基于价格折扣的短生命周期易变质物品销售策略

周优军

（1.广西大学 数学与信息科学学院，南宁 530004；2.柳州师范专科高等学校 数学与计算机科学系，广西 柳州 545004）

0 引言

随着市场机制日益完善，各种营销策略的应用频率和范围也越来越广，研究成果不断涌现。其中，价格折扣作为一种较常用的营销策略，越来越受到企业经营者和学者们的关注。

综合国内外学者的研究发现：关于价格折扣策略的库存模型研究，绝大多数是建立在需求为常数、没有变质且不允许缺货的基础上，对产品的市场需求刻画不够细致、全面。因此，本文从实际的生产销售出发，在文献[5]中《短生命周期产品的临时价格折扣模型》的基础上进行了扩展和完善，建立了在供应商提供价格折扣和零售商提供临时价格折扣条件下的短生命周期易变质物品库存模型，其中，需求率跟销售价格及时间相关且符合生命周期产品的需求模式，产品发生物理变质，变质率为常数。讨论了模型解的存在性，给出了具体算法，最后通过数值例子来验证算法和模型的有效性。

1 模型假设与符号说明

本文使用以下的符号：

（1）M为易变质物品的市场生命周期,常数；

（2）需求率是时间和价格的函数，为D(p,t)=f(p)g(t)，其中：

g(t)为刻画产品生命周期的函数，且g(t)=t(M-t)，0≤t≤M；

（3）s是固定的订购费用,与订购批量无关；

（4）θ 为变质率，常数；

（5）c(Q)为计划期内单位物品采购价格，满足

（6）h为单位时间单位物品的库存维持费，常数；

（7）p0，p1分别为单位物品在时间[0,t1),[t1,M]内的销售价格；

（8）Q为计划期内订货量，Q1为时间[t1,M]内物品数量；

为了建立模型，本文给出以下假设：

（1）考虑单一变质物品，变质率为常数θ；

（2）瞬时补货，不允许缺货；

（3）零售商在t1时刻以价格 p1（p1大于与之对应的单位物品采购价格）进行降价销售，p1为决策变量。

2 模型建立

对于生命周期产品而言，当产品处于成长和平稳期时，宜采用高价策略来获得最大效益；当产品处于衰退期时，宜采用降价策略来刺激产品的销售，增加收益。本库存模型的最优控制可描述为:供应商在计划期内给定降价销售时间为t1，在[0，t1)，[t1，T]时间内对物品分别以价格 p0，p1进行销售，目的是确定最佳订货量Q及销售价格p0，p1，使得计划期内产品销售总利润最大。

解上述微分方程，由I2(M)=0，有：

在[0，t1]上，库存I1(t)可用下面的微分方程表示：

解上述微分方程，由 I1(t1)=Q1(p1，t1)，有：

周期内总成本为：

综上，我们的目的是确定最优的p使得零售商在产品的整个市场生命周期中的总利润π(p)最大，库存模型为：

3 模型分析与求解

3.1 解的存在性分析

对（9）式求关于 p0，p 的导数，有：

由于 eθt1＞eθt＞1(t1＞t＞0)，b＞1，所以

所以，由二元函数极值的充要条件知，πi(p0，p)只在处取得最大值。

由引理1易有：

推论 1：当 i=1，2，3 时，对给定的 p0，p1，有

由引理1及推论1，易证定理1。

定理 1：对给定的 t1，存在 η≥ξ＞c3，使得 π(p0，p1)在(η，p)处取得最大值。

3.2 具体算法

第一步：由（12）、（13）式计算 pi，j(i=0，1，j=1，2，3)，并代入（6）中计算 Q(p0，1，p1，1)，Q(p0，2，p1，2)，Q(p0，3，p1，3)，Q(c2，c2)，Q(c3，c3);

第二步：若 Q(p0，3，p1，3)≥q2，令 η1=η2=ξ1=ξ2=0，η3=p0.3，ξ3=p1，3，转第十三步；否则，转第三步；

第三步：若 Q(c3，c3)＜q2，转第四步；否则，转第十步；

第四步：若 Q(p0，1,p1，1)≥q2，令 η1=η3=ξ1=ξ3=0，η1=p0.2，ξ2=p1，2，转第十三步；否则，转第五步；

第五步：若 Q(c3，c3)＜q2，令 η2=η3=ξ2=ξ3=0，η1=p0.1，ξ1=p1，1，转第十三步；否则，转第六步；

第十步：仿第六—第九步，确定 η3，ξ3；

第十一步 ：若 Q(p0，2，p1，2)≥q1，则令 η1=ξ1=0，η2=p0，2，ξ2=p1，2；否则，η1=p0，1，ξ1=p1，1，转第十二步；

第十二步：若 Q(c2，c2)＜q1，则令 η2=ξ2=0；否则，同第六—第九步，确定 η2，ξ2；

第十三步：计算 π1(η1，ξ1)，π2(η2，ξ2)，π3(η3，ξ3)，则最佳销售策略为：最大总利润为 maxπ=max{πi(ηi，ξi)|i=1，2，3}，与之对应的价格即为最优销售价格p0，p1，最佳订货量为Q(p0，p1)。

4 数值实验

某公司产品投放市场，需求率变化趋势用D(p，t)=f(p)g(t)来拟合，其中f(p)=12004p-4，g(t)=25t(M-t)。现已知该产品其它数据经测算如下:M=3，s=150，θ=0.02，h=1.1，c1=900(Q＜70)，c2=850(70≤Q＜140)，c3=800(140≤Q)，p0=1400，t1=2，其中时间单位为月，价格单位为元。

经计算，在整个生命周期[0，M]内 ， 最 佳 销 售策略为：

表1 降价时间t1灵敏度分析

最佳销售价格为 p0=1094.41，p1=1121.71，最大总利润为 maxπ(p0，p1)=π3(p0，p)=53293.39，最佳订购量为 Q*=163.43。

文献[5]设定初始销售价格为p0=1200，由于采用降价销售策略，其整个生命周期[0，M]内，最佳销售策略为：降价后最佳销售价格为p*=1191.60，最大利润为maxπ (p)=π2(p)=32535.32，最佳订购量Q*=77.52。经比较可知，本文在不考虑必须降价促销的情况下，根据实际的需求状况所得到的最佳销售策略无论是在最大总利润，还是在最佳订购量上均远大于文献[5]的结论，对短生命周期产品生产和销售都有实际的指导意义。

由表1观察可知：随着时间t1的往后推延。

（1）p0，p1的变化规律符合引理 1 的结论；（2）最佳订购量Q的变化不大，在t1=1.5时订购量达到最大，由需求函数性质可知，此时为计划期内需求最大值点；（3）销售商所能获得的利润会有所增加，但不显著。

因此，销售商根据市场的实际情况及本身的需要，可以将产品需求的转折点（成长期到平稳期，或平稳期到衰退期）确定为价格调整的时间点进行价格调整，以期取得更好的产品信誉及更好的销售收益。

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