E-)=

vα(p)exp[i(-P·r-Ept)/ħ]=

(12-b)

通常称为正频解和负频解[8].其中p=(P,Ep),x=(r,t)分别是四维动量矢量和四维坐标矢量，而Px=Pμxμ=(P·r-Ept).我们看到，当P为零时，由此还会引出所谓“负质量”的推断.然而自然界没有发现负能量的自由电子，更没有负质量的电子；并且电子的负能解还会导致真空的不稳定.这些就是相对论量子力学所遇到的负能量困难.

笔者认为，这些困难不是相对论量子力学所固有的，问题出在数学的求解方法上.要找到一个新方案，在相对论量子力学的求解中，贯彻粒子有正反的观念，坚持能量只为正的原则，最终得到场论里所用的自由粒子的正交归一化平面波解.

2 相对论量子力学求解新方案

从对原有求解方案的分析入手.在非相对论量子力学分离变量的求解方案(4)中，波函数时空部分取为平面波的虚指数形式exp[i(P·r-Et)/ħ]，求解后能量恒为正.在相对论量子力学的求解方案(8)中，人们未加分析的沿用了相同的指数因子i(P·r-Et)/ħ，但结果却出现了负能量.而笔者认为负能量波函数应该是正能量的反粒子的波函数.应当在波函数的形式中体现正反粒子的存在.我们注意指数因子中含有虚数单位， 它是负一的一个平方根，而-1还有另一个平方根-i，它们还互为复共轭.正好i对应正粒子，而-i对应反粒子[9].

因此，笔者试将指数因子形式取作is(P·r-Et)/ħ，其中s称为正反粒子指标，s=+1对应正粒子，s=-1代表反粒子.如此，(4)时变成

ψ=Aexp[is(P·r-Et)/ħ

(13)

先代入自由粒子的Schrodinger方程(3)，得能谱为

(14)

要求能量为正，则只能取s=+1.能谱退化为(5).由此可知，Schrodinger方程(3)是正粒子的非相对论量子力学方程.

考虑了正反粒子指标，相对论量子力学的新求解方案将自由Dirac粒子波函数设为

ψs=Us(P)exp[is(P·r-Et)/ħ]=

(15)

代入自由Dirac方程(6)，得本征方程

(16)

求解本征值问题，得能谱

(17)

其中已考虑到s2=1.贯彻能量为正的原则: 当上式右边取正号是，左边只能取s=+1，以此保证能量E=Ep为正，当右边为负号时，左边只能取s=-1，此时能量还是E=Ep.如此，无论对正粒子还是反粒子，能量都为正.而相应的正反自由相对论粒子波函数统一写作

ψs(P,E+)=Us(P)exp[is(P·r-Ept)/ħ]=

(18)

可以看出，对于正粒子有s=+1，它的波函数与旧方案所得(12-a)相同，即ψ+1(P,Ep)=ψ(+)=ψ(P,Ep).对于反粒子，s=-1，其波函数为

ψ-(P,Ep)=U-(P)exp[-i(P,r-Ept)/ħ]=

(19)

似乎与负能解(10-b)及负频解(12-b)都不同.进一步分析，我们发现

(20)

(20)式表明，直接得到了量子场论中的反粒子波函数——负频解.至此，完成了我们的目标.而为了反粒子波函数与量子力学的算符运算一致，需引入另一组与正粒子能量和动量算符互为复共轭的反粒子算符[9]

(21)

用它们作用到反粒子波函数上

(22)

所得能量为正，所得动量矢量为P，这是我们所期望的.而正反粒子的能量和动量算符还可统一写作

(23)

我们看到，互为复共轭的两组算符在相对论量子力学中对称的出现了.

3 结 语

本研究是一个新的求解相对论量子力学方程的基本方案.它在量子力学的框架中对称地处理了正反粒子，消除了旧理论所出现的负能量的困难.不仅适用于Dirac 方程，也适用于Klein-Gordon方程.由此出发，我们可以重新讨论在电磁场中的相对论量子力学方程即其非相对论退化；可以在理论上正反粒子对称地讨论Klein佯谬，相对论电子颤振(zitterbewegung)；还可以进一步重新处理场的量子化方案，解决其中的真空能量和粒子数为无穷大的问题.此外，该方案还可用于求解石墨单层(graphene)中电子所满足的二维Dirac 方程，进而研究低维相对论量子体系的电学性质.

参考文献：

[1]张永德.高等量子力学：上册[M].北京：科学出版社，2009:219-237,284.

[2]Dirac P A M.The Principles of Quantum Mechanics [M]. Fourth edition. Oxford: The Clarendon Press,1958:273-274.

[3]Grainer W, Muller B, Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields [M]. Berlin: Springer-verlag,1985:130-136.

[4]Strange P. Relativistic Quantum Mechanics [M].New York:Cambridge University Press,1998：145-150.

[5]佩斯金， 施罗德.量子场论导论 [M].北京:世界图书出版公司北京公司，2006：62-63.

[6]王顺金,周善贵,Pauli H C. Dirac粒子的正-反粒子自由度和正-反粒子量子数[J].原子核物理评论，2004，21(4):294-297.

[7]张一方.量子力学和相对论的结合,不相容及发展[J].云南大学学报：自然科学版，2008,30(1):41-46.

[8]Weinberg S.The Quantum Theory of Fields :Vol.I[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2004:219-224.

[9]Ni G J, Guan H, Zhou W M,et al. Anti-particle in the Light of Einstein-Podolsky-Rosen Paradox and Klein Paradox [J]. Chinese Phys Lett,2000,17(6):393-395.